Límites por sustitución directa

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué límite puedes calcular de inmediato por sustitución directa?
1. a) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x + 1}$
2. b) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$
3. c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$
4. d) $\lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{x^2 - 25}$
Respuesta: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x + 1}$
En $x = 1$ el denominador $x + 1$ vale $2 \neq 0$ , así que $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x + 1} = \frac{4}{2} = 2$ . Los otros tres dan $\frac{0}{0}$ y hay que simplificarlos primero.
2.
Calcula $\lim_{x \to 2} (3x^2 - x + 4)$ .
Respuesta: 14
$3 \cdot 2^2 - 2 + 4 = 12 - 2 + 4 = 14$ .
3.
Calcula $\lim_{x \to 4} (x^2 - 3x + 1)$ por sustitución directa.
Respuesta: 5
1. ¿Cuánto vale $x^2$ en $x = 4$ ? 16
2. ¿Cuánto vale $-3x$ en $x = 4$ ? -12
3. Suma todo: $16 - 12 + 1$ . ¿Cuál es el límite? 5
4.
La sustitución directa en $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ da $\frac{0}{0}$ . ¿Qué debes concluir?
1. a)El límite no existe
2. b)El límite es 1
3. c)Primero simplificar y luego volver a sustituir
4. d)El límite es 0
Respuesta: Primero simplificar y luego volver a sustituir
$\frac{0}{0}$ todavía no dice nada del límite. Al factorizar queda $\frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4} = x + 4$ , así que el límite es $8$ .
5.
Calcula $\lim_{x \to -1} \frac{2x^2 + 6}{x + 3}$ .
Respuesta: 4
Numerador: $2 \cdot (-1)^2 + 6 = 8$ . Denominador: $-1 + 3 = 2$ . Límite: $\frac{8}{2} = 4$ .
6.
Calcula $\lim_{x \to 2} \frac{x + 6}{x^2 + 1}$ . Escribe el resultado como fracción.
Respuesta: 8/5
1. ¿Cuánto vale el denominador $x^2 + 1$ en $x = 2$ ? 5
2. ¿Cuánto vale el numerador $x + 6$ en $x = 2$ ? 8
3. El denominador no es 0. ¿Cuál es el límite? (fracción) 8/5
7.
Calcula $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$ .
Respuesta: 10
$\frac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5} = x + 5$ , y $5 + 5 = 10$ .
8.
Calcula $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ .
Respuesta: -6
1. ¿Cuánto vale el numerador $x^2 - 9$ en $x = -3$ ? 0
2. ¿Cuánto vale el denominador $x + 3$ en $x = -3$ ? 0
3. Es $\frac{0}{0}$ , así que factoriza: $x^2 - 9 = (x + 3)(x - \square)$ . ¿Qué número va en la casilla? 3
4. Al simplificar $(x + 3)$ queda $x - 3$ . ¿Cuál es el límite? -6
9.
¿Cuánto vale $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2}$ ?
1. a) $1$
2. b) $-1$
3. c) $0$
4. d) $5$
Respuesta: $1$
La sustitución da $\frac{0}{0}$ . $\frac{(x + 2)(x + 3)}{x + 2} = x + 3$ , y $-2 + 3 = 1$ .
10.
Calcula $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 4}$ .
Respuesta: 6
1. ¿Cuánto vale el numerador $x^2 - 2x - 8$ en $x = 4$ ? 0
2. El denominador también es 0. Factoriza: $x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + \square)$ . ¿Qué número va en la casilla? 2
3. Al simplificar queda $x + 2$ . ¿Cuál es el límite? 6
11.
Para calcular $\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}$ , multiplicas el numerador y el denominador por:
1. a) $x + 9$
2. b) $\sqrt{x}$
3. c) $\sqrt{x} - 3$
4. d) $\sqrt{x} + 3$
Respuesta: $\sqrt{x} + 3$
$(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) = x - 9$ , que se simplifica con el denominador: el límite queda $\frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{6}$ .
12.
Calcula $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}$ .
Respuesta: 2
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x - 3)} = \frac{x + 3}{x}$ , y $\frac{3 + 3}{3} = 2$ .
13.
Calcula $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 1}$ .
Respuesta: 2
1. ¿Cuánto vale el numerador $x^2 + 2x - 3$ en $x = 1$ ? 0
2. ¿Cuánto vale el denominador $x^2 - 1$ en $x = 1$ ? 0
3. Al simplificar $(x - 1)$ queda $\frac{x + 3}{x + 1}$ . ¿Cuánto vale el nuevo numerador $x + 3$ en $x = 1$ ? 4
4. ¿Cuánto vale el nuevo denominador $x + 1$ en $x = 1$ ? 2
5. ¿Cuál es el límite? 2
14.
¿Cuánto vale $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ ?
1. a) $\frac{2}{3}$
2. b) $0$
3. c) $\frac{3}{2}$
4. d) $1$
Respuesta: $\frac{3}{2}$
$\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$ , y en $x = 1$ : $\frac{3}{2}$ .
15.
Calcula $\lim_{x \to 25} \frac{\sqrt{x} - 5}{x - 25}$ racionalizando.
Respuesta: 1/10
1. ¿Cuánto vale el numerador $\sqrt{x} - 5$ en $x = 25$ ? 0
2. $(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5) = x - \square$ . ¿Qué número va en la casilla? 25
3. Al simplificar $(x - 25)$ queda $\frac{1}{\sqrt{x} + 5}$ . ¿Cuánto vale $\sqrt{x} + 5$ en $x = 25$ ? 10
4. ¿Cuál es el límite? (fracción) 1/10
16.
Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ . Escribe el resultado como fracción o como número decimal.
Respuesta: 1/4
Tras racionalizar: $\frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}$ , y en $x = 0$ : $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ .
17.
Calcula $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ .
Respuesta: 12
1. ¿Cuánto vale el numerador $x^3 - 8$ en $x = 2$ ? 0
2. $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + \square)$ . ¿Qué número va en la casilla? 4
3. Al simplificar queda $x^2 + 2x + 4$ . ¿Cuál es el límite? 12
18.
Calcula $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}$ .
Respuesta: 1/4
1. ¿Cuánto vale el numerador $\sqrt{x + 3} - 2$ en $x = 1$ ? 0
2. $(\sqrt{x + 3} - 2)(\sqrt{x + 3} + 2) = (x + 3) - \square$ . ¿Qué número va en la casilla? 4
3. Al simplificar $(x - 1)$ queda $\frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2}$ . ¿Cuánto vale $\sqrt{x + 3} + 2$ en $x = 1$ ? 4
4. ¿Cuál es el límite? (fracción) 1/4