Propiedades de los logaritmos

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuánto vale $\log_6 1$ ?
1. a)no está definido
2. b)0
3. c)6
4. d)1
Respuesta: 0
$6^0 = 1$ , así que $\log_6 1 = 0$ . El logaritmo de $1$ vale $0$ para toda base permitida.
2.
Calcula $\log_8 8$ .
Respuesta: 1
$8^1 = 8$ , así que $\log_8 8 = 1$ . El logaritmo de la base siempre vale $1$ .
3.
Calcula $\log_5 1 + \log_5 5 + \log_5 25$ .
Respuesta: 3
1. ¿Cuánto vale $\log_5 1$ ? 0
2. ¿Cuánto vale $\log_5 5$ ? 1
3. Escribe $25$ como potencia de $5$ . ¿Cuánto vale $\log_5 25$ ? 2
4. Suma los tres valores. 3
4.
Simplifica $\log_3(3^7)$ .
Respuesta: 7
La base del logaritmo y la base de la potencia son ambas $3$ , así que se cancelan y queda el exponente: $\log_3(3^7) = 7$ .
5.
Simplifica $5^{\log_5 9}$ .
1. a)9
2. b)45
3. c)5
4. d) $\log_5 9$
Respuesta: 9
$\log_5 9$ es el exponente que convierte $5$ en $9$ . Elevar $5$ a ese exponente da $9$ .
6.
Calcula $\log 10000$ (logaritmo decimal, base 10).
Respuesta: 4
1. Escribe $10000$ como potencia de $10$ : $10000 = 10^{?}$ 4
2. Usa $\log(10^x) = x$ : ¿cuánto vale $\log 10000$ ? 4
7.
Calcula $\log_2 32$ .
Respuesta: 5
$32 = 2^5$ , así que $\log_2 32 = \log_2(2^5) = 5$ .
8.
¿Cuál de estos logaritmos no está definido?
1. a) $\log_5 5$
2. b) $\log_3(-9)$
3. c) $\log_4 \frac{1}{4}$
4. d) $\log_2 1$
Respuesta: $\log_3(-9)$
El argumento $-9$ es negativo y ninguna potencia de $3$ es negativa, así que $\log_3(-9)$ no está definido. Los demás valen $0$ , $-1$ y $1$ .
9.
¿Para qué valores de $x$ está definido $\log_3(x - 4)$ ? Encuentra el menor número entero $x$ permitido.
Respuesta: 5
1. ¿El argumento $x - 4$ debe ser mayor que qué número? 0
2. Resuelve $x - 4 > 0$ : ¿ $x$ debe ser mayor que qué número? 4
3. ¿Cuál es el menor número entero $x$ permitido? 5
10.
Calcula $\log_5 \frac{1}{25}$ .
Respuesta: -2
$\frac{1}{25} = 5^{-2}$ , así que $\log_5 \frac{1}{25} = \log_5(5^{-2}) = -2$ . El argumento es positivo y el valor es negativo.
11.
Simplifica $2^{\log_2 5} \cdot 3^{\log_3 4}$ .
Respuesta: 20
1. ¿Cuánto vale $2^{\log_2 5}$ ? 5
2. ¿Cuánto vale $3^{\log_3 4}$ ? 4
3. Multiplica los dos resultados. 20
12.
Si $\log_4 M = \log_4 20$ , ¿cuánto vale $M$ ?
1. a)4
2. b)5
3. c)20
4. d)80
Respuesta: 20
Con la misma base, logaritmos iguales significan argumentos iguales, así que $M = 20$ .
13.
Resuelve $\log_3(x + 4) = \log_3 10$ .
Respuesta: 6
1. Iguala los argumentos: $x + 4 = ?$ 10
2. Despeja $x$ . 6
3. Comprobación: ¿cuánto vale el argumento $x + 4$ para este $x$ ? 10
14.
Calcula $\log_3 \frac{1}{9} + 6^{\log_6 11}$ .
Respuesta: 9
1. Escribe $\frac{1}{9}$ como potencia de $3$ : $\frac{1}{9} = 3^{?}$ . ¿Cuánto vale entonces $\log_3 \frac{1}{9}$ ? -2
2. ¿Cuánto vale $6^{\log_6 11}$ ? 11
3. Suma los dos valores. 9
15.
¿Qué afirmación es verdadera para toda base permitida $b$ ?
1. a) $\log_b 0 = 0$
2. b) $\log_b(b^x) = x$ para todo $x$ real
3. c) $\log_b 1 = 1$
4. d) $b^{\log_b x} = x$ para todo $x$ real
Respuesta: $\log_b(b^x) = x$ para todo $x$ real
$\log_b(b^x) = x$ vale para todo $x$ real, porque $b^x$ siempre es positivo. $\log_b 1 = 0$ , no $1$ ; $b^{\log_b x} = x$ necesita $x > 0$ ; y $\log_b 0$ no está definido.
16.
Calcula $\log_2(8^4)$ . Primero escribe $8$ como potencia de $2$ .
Respuesta: 12
$8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$ , así que $\log_2(8^4) = \log_2(2^{12}) = 12$ .
17.
Resuelve $\log_5(x^2 - 6) = \log_5 x$ .
Respuesta: 3
1. Al igualar los argumentos se obtiene $x^2 - x - 6 = 0$ . ¿Cuál es la raíz positiva? 3
2. ¿Cuál es la raíz negativa? -2
3. ¿Cuántos de los dos candidatos hacen positivos los dos argumentos? 1
4. ¿Cuál es la solución de la ecuación? 3
18.
Calcula $\log_4 8$ escribiendo $8$ como potencia de $4$ .
Respuesta: 3/2
1. Escribe $2$ como potencia de $4$ : $2 = 4^{?}$ (como fracción, por ejemplo 1/3) 1/2
2. Ahora $8 = 2^3 = 4^{?}$ (como fracción) 3/2
3. Usa $\log_b(b^x) = x$ : ¿cuánto vale $\log_4 8$ ? 3/2