Guía del profesor: Límites por sustitución directa

Calcula límites algebraicamente: sustituye el valor cuando puedas y, si obtienes 0/0, factoriza y simplifica o racionaliza primero.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Límites. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Calcular límites de polinomios y funciones racionales por sustitución directa
Explicar qué propiedades de los límites justifican la sustitución directa y cuándo falla la propiedad del cociente
Reconocer la indeterminación 0/0 y distinguirla de no nulo entre 0
Resolver 0/0 factorizando y simplificando un factor común
Resolver 0/0 con una raíz multiplicando por el conjugado

Requisitos previos

• «Introducción a los límites» y «Notación de límites»
• «Cálculo de límites a partir de la gráfica» y «Calcular límites con tablas de valores»
• Factorizar trinomios y diferencias de cuadrados
• Simplificar expresiones racionales y operar con raíces cuadradas

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué el método de la tabla de la lección anterior y la sustitución directa dan el mismo número para un polinomio?
2. Si la sustitución da $\frac{0}{0}$ , ¿qué te dice eso sobre el numerador y el denominador como polinomios?
3. ¿Puedes inventar dos límites distintos que den $\frac{0}{0}$ pero tengan resultados diferentes?
4. ¿Por qué está permitido multiplicar una fracción por $\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}$ ?

Conceptos erróneos comunes

$\frac{0}{0}$ vale 0, vale 1 o significa que el límite no existe

Remediación: Muestra $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2$ , $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0$ y $\lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2}$ (sin límite finito): los tres empiezan como $\frac{0}{0}$ . Pide a los alumnos que comprueben cada uno con una tabla de valores.

Simplificar $(x - a)$ es dividir entre cero

Remediación: Insiste en que el límite nunca usa $x = a$ . Grafica $\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$ y $x + 2$ : son la misma recta salvo el hueco en $x = 3$ .

Cualquier 0 en el denominador significa factorizar y simplificar

Remediación: Propón $\lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{x - 2}$ : la sustitución da $\frac{3}{0}$ , no se simplifica nada y la gráfica muestra una asíntota vertical en lugar de un hueco.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar solo con límites de polinomios y luego racionales con denominador no nulo
• Dar un diagrama de flujo: sustituir, luego número / no nulo entre 0 / 0 entre 0
• Repasar la factorización de trinomios con un calentamiento breve antes de los ejemplos 0/0

Para estudiantes de nivel:

• Mezclar los tres resultados posibles de la sustitución en una misma serie
• Comprobar cada respuesta con la calculadora sustituyendo valores como 2,99 y 3,01
• Usar las gráficas para localizar el hueco cuya altura es el límite

Para estudiantes avanzados:

• Calcular $\lim_{h \to 0} \frac{(2 + h)^2 - 4}{h}$ y relacionarlo con las derivadas
• Factorizar sumas y diferencias de cubos, como $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$
• Racionalizar límites con la raíz en el denominador, como $\lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$

Alineación con estándares

HSA-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
Usar la estructura de una expresión para encontrar formas de reescribirla
HSA-APR.D.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.APR.D.6)
Reescribir expresiones racionales sencillas de distintas formas
HSN-RN.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.RN.A.2)
Reescribir expresiones con radicales y exponentes racionales usando las propiedades de las potencias

Recursos de la lección

visualExplorador de huecos
Gráficas de $(x^2 - x - 6)/(x - 3)$ y $(\sqrt{x} - 2)/(x - 4)$ con el hueco marcado y una tabla de valores cercanos
activitySustituye, clasifica, resuelve
Los alumnos sustituyen en 12 tarjetas de límites, las clasifican en número, no nulo entre 0 y 0/0, y luego resuelven las tarjetas 0/0
worksheet¿Factorizar o racionalizar?
Límites 0/0 variados en los que los alumnos eligen primero el método y luego calculan

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La sustitución directa consiste en hallar un límite simplemente sustituyendo el valor en la función:

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Funciona para cualquier función polinómica y para cualquier función racional cuyo denominador no se anule en

x = a

. Sus gráficas no tienen huecos ahí, así que el valor al que se acerca la función es el valor que realmente toma.

Por qué funciona: las propiedades de los límites. Si

\lim_{x \to a} f(x)

\lim_{x \to a} g(x)

existen, los límites se pueden separar:

suma y resta: $\lim (f \pm g) = \lim f \pm \lim g$
producto por una constante: $\lim (c \cdot f) = c \cdot \lim f$
producto: $\lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$
cociente: $\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}$ , solo si $\lim g \neq 0$
potencia: $\lim f^n = (\lim f)^n$

Qué te dice la sustitución:

un número, como $\frac{5}{5} = 1$ : ese número es el límite
$\frac{\text{no nulo}}{0}$ , como $\frac{3}{0}$ : no hay límite finito (la gráfica tiene una asíntota vertical, mira la lección «Límites infinitos»)
$\frac{0}{0}$ : la indeterminación 0/0. NO es una respuesta. Te indica que primero debes reescribir la expresión.

Cómo resolver 0/0:

1.Factorizar y simplificar: el numerador y el denominador comparten un factor $(x - a)$ . Simplifícalo y vuelve a sustituir.
2.Racionalizar: con una raíz como $\sqrt{x} - 2$ , multiplica numerador y denominador por el conjugado $\sqrt{x} + 2$ , simplifica y vuelve a sustituir.

Simplificar está permitido porque el límite solo mira valores de

x

cercanos a

a

, nunca

x = a

, así que

x - a \neq 0

Ejemplos resueltos

Calcula $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3)$ .

Identifica el tipo de función

$x^2 - 2x + 3$ es un polinomio, definido para todo $x$ → La sustitución directa funciona

Sustituye $x = 3$

$3^2 - 2 \cdot 3 + 3 = 9 - 6 + 3$ → $6$

Escribe el límite

$\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3) = 6$ → El límite es $6$

Respuesta: $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3) = 6$ . En la primera gráfica el punto $(3, 6)$ está sobre la curva y los valores de la tabla se acercan a $6$ .

Errores comunes

Pararse en $\frac{0}{0}$ y responder "el límite es 0", "1" o "no existe"

Por qué está mal: $\frac{0}{0}$ no es un número ni una respuesta final. Solo dice que el numerador y el denominador comparten un factor que oculta el valor real.

Correcto: Toma $\frac{0}{0}$ como una señal: factoriza y simplifica (o racionaliza) y vuelve a sustituir. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x - 3} = 5$ .

Simplificar sumandos en lugar de factores, como $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{x - 9}{-3}$

Por qué está mal: Solo puedes simplificar un factor que multiplique a todo el numerador y a todo el denominador. Una $x$ dentro de una suma no es un factor así.

Correcto: Factoriza primero: $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$ , así que el límite cuando $x \to 3$ es $6$ .

Tratar $\frac{3}{0}$ como $\frac{0}{0}$ e intentar factorizar

Por qué está mal: Cuando solo el denominador es 0, no hay factor común que simplificar. Los valores crecen sin cota cerca de ese $x$ .

Correcto: $\frac{\text{no nulo}}{0}$ significa que no hay límite finito (asíntota vertical). Solo $\frac{0}{0}$ pide factorizar o racionalizar.

Multiplicar solo el numerador por el conjugado

Por qué está mal: Multiplicar solo una parte cambia el valor de la fracción. Lo permitido es multiplicar por $\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}$ , que vale 1.

Correcto: Multiplica el numerador Y el denominador por el conjugado, y deja el denominador factorizado para poder simplificar $(x - 4)$ .

Por qué es importante

En las lecciones «Cálculo de límites a partir de la gráfica» y «Calcular límites con tablas de valores» estimaste límites mirando. La sustitución directa da el valor exacto en segundos, y es el método que más usarás en cálculo.

Derivadas: toda derivada empieza como un límite de la forma $\frac{0}{0}$ , por ejemplo $\lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 9}{h}$ . Factorizar y simplificar es justo la forma de resolverlo.
Física: la velocidad instantánea es el límite de velocidades medias, y se halla factorizando un cociente incremental.
Continuidad: una función es continua en $a$ exactamente cuando la sustitución directa funciona ahí (lección «Continuidad»).
Huecos en gráficas: el factor que simplificas muestra dónde una función racional tiene un hueco, y el límite te da su altura.

Saber cuándo puedes sustituir, y qué hacer cuando obtienes

\frac{0}{0}

, te evita respuestas erróneas como "el límite es 0" o "el límite no existe".

Aplicaciones del mundo real

Velocidad instantánea

El velocímetro muestra la velocidad en un instante. En física se obtiene como el límite de velocidades medias en intervalos de tiempo cada vez más cortos, y ese límite siempre empieza como 0/0.

Ejemplo:

Un carrito se mueve de modo que su posición es $s(t) = t^2 + 3t$ metros tras $t$ segundos. Su velocidad media entre el segundo 2 y el instante $t$ es $\frac{s(t) - s(2)}{t - 2} = \frac{t^2 + 3t - 10}{t - 2}$ . Al factorizar queda $\frac{(t - 2)(t + 5)}{t - 2} = t + 5$ .

1Inténtalo tú mismo

La posición del carrito es $s(t) = t^2 + 3t$ metros. Su velocidad en $t = 2$ segundos es $\lim_{t \to 2} \frac{t^2 + 3t - 10}{t - 2}$ .

¿Cuál es la velocidad del carrito en $t = 2$ segundos, en metros por segundo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Factoriza, simplifica y sustituye: la velocidad es

Baldosas cuadradas que crecen

Diseñadores e ingenieros se preguntan con qué rapidez cambia un área cuando cambia una longitud. Para un cuadrado de lado $x$ el área es $x^2$, y la tasa de cambio en un tamaño concreto es un límite de la forma 0/0.

Ejemplo:

Una baldosa cuadrada de lado $x$ cm tiene un área $A(x) = x^2$ cm². Cuando el lado crece de 5 cm a $x$ cm, el área cambia en promedio $\frac{x^2 - 25}{x - 5}$ cm² por cada cm de lado.

2Inténtalo tú mismo

La rapidez con que crece el área de la baldosa cuando el lado mide exactamente 5 cm es $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$ .

¿Cuántos cm² por cm crece el área con un lado de 5 cm?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Factoriza $x^2 - 25$ , simplifica y sustituye: la tasa es

Ritmo de crecimiento de una planta

Los biólogos modelan el crecimiento con funciones raíz cuadrada. El ritmo de crecimiento en un día concreto es un límite que hay que racionalizar.

Ejemplo:

Un brote mide $h(t) = \sqrt{t}$ dm tras $t$ días. Su crecimiento medio entre el día 9 y el día $t$ es $\frac{\sqrt{t} - 3}{t - 9}$ dm por día.

3Inténtalo tú mismo

El ritmo de crecimiento en el día 9 es $\lim_{t \to 9} \frac{\sqrt{t} - 3}{t - 9}$ . Al multiplicar numerador y denominador por $\sqrt{t} + 3$ se convierte en $\lim_{t \to 9} \frac{1}{\sqrt{t} + 3}$ .

¿Cuál es el ritmo de crecimiento en el día 9, en dm por día?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Sustituye en la expresión simplificada: el ritmo es

Puntos clave

1Para polinomios, $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ : basta con sustituir
2Para funciones racionales, sustituye cuando el denominador no es 0 en $x = a$
3Las propiedades de los límites permiten separar un límite en sumas, productos, cocientes (límite del denominador distinto de 0) y potencias
4 $\frac{0}{0}$ es una indeterminación, nunca la respuesta: primero reescribe la expresión
5Factoriza y simplifica el factor común $(x - a)$ , o multiplica por el conjugado si hay una raíz, y vuelve a sustituir
6 $\frac{\text{no nulo}}{0}$ significa que no hay límite finito (asíntota vertical), no un hueco

Preguntas frecuentes

¿Por qué puedo simplificar $(x - 3)$ si vale 0 en $x = 3$ ?

Un límite cuando

x \to 3

solo usa valores de

x

cercanos a 3, nunca

x = 3

. Para todos esos valores

x - 3 \neq 0

, así que simplificar es válido. Las dos expresiones coinciden en todas partes salvo en

x = 3

, y ese único punto no importa para el límite.

Si obtengo $\frac{0}{0}$ , ¿existe el límite?

Todavía no lo sabes.

\frac{0}{0}

puede ocultar cualquier valor:

\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2

\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0

. Simplifica primero y después decide.

¿Cuándo debo racionalizar en vez de factorizar?

Cuando el 0 viene de una resta con una raíz cuadrada, como

\sqrt{x} - 2

\sqrt{x + 4} - 2

. Multiplica numerador y denominador por el conjugado (mismos términos, signo contrario en medio), porque

(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4

ya no tiene raíz.

¿El límite es lo mismo que el valor de la función?

Para polinomios y para funciones racionales cuyo denominador no es 0, sí: eso es justo lo que dice la sustitución directa. En un hueco, el valor de la función no existe, pero el límite sí (las lecciones «Continuidad» y «Tipos de discontinuidad» lo tratan a fondo).

Glosario

Sustitución directa: Hallar $\lim_{x \to a} f(x)$ calculando $f(a)$ ; funciona con polinomios y con funciones racionales cuyo denominador no se anula en $a$
Propiedades de los límites: Reglas que separan el límite de una suma, resta, producto, cociente o potencia en los límites de sus partes
Indeterminación 0/0: El resultado $\frac{0}{0}$ tras sustituir; no da un valor y significa que hay que reescribir la expresión
Conjugado: El conjugado de $\sqrt{x} - b$ es $\sqrt{x} + b$ ; su producto $x - b^2$ no tiene raíz
Racionalizar: Multiplicar numerador y denominador por un conjugado para eliminar una raíz de una resta

Tarjeta de fórmulas

Sustitución directa

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Para polinomios, y para funciones racionales cuando el denominador no es 0 en $a$

Propiedad del cociente

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}

Solo si $\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$

Factorizar y simplificar

\frac{(x - a) \cdot p(x)}{(x - a) \cdot q(x)} = \frac{p(x)}{q(x)}

Úsalo cuando la sustitución da $\frac{0}{0}$ y luego vuelve a sustituir

Producto por el conjugado

(\sqrt{x} - b)(\sqrt{x} + b) = x - b^2

Para racionalizar un límite 0/0 con raíz cuadrada

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Preguntas frecuentes

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Tarjeta de fórmulas

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Factorizar y simplificar

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