Funciones inversas

Aprende a encontrar y verificar funciones inversas, y comprende su relación con la función original.

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Definición

Una función inversa revierte la acción de la función original. Si f(x)f(x) toma la entrada aa y produce la salida bb, entonces la función inversa f−1(x)f^{-1}(x) toma la entrada bb y produce la salida aa.
Si f(a)=b, entonces f−1(b)=a\text{Si } f(a) = b, \text{ entonces } f^{-1}(b) = a
Propiedades clave:
  • La inversa "deshace" lo que hace la función original
  • f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = x y f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x
  • La gráfica de f−1(x)f^{-1}(x) es la reflexión de f(x)f(x) sobre la recta y=xy = x
  • No todas las funciones tienen inversas - solo las funciones biyectivas las tienen
Encontrar la inversa:
  1. 1.Reemplazar f(x)f(x) por yy
  2. 2.Intercambiar xx e yy
  3. 3.Resolver para yy
  4. 4.Reemplazar yy por f−1(x)f^{-1}(x)

Pruébalo ahora

Si f(3)=7f(3) = 7, ¿cuánto es f−1(7)f^{-1}(7)?

Ejemplos resueltos

Encuentra la inversa de f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3
1

Reemplazar f(x) por y

y=2x+3y = 2x + 3 → Forma estándar
2

Intercambiar x e y

x=2y+3x = 2y + 3 → Variables intercambiadas
3

Resolver para y: restar 3

x−3=2yx - 3 = 2y → Aislar el término con y
4

Dividir por 2

y=x−32y = \frac{x - 3}{2} → y está aislada
5

Escribir como función inversa

f−1(x)=x−32f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} → Inversa encontrada

Errores comunes

Confundir f−1(x)f^{-1}(x) con 1f(x)\frac{1}{f(x)}

Por qué está mal: La notación f−1f^{-1} significa función inversa, NO el recíproco. f−1(x)f^{-1}(x) deshace f(x)f(x), mientras que 1f(x)\frac{1}{f(x)} es simplemente uno dividido por f(x)f(x).

Correcto: f−1(x)f^{-1}(x) es la función inversa. Para el recíproco, escribe 1f(x)\frac{1}{f(x)} o (f(x))−1(f(x))^{-1}.

Olvidar intercambiar x e y antes de resolver

Por qué está mal: El intercambio es esencial porque la inversa revierte entradas y salidas. Sin intercambiar, solo resuelves para x en términos de y, no encuentras la inversa.

Correcto: Sigue siempre los pasos: escribe y = f(x), intercambia para obtener x = f(y), luego resuelve para y.

Asumir que todas las funciones tienen inversas

Por qué está mal: Solo las funciones biyectivas (que pasan la prueba de la línea horizontal) tienen inversas. Funciones como f(x)=x2f(x) = x^2 fallan porque dos entradas dan la misma salida.

Correcto: Verifica primero que la función sea biyectiva. Para f(x)=x2f(x) = x^2, restringe el dominio a x≥0x \geq 0 para crear una inversa.

Olvidar las restricciones de dominio para la inversa

Por qué está mal: El dominio de f−1f^{-1} es el rango de ff, y viceversa. Si la función original excluye ciertos valores, la inversa tendrá restricciones diferentes.

Correcto: Siempre indica el dominio de la inversa. Si f(x)=1x−2f(x) = \frac{1}{x-2} tiene dominio x≠2x \neq 2, entonces f−1f^{-1} tendrá una restricción diferente.

Visual interactivo

Gráfica de la función

-6-4-202468-505xy(1; 5)(5; 1)

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 2x + 3

m=2, b=3

y = (x - 3)/2

m=0,5, b=-1,5

y = x

m=1, b=0

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

18 problemas
Problema 1 de 18
Fácil
Si f(3)=7f(3) = 7, ¿cuánto es f−1(7)f^{-1}(7)?

Por qué es importante

Las funciones inversas son esenciales en muchas aplicaciones:
  • Criptografía: Las funciones de cifrado necesitan inversas para el descifrado
  • Conversión de unidades: Convertir de Celsius a Fahrenheit y viceversa requiere funciones inversas
  • Finanzas: Calcular el capital inicial a partir del interés compuesto requiere invertir la fórmula de crecimiento
  • Ciencia: Encontrar el tiempo a partir de la distancia (inversa de la función de posición)
  • Gráficos por computadora: Deshacer transformaciones requiere operaciones inversas
Comprender las inversas es crucial para resolver ecuaciones y forma la base de los logaritmos (inversa de las exponenciales) y las funciones trigonométricas inversas.

Aplicaciones del mundo real

Conversión de temperatura

La conversión entre Celsius y Fahrenheit usa funciones inversas.

Ejemplo:

La fórmula F=95C+32F = \frac{9}{5}C + 32 convierte Celsius a Fahrenheit. Su inversa C=59(F−32)C = \frac{5}{9}(F - 32) convierte de vuelta.

1Inténtalo tú mismo

Conoces la fórmula de Fahrenheit a Celsius: C=59(F−32)C = \frac{5}{9}(F - 32).

Encuentra la función inversa para convertir Celsius de vuelta a Fahrenheit.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Intercambia las variables y resuelve para F:

Descifrado en criptografía

Las funciones de cifrado simples necesitan inversas para el descifrado. En un cifrado César, si el cifrado desplaza letras 3 posiciones, el descifrado desplaza -3.

Ejemplo:

Si el cifrado es E(x)=x+3(mod26)E(x) = x + 3 \pmod{26}, el descifrado es D(x)=x−3(mod26)D(x) = x - 3 \pmod{26}

2Inténtalo tú mismo

Una función de cifrado simple es E(x)=2x+5E(x) = 2x + 5.

Encuentra la función de descifrado (inversa).

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Encuentra E−1(x)E^{-1}(x):

Puntos clave

  • 1Una función inversa f−1(x)f^{-1}(x) revierte la acción de f(x)f(x): si f(a)=bf(a) = b, entonces f−1(b)=af^{-1}(b) = a
  • 2Para encontrar una inversa: reemplaza f(x)f(x) por yy, intercambia xx e yy, resuelve para yy, escribe como f−1(x)f^{-1}(x)
  • 3Para verificar inversas: comprueba que f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = x Y f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x
  • 4Solo las funciones biyectivas (que pasan la prueba de la línea horizontal) tienen inversas
  • 5La gráfica de f−1(x)f^{-1}(x) es la reflexión de f(x)f(x) sobre la recta y=xy = x
  • 6El dominio de f−1f^{-1} es igual al rango de ff, y el rango de f−1f^{-1} es igual al dominio de ff

Preguntas frecuentes

f−1(x)f^{-1}(x) es la función inversa - deshace ff. f(x)−1f(x)^{-1} o (f(x))−1(f(x))^{-1} es el recíproco 1f(x)\frac{1}{f(x)}. ¡Son cosas completamente diferentes! Por ejemplo, si f(x)=2xf(x) = 2x, entonces f−1(x)=x2f^{-1}(x) = \frac{x}{2}, pero f(x)−1=12xf(x)^{-1} = \frac{1}{2x}.
f−1(x)f^{-1}(x) es la función inversa - deshace ff. f(x)−1f(x)^{-1} o (f(x))−1(f(x))^{-1} es el recíproco 1f(x)\frac{1}{f(x)}. ¡Son cosas completamente diferentes! Por ejemplo, si f(x)=2xf(x) = 2x, entonces f−1(x)=x2f^{-1}(x) = \frac{x}{2}, pero f(x)−1=12xf(x)^{-1} = \frac{1}{2x}.
Una función tiene inversa si y solo si es biyectiva (cada salida proviene de exactamente una entrada). Usa la prueba de la línea horizontal: si cualquier línea horizontal cruza la gráfica más de una vez, la función NO tiene inversa.
Porque la inversa intercambia entradas y salidas. Si ff toma 2 y da 7, entonces f−1f^{-1} toma 7 y da 2. Intercambiar x e y en la ecuación captura esta reversión de roles.

Glosario

Función inversa
Una función f−1(x)f^{-1}(x) que revierte la acción de f(x)f(x), de modo que f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x
Función biyectiva
Una función donde cada valor de salida corresponde a exactamente un valor de entrada
Prueba de la línea horizontal
Si cualquier línea horizontal intersecta la gráfica más de una vez, la función no es biyectiva y no tiene inversa
Composición
Aplicar una función al resultado de otra, escrito como f(g(x))f(g(x)) o (f∘g)(x)(f \circ g)(x)
Dominio
El conjunto de todos los valores de entrada válidos para una función
Rango
El conjunto de todos los valores de salida posibles de una función

Tarjeta de fórmulas

Definición de inversa

f(a)=b⇔f−1(b)=af(a) = b \Leftrightarrow f^{-1}(b) = a

Si f envía a hacia b, entonces f inversa envía b hacia a

Identidad de composición

f(f−1(x))=f−1(f(x))=xf(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x

Componer una función con su inversa da x

Relación dominio-rango

Dominio de f−1=Rango de f\text{Dominio de } f^{-1} = \text{Rango de } f

Los dominios y rangos se intercambian para las inversas

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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