Regla del producto para logaritmos

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué expresión es igual a $\log_b(MN)$ (con $M, N > 0$ )?
1. a) $\log_b M + \log_b N$
2. b) $\log_b M \cdot \log_b N$
3. c) $\log_b(M + N)$
4. d) $\log_b M - \log_b N$
Respuesta: $\log_b M + \log_b N$
Por la regla del producto, $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ . El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos, no su producto.
2.
Usa la regla del producto: $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = \;?$
Respuesta: 5
$\log_2 4 = 2$ y $\log_2 8 = 3$ , así que la suma es $5$ . Comprobación: $4 \cdot 8 = 32 = 2^5$ .
3.
Desarrolla $\log_3(5x)$ para $x > 0$ .
1. a) $\log_3(5 + x)$
2. b) $5 \log_3 x$
3. c) $\log_3 5 + \log_3 x$
4. d) $\log_3 5 \cdot \log_3 x$
Respuesta: $\log_3 5 + \log_3 x$
$\log_3(5x) = \log_3 5 + \log_3 x$ . El factor $5$ no pasa delante del logaritmo (para eso haría falta una potencia, $x^5$ ).
4.
Calcula $\log 2 + \log 50$ (logaritmo decimal, base 10) sin calculadora.
Respuesta: 2
$\log 2 + \log 50 = \log 100 = 2$ , porque $10^2 = 100$ .
5.
Escribe $\log_6 4 + \log_6 9$ como un solo logaritmo y calcúlalo.
Respuesta: 2
1. Multiplica los argumentos: $4 \cdot 9 = \;?$ 36
2. ¿Cuánto vale $\log_6 36$ ? 2
6.
Comprueba que $\log_2 32 = \log_2 4 + \log_2 8$ .
Respuesta: 5
1. ¿Cuánto vale $\log_2 4$ ? 2
2. ¿Cuánto vale $\log_2 8$ ? 3
3. ¿Cuánto vale $\log_2 32$ ? (Debe ser la suma de los dos resultados.) 5
7.
¿Qué afirmación es verdadera?
1. a) $\log(10 + 10) = 2$
2. b) $\log(2 \cdot 5) = \log 2 + \log 5$
3. c) $\log(6 + 4) = \log 6 + \log 4$
4. d) $\log 2 \cdot \log 5 = \log 10$
Respuesta: $\log(2 \cdot 5) = \log 2 + \log 5$
$\log(2 \cdot 5) = \log 2 + \log 5$ es la regla del producto ( $= \log 10 = 1$ ). Las demás son falsas: $\log(6+4) = 1$ pero $\log 6 + \log 4 \approx 1{,}380$ ; $\log 2 \cdot \log 5 \approx 0{,}210$ ; $\log 20 \approx 1{,}301$ , no $2$ .
8.
Usa $\log 2 \approx 0{,}301$ y $\log 3 \approx 0{,}477$ para aproximar $\log 6$ . Da el resultado con 3 decimales.
Respuesta: 0.778
$\log 6 = \log 2 + \log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778$ . (La calculadora da $0{,}77815\ldots$ )
9.
Si $\log_b M = 3{,}2$ y $\log_b N = 1{,}5$ , ¿cuánto vale $\log_b(MN)$ ?
Respuesta: 4.7
$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N = 3{,}2 + 1{,}5 = 4{,}7$ . No necesitas conocer $b$ , $M$ ni $N$ .
10.
Aproxima $\log 12$ usando $\log 2 \approx 0{,}301$ y $\log 3 \approx 0{,}477$ . Da el resultado con 3 decimales.
Respuesta: 1.079
1. $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ . ¿Cuántos factores $2$ hay? 2
2. ¿Cuánto vale $\log 2 + \log 2$ ? 0.602
3. Suma $\log 3$ : ¿cuánto vale $\log 12$ ? 1.079
11.
Desarrolla $\log_2(8xy) = \log_2 8 + \log_2 x + \log_2 y$ y calcula su valor para $x = 4$ y $y = 16$ .
Respuesta: 9
1. ¿Cuánto vale $\log_2 8$ ? 3
2. ¿Cuánto vale $\log_2 x$ para $x = 4$ ? 2
3. ¿Cuánto vale $\log_2 y$ para $y = 16$ ? 4
4. Suma los tres resultados. ¿Cuánto vale $\log_2(8xy)$ ? 9
12.
Compacta $\log_4 2 + \log_4 32$ en un solo logaritmo y calcúlalo.
Respuesta: 3
1. Multiplica los argumentos: $2 \cdot 32 = \;?$ 64
2. ¿Cuánto vale $\log_4 64$ ? 3
13.
Compacta $\log_5 x + \log_5(x + 3)$ en un solo logaritmo.
1. a) $2\log_5 x + 3$
2. b) $\log_5(x^2 + 3x)$
3. c) $\log_5(x^2 + 3)$
4. d) $\log_5(2x + 3)$
Respuesta: $\log_5(x^2 + 3x)$
$\log_5 x + \log_5(x+3) = \log_5\big(x(x+3)\big) = \log_5(x^2 + 3x)$ , válido para $x > 0$ .
14.
¿Para qué valores de $x$ se cumple $\log x + \log(x - 4) = \log(x^2 - 4x)$ ?
1. a)Para $x > 4$
2. b)Para todos los números reales $x$
3. c)Para $x > 0$
4. d)Para $x < 0$ o $x > 4$
Respuesta: Para $x > 4$
El lado izquierdo solo existe si $x > 0$ y $x > 4$ , es decir, para $x > 4$ . El lado derecho también existe para $x < 0$ (por ejemplo, $x = -1$ da $\log 5$ ), pero entonces $\log(-1)$ a la izquierda no existe. La igualdad se cumple exactamente para $x > 4$ .
15.
Usa $\log 2 \approx 0{,}301$ para aproximar $\log 2000$ . Da el resultado con 3 decimales.
Respuesta: 3.301
$\log 2000 = \log 2 + \log 1000 \approx 0{,}301 + 3 = 3{,}301$ . Multiplicar por $1000$ simplemente suma $3$ al logaritmo.
16.
Compacta $\log_3 x + \log_3 9 + \log_3 x$ en un solo logaritmo $\log_3(9x^2)$ y calcúlalo para $x = 3$ .
Respuesta: 4
1. ¿Cuánto vale el argumento $9x^2$ para $x = 3$ ? 81
2. ¿Cuánto vale $\log_3 81$ ? 4
3. Comprueba con la suma original: $\log_3 3 + \log_3 9 + \log_3 3 = \;?$ 4
17.
Un sonido tiene un nivel de $50$ decibelios: $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right) = 50$ . Su intensidad se multiplica por $100$ . Usa $10 \log\left(100 \cdot \frac{I}{I_0}\right) = 10 \log 100 + 10 \log\frac{I}{I_0}$ para hallar el nuevo nivel.
Respuesta: 70
1. ¿Cuánto vale $\log 100$ ? 2
2. ¿Cuánto vale $10 \log 100$ ? 20
3. ¿Cuál es el nuevo nivel en decibelios? 70
18.
Usa $\log 2 \approx 0{,}301$ , $\log 3 \approx 0{,}477$ y $\log 7 \approx 0{,}845$ para aproximar $\log 42$ . Da el resultado con 3 decimales.
Respuesta: 1.623
1. $42 = 2 \cdot 3 \cdot \;?$ 7
2. ¿Cuánto vale $\log 2 + \log 3$ ? 0.778
3. Suma $\log 7$ : ¿cuánto vale $\log 42$ ? 1.623