Guía del profesor: Propiedades de los logaritmos

Aprende las propiedades básicas de los logaritmos: el logaritmo de 1, el logaritmo de la base, las dos propiedades inversas y la igualdad de logaritmos.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Logaritmos. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Calcular $\log_b 1$ y $\log_b b$ para cualquier base permitida
Usar las propiedades inversas $\log_b(b^x) = x$ y $b^{\log_b x} = x$ para simplificar expresiones
Resolver ecuaciones de la forma $\log_b M = \log_b N$ con la igualdad de logaritmos
Reconocer logaritmos no definidos y descartar candidatos que hacen un argumento cero o negativo
Nombrar las reglas del producto, del cociente y de la potencia y relacionarlas con las propiedades básicas

Requisitos previos

• Definición de logaritmo: pasar de $\log_b x = y$ a $b^y = x$ y al revés
• Propiedades de las potencias, incluidos $b^0 = 1$ y los exponentes negativos
• Resolver ecuaciones lineales y ecuaciones de segundo grado sencillas por factorización

Iniciadores de discusión

1. Toda gráfica $y = \log_b x$ pasa por el punto $(1, 0)$ . ¿Qué propiedad lo explica?
2. ¿Por qué tienen que coincidir las bases para que $b^{\log_b x}$ se simplifique a $x$ ? Prueba con $2^{\log_4 16}$ .
3. Dos números positivos distintos nunca tienen el mismo logaritmo en la misma base. ¿Cómo lo muestra la gráfica?
4. ¿Puede un logaritmo tener un valor negativo? ¿Puede tener un argumento negativo? ¿Cuál es la diferencia?

Conceptos erróneos comunes

$\log_b 1 = 1$ porque 'el logaritmo de uno es uno'

Remediación: Vuelve a la pregunta que hace el logaritmo: ¿qué potencia de $b$ da $1$ ? Pide a los alumnos que prueben $2^1$ y $2^0$ y vean que solo funciona el exponente $0$ .

Una potencia y un logaritmo siempre se cancelan, sean cuales sean las bases

Remediación: Compara $3^{\log_3 9} = 9$ con $2^{\log_3 9} = 2^2 = 4$ . Pide a los alumnos que rodeen las dos bases antes de cancelar nada.

Toda solución de $M = N$ es solución de $\log_b M = \log_b N$

Remediación: Resolved juntos $\log_4(x^2 - 4) = \log_4(3x)$ y probad $x = -1$ en la ecuación original. Haced de la comprobación del dominio un último paso fijo.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar solo con las bases $10$ y $2$ y tener una tabla de potencias ( $2^1$ a $2^{10}$ ) en la mesa
• Practicar cada propiedad por separado antes de mezclarlas
• Leer cada logaritmo en voz alta como una pregunta: ¿qué potencia de $b$ da $x$ ?

Para estudiantes de nivel:

• Mezclar las cinco propiedades en una misma serie de cálculos
• Resolver ecuaciones con argumentos lineales mediante la igualdad de logaritmos y comprobar los argumentos
• Usar la gráfica para explicar por qué $\log_b 1 = 0$ y $\log_b b = 1$ valen para cualquier base

Para estudiantes avanzados:

• Resolver ecuaciones que llevan a una ecuación de segundo grado y descartar los candidatos fuera del dominio
• Demostrar $b^{\log_b x} = x$ y $\log_b(b^x) = x$ a partir de la definición de logaritmo
• Adelantar cómo la regla del producto se deduce de $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$

Alineación con estándares

HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprender la relación inversa entre potencias y logaritmos y usarla para resolver problemas con logaritmos y exponentes
HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Expresar la solución de un modelo exponencial como un logaritmo y calcular ese logaritmo

Recursos de la lección

visualGráfica del logaritmo con deslizador de base
Los alumnos cambian la base $b$ y ven que toda curva $y = \log_b x$ pasa por $(1, 0)$ y $(b, 1)$
activityClasificar propiedades
Tarjetas con expresiones como $\log_6 1$ , $5^{\log_5 8}$ y $\log_2(2^9)$ se clasifican según la propiedad que usan y después se calculan
worksheet¿Definido o no definido?
Los alumnos deciden qué logaritmos existen y comprueban los candidatos de ecuaciones resueltas con la igualdad de logaritmos

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Las propiedades básicas de los logaritmos salen todas de un solo hecho: un logaritmo es un exponente. Para una base

b > 0

con

b \neq 1

\log_b x = y \iff b^y = x

Las cinco propiedades básicas

1.Logaritmo de 1: $\log_b 1 = 0$ , porque $b^0 = 1$
2.Logaritmo de la base: $\log_b b = 1$ , porque $b^1 = b$
3.Propiedad inversa (logaritmo de una potencia de la base): $\log_b(b^x) = x$ para todo número real $x$
4.Propiedad inversa (base elevada a un logaritmo): $b^{\log_b x} = x$ para todo $x > 0$
5.Igualdad de logaritmos: si $\log_b M = \log_b N$ (con $M > 0$ , $N > 0$ ), entonces $M = N$

Lo que no está permitido: el argumento de un logaritmo debe ser positivo.

\log_b 0

\log_b(-5)

no están definidos, porque

b^y

es positivo para cualquier exponente

y

Las propiedades 3 y 4 dicen que

y = \log_b x

y = b^x

son funciones inversas: una deshace lo que hace la otra.

Resumen: las tres reglas para combinar logaritmos (cada una tiene su propia lección)

Regla	Fórmula	Lección
Regla del producto	$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$	Regla del producto para logaritmos
Regla del cociente	$\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N$	Regla del cociente de los logaritmos
Regla de la potencia	$\log_b(M^p) = p \log_b M$	Regla de la potencia de los logaritmos

En esta lección practicamos las cinco propiedades básicas. Las tres reglas de la tabla se explican paso a paso en sus propias lecciones.

Ejemplos resueltos

Calcula $\log_9 1 + \log_9 9$ .

Calcula $\log_9 1$

¿Qué potencia de $9$ da $1$ ? $9^0 = 1$ → $\log_9 1 = 0$

Calcula $\log_9 9$

¿Qué potencia de $9$ da $9$ ? $9^1 = 9$ → $\log_9 9 = 1$

Suma los resultados

$0 + 1$

Respuesta: $\log_9 1 + \log_9 9 = 1$

Errores comunes

Escribir $\log_b 1 = 1$ o $\log_b 1 = b$

Por qué está mal: El logaritmo es el exponente, no el resultado. La pregunta es: ¿qué potencia de $b$ da $1$ ?

Correcto: $b^0 = 1$ , así que $\log_b 1 = 0$ para toda base permitida. Por ejemplo, $\log_7 1 = 0$ .

Pensar que $\log_b 0 = 0$ o que el logaritmo de un número negativo es un número negativo

Por qué está mal: Una base positiva elevada a cualquier potencia siempre es positiva, así que ningún exponente da $0$ ni un número negativo.

Correcto: $\log_b 0$ y $\log_b(-4)$ no están definidos. El argumento debe ser mayor que $0$ , pero el valor de un logaritmo sí puede ser negativo: $\log_2 \frac{1}{8} = -3$ .

Cancelar una potencia y un logaritmo con bases distintas: $2^{\log_3 9} = 9$

Por qué está mal: $b^{\log_b x} = x$ solo funciona cuando la base de la potencia y la base del logaritmo son el mismo número.

Correcto: Aquí las bases son distintas: $\log_3 9 = 2$ , así que $2^{\log_3 9} = 2^2 = 4$ , no $9$ .

Usar la igualdad de logaritmos y no comprobar los argumentos

Por qué está mal: Al igualar los argumentos puede salir un valor que hace un argumento cero o negativo, donde el logaritmo original no existe.

Correcto: Sustituye siempre cada candidato en todos los argumentos. Quédate con él solo si todos los argumentos son positivos.

Por qué es importante

Las propiedades básicas son las herramientas que usas cada vez que trabajas con logaritmos:

Calcular sin calculadora: $\log_2 64 = \log_2(2^6) = 6$ en una sola línea
Resolver ecuaciones: las propiedades inversas eliminan un logaritmo o una potencia, así $\log_3 x = 4$ se convierte en $x = 3^4 = 81$
Comparar: la igualdad de logaritmos convierte $\log_5(2x + 1) = \log_5 11$ en la ecuación sencilla $2x + 1 = 11$
Escalas científicas: los decibelios, el pH y la escala de Richter usan $\log$ . Un sonido en el umbral de audición tiene $10 \log 1 = 0$ decibelios
Evitar errores: saber que $\log_b 0$ y los logaritmos de números negativos no están definidos te dice qué soluciones descartar

Las reglas del producto, del cociente y de la potencia (y la fórmula del cambio de base) se basan todas en estas cinco propiedades.

Aplicaciones del mundo real

Nivel sonoro en decibelios

El nivel de un sonido es $L = 10 \log \frac{I}{I_0}$ decibelios, donde $I_0$ es el sonido más débil que una persona puede oír. Las propiedades básicas hacen el cálculo rápido.

Ejemplo:

En el umbral de audición $I = I_0$ , así que $L = 10 \log 1 = 10 \cdot 0 = 0$ decibelios.

1Inténtalo tú mismo

Un concierto de rock tiene una intensidad $I = 10^{11} \cdot I_0$ , así que $\frac{I}{I_0} = 10^{11}$ .

¿Cuál es el nivel sonoro del concierto en decibelios?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $L = 10 \log(10^{11})$ :

Acidez y pH

En química la acidez se mide con $\text{pH} = -\log[H^+]$, donde $[H^+]$ es la concentración de iones hidrógeno en moles por litro. La propiedad inversa convierte un pH en una concentración.

Ejemplo:

El agua pura tiene $[H^+] = 10^{-7}$ , así que $\text{pH} = -\log(10^{-7}) = -(-7) = 7$ .

2Inténtalo tú mismo

El zumo de limón tiene un pH de $2$ , así que $-\log[H^+] = 2$ y $\log[H^+] = -2$ .

¿Cuál es la concentración de iones hidrógeno $[H^+]$ del zumo de limón?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $10^{\log x} = x$ y calcula $[H^+] = 10^{-2}$ :

Rondas de un torneo por eliminatorias

En un torneo por eliminatorias, la mitad de los participantes queda eliminada en cada ronda. Con $2^n$ participantes hay $\log_2(2^n) = n$ rondas hasta que queda un ganador.

Ejemplo:

Con $16 = 2^4$ equipos hay $\log_2 16 = \log_2(2^4) = 4$ rondas.

3Inténtalo tú mismo

Un torneo de ajedrez del instituto empieza con $128$ jugadores. Cada partida tiene un ganador y el perdedor queda eliminado.

¿Cuántas rondas hacen falta para encontrar al campeón?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\log_2 128$ :

Puntos clave

1 $\log_b 1 = 0$ porque $b^0 = 1$ , y $\log_b b = 1$ porque $b^1 = b$
2Propiedad inversa: $\log_b(b^x) = x$ para todo número real $x$
3Propiedad inversa: $b^{\log_b x} = x$ para todo $x > 0$ , pero solo si las dos bases son iguales
4Igualdad de logaritmos: si $\log_b M = \log_b N$ , entonces $M = N$ ; comprueba siempre que los argumentos sean positivos
5 $\log_b 0$ y el logaritmo de un número negativo no están definidos, pero el valor de un logaritmo sí puede ser negativo
6Las reglas del producto, del cociente y de la potencia se basan en estas propiedades y tienen sus propias lecciones

Preguntas frecuentes

¿Por qué $\log_b 1$ siempre vale $0$ ?

Cualquier base permitida elevada a

0

1

2^0 = 1

10^0 = 1

e^0 = 1

. El logaritmo pregunta por ese exponente, así que la respuesta siempre es

0

¿Puede ser negativo el valor de un logaritmo?

Sí. Solo el argumento tiene que ser positivo. Por ejemplo,

\log_{10} 0{,}01 = -2

porque

10^{-2} = 0{,}01

. El argumento

0{,}01

es positivo y el valor

-2

es negativo.

¿Por qué $b^{\log_b x} = x$ necesita $x > 0$ , mientras que $\log_b(b^x) = x$ vale para todo $x$ ?

\log_b(b^x)

el argumento

b^x

siempre es positivo, así que cualquier

x

real está permitido. En

b^{\log_b x}

primero tiene que existir

\log_b x

, y para eso hace falta

x > 0

¿Dónde están las reglas del producto, del cociente y de la potencia?

Cada una tiene su propia lección: Regla del producto para logaritmos, Regla del cociente de los logaritmos y Regla de la potencia de los logaritmos. Usan las propiedades de esta lección, así que conviene dominarlas primero.

Glosario

Logaritmo: El exponente $y$ tal que $b^y = x$ , escrito $\log_b x = y$
Base: El número $b$ en $\log_b x$ ; debe cumplir $b > 0$ y $b \neq 1$
Argumento: El número $x$ en $\log_b x$ ; debe ser positivo
Propiedades inversas: $\log_b(b^x) = x$ y $b^{\log_b x} = x$ : el logaritmo y la función exponencial de la misma base se deshacen mutuamente
Igualdad de logaritmos: Si $\log_b M = \log_b N$ , entonces $M = N$ : dos argumentos positivos distintos nunca tienen el mismo logaritmo
Función inversa: Una función que deshace lo que hace otra; $y = \log_b x$ es la función inversa de $y = b^x$

Tarjeta de fórmulas

Logaritmo de 1

\log_b 1 = 0

Porque $b^0 = 1$

Logaritmo de la base

\log_b b = 1

Porque $b^1 = b$

Propiedad inversa 1

\log_b(b^x) = x

Para todo número real $x$

Propiedad inversa 2

b^{\log_b x} = x

Para todo $x > 0$, misma base en los dos niveles

Igualdad de logaritmos

\log_b M = \log_b N \Rightarrow M = N

Comprueba que $M > 0$ y $N > 0$

Dominio

\log_b x

solo existe para

x > 0

$\log_b 0$ y los logaritmos de números negativos no están definidos

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

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Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Nivel sonoro en decibelios

Acidez y pH

Rondas de un torneo por eliminatorias

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Logaritmo de 1

Logaritmo de la base

Propiedad inversa 1

Propiedad inversa 2

Igualdad de logaritmos

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