Guía del profesor: Regla del producto para logaritmos

Aprende por qué el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos y usa esta regla para desarrollar, compactar y calcular logaritmos.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Logaritmos. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Enunciar la regla del producto para logaritmos y las condiciones sobre la base y los argumentos
Explicar la regla con la propiedad de los exponentes $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$
Desarrollar logaritmos de productos en sumas de logaritmos
Compactar sumas de logaritmos de la misma base en un solo logaritmo
Aproximar logaritmos de productos a partir de valores conocidos como $\log 2 \approx 0{,}301$

Requisitos previos

• Definición de logaritmo: $\log_b y = x$ significa $b^x = y$
• Regla de los exponentes para multiplicar: $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$
• Logaritmo decimal (base 10): leer $\log x$ como $\log_{10} x$
• Propiedades de los logaritmos: visión general de las reglas

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué al multiplicar dos números se suman sus logaritmos? ¿En qué se parece a $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ ?
2. Si $\log 2 \approx 0{,}301$ , ¿cuánto vale $\log 20$ ? ¿Y $\log 200$ ? ¿Qué patrón ves?
3. Tu amigo escribe $\log(x + 5) = \log x + \log 5$ . ¿Cómo lo convencerías de que está mal?
4. Antes de las calculadoras, ¿por qué una tabla de logaritmos hacía más fácil multiplicar números grandes?

Conceptos erróneos comunes

Tratar $\log$ como un número que se reparte sobre una suma: $\log(M + N) = \log M + \log N$

Remediación: Pide a los alumnos que comparen $\log(6 + 4)$ y $\log 6 + \log 4$ en la calculadora. Recalca que $\log$ es una función, no un factor, y que la regla necesita un producto dentro.

Creer que el logaritmo de un producto es el producto de los logaritmos

Remediación: Compara $\log_2(4 \cdot 8) = 5$ con $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 6$ . Relaciónalo con los exponentes: $2^2 \cdot 2^3 = 2^5$ , los exponentes se suman, no se multiplican.

Creer que se puede compactar cualquier par de logaritmos, aunque tengan bases distintas

Remediación: Repasa la demostración: necesita una sola base $b$ para las dos potencias. Muestra que $\log_2 8 + \log_4 16 = 3 + 2 = 5$ , pero el producto es $8 \cdot 16 = 128$ y $\log_2 128 = 7$ , $\log_4 128 = 3{,}5$ : ninguna de las dos bases da $5$ .

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con base 2 y potencias de 2 para que cada logaritmo sea un número entero ( $\log_2 4 + \log_2 8 = \log_2 32$ )
• Escribir primero cada número como potencia ( $4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ ) y sumar los exponentes
• Comprobar cada desarrollo numéricamente con la calculadora

Para estudiantes de nivel:

• Desarrollar expresiones como $\log_5(25xy)$ y compactar sumas como $\log_6 4 + \log_6 9$
• Aproximar $\log 6$ , $\log 12$ y $\log 2000$ a partir de $\log 2$ y $\log 3$
• Distinguir afirmaciones verdaderas y falsas sobre logaritmos y corregir las falsas

Para estudiantes avanzados:

• Demostrar la regla del producto con sus propias palabras a partir de la definición de logaritmo
• Explicar con la gráfica por qué $y = \log_2(ax)$ es un desplazamiento vertical de $y = \log_2 x$
• Compactar expresiones con variables e indicar el dominio, como $\log x + \log(x - 4)$

Alineación con estándares

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Expresar la solución de un modelo exponencial como logaritmo y calcular el logaritmo con tecnología
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprender la relación inversa entre exponentes y logaritmos y usarla para resolver problemas
HSA-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
Usar la estructura de una expresión para encontrar formas de reescribirla

Recursos de la lección

visualGráfica logarítmica desplazada
Mueve $a$ y observa que $y = \log_2(a x)$ es la gráfica de $y = \log_2 x$ desplazada hacia arriba $\log_2 a$
activityComprobación con calculadora
Los alumnos prueban afirmaciones verdaderas y falsas como $\log 20 = \log 4 + \log 5$ y $\log(6 + 4) = \log 6 + \log 4$
worksheetDesarrollar y compactar
Práctica mixta para desarrollar productos y compactar sumas, además de estimaciones con $\log 2$ y $\log 3$

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La regla del producto para logaritmos dice que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de sus factores:

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Se cumple para cualquier base

b > 0

b \neq 1

, y para números

M

N

positivos.

Por qué funciona: un logaritmo es un exponente. Escribe

M = b^m

N = b^n

, así que

\log_b M = m

\log_b N = n

. Cuando multiplicas potencias de la misma base, sumas los exponentes:

MN = b^m \cdot b^n = b^{m+n}

Por tanto, el exponente de

MN

m + n

, es decir,

\log_b(MN) = m + n = \log_b M + \log_b N

Comprobación con números:

\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 32 = 5

\log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5

Usada de izquierda a derecha, la regla desarrolla el logaritmo de un producto en una suma. Usada de derecha a izquierda, compacta una suma de logaritmos (de la misma base) en un solo logaritmo.

Ejemplos resueltos

Demuestra que $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8$ .

Calcula el lado izquierdo

$4 \cdot 8 = 32$ y $2^5 = 32$ → $\log_2 32 = 5$

Calcula cada logaritmo del lado derecho

$2^2 = 4$ y $2^3 = 8$ → $\log_2 4 = 2$ , $\log_2 8 = 3$

Suma y compara

$2 + 3 = 5$ , igual que el lado izquierdo → $5 = 5$

Respuesta: Los dos lados valen $5$ : multiplicar $4$ por $8$ suma los exponentes $2$ y $3$ .

Errores comunes

Escribir $\log(M + N) = \log M + \log N$

Por qué está mal: La regla trata de un producto dentro del logaritmo, no de una suma. Comprobación: $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$ , pero $\log 6 + \log 4 \approx 0{,}778 + 0{,}602 = 1{,}380$ .

Correcto: Solo se cumple $\log(MN) = \log M + \log N$ . El logaritmo de una suma, como $\log(x + 3)$ , no se puede separar.

Multiplicar los logaritmos: $\log_b(MN) = \log_b M \cdot \log_b N$

Por qué está mal: Al multiplicar los números se suman los exponentes, no se multiplican. Comprobación: $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$ , pero $\log_2 32 = 5$ .

Correcto: Un producto dentro se convierte en una suma fuera: $\log_2(4 \cdot 8) = 2 + 3 = 5$ .

Compactar logaritmos de bases distintas: $\log_2 x + \log_3 y = \log_6(xy)$

Por qué está mal: La demostración usa $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ , que solo funciona cuando las dos potencias tienen la misma base $b$ .

Correcto: Compacta solo logaritmos de la misma base. $\log_2 x + \log_3 y$ se queda como está (o usa antes la fórmula del cambio de base).

Usar la regla con factores negativos: $\log\big((-2)(-5)\big) = \log(-2) + \log(-5)$

Por qué está mal: $\log 10 = 1$ existe, pero $\log(-2)$ y $\log(-5)$ no: el argumento de un logaritmo debe ser positivo.

Correcto: La regla necesita $M > 0$ y $N > 0$ . Al compactar, conserva el dominio de los logaritmos originales (por ejemplo, $x > 0$ ).

Por qué es importante

La regla del producto convierte la multiplicación en suma, que es justo la razón por la que se inventaron los logaritmos:

Calcular a mano: antes de las calculadoras, se multiplicaban números grandes sumando sus logaritmos sacados de una tabla (la regla de cálculo también suma longitudes).
Calcular logaritmos: si conoces $\log 2 \approx 0{,}301$ y $\log 3 \approx 0{,}477$ , obtienes $\log 6 \approx 0{,}778$ sin calculadora.
Sonido y ciencia: cuando un sonido se vuelve 100 veces más intenso, su nivel en decibelios sube una cantidad fija, porque $\log(100 \cdot I) = 2 + \log I$ .
Resolver ecuaciones: en la lección Resolver ecuaciones logarítmicas compactarás $\log_2 x + \log_2(x+2)$ en un solo logaritmo antes de resolver.
Informática: combinar elecciones independientes multiplica las posibilidades pero suma los bits, porque $\log_2(16 \cdot 64) = 4 + 6$ .

Aplicaciones del mundo real

Decibelios e intensidad del sonido

El nivel sonoro en decibelios es $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$. Cuando la intensidad $I$ se multiplica por un factor $k$, la regla del producto da $\log(k \cdot \frac{I}{I_0}) = \log k + \log\frac{I}{I_0}$, así que el nivel sube $10 \log k$.

Ejemplo:

Un sonido que se vuelve 10 veces más intenso sube $10 \log 10 = 10$ decibelios, sea cual sea su nivel inicial.

1Inténtalo tú mismo

En una calle se miden $60$ decibelios. Una máquina de obra hace que la intensidad del sonido sea $1000$ veces mayor.

¿Cuál es el nuevo nivel sonoro en decibelios?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Suma $10 \log(1000)$ al nivel anterior:

La regla de cálculo: multiplicar sumando

Una regla de cálculo marca cada número $x$ a una distancia $\log x$ del inicio. Al deslizar una escala sobre la otra se suman dos distancias, y por la regla del producto la suma de las distancias es el logaritmo del producto.

Ejemplo:

Para multiplicar $2 \cdot 3$ se suma $\log 2 + \log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778$ , y justo ahí está marcado el $6$ .

2Inténtalo tú mismo

En una regla de cálculo, el $4$ está a la distancia $\log 4 \approx 0{,}602$ y el $5$ a la distancia $\log 5 \approx 0{,}699$ . Puestos uno tras otro dan una distancia total.

¿Qué producto muestra la regla de cálculo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Busca el número cuyo logaritmo es la distancia total:

Bits de información

En informática, para guardar una de $N$ opciones igual de probables se necesitan $\log_2 N$ bits. Combinar dos elecciones independientes multiplica las opciones pero suma los bits.

Ejemplo:

Elegir entre $8$ símbolos necesita $\log_2 8 = 3$ bits, elegir entre $4$ necesita $2$ bits, y las dos juntas tienen $32$ opciones: $\log_2 32 = 3 + 2 = 5$ bits.

3Inténtalo tú mismo

Un personaje de un videojuego se guarda con uno de $16$ colores y una de $64$ formas.

¿Cuántos bits hacen falta para guardar el color y la forma juntos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $\log_2(16 \cdot 64) = \log_2 16 + \log_2 64$ :

Puntos clave

1Regla del producto: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ para $M > 0$ , $N > 0$ , $b > 0$ , $b \neq 1$
2Viene de la regla de los exponentes $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ : al multiplicar números se suman sus exponentes
3Desarrollar: escribir el logaritmo de un producto como una suma, por ejemplo $\log_3(9x) = 2 + \log_3 x$
4Compactar: juntar una suma de logaritmos de la misma base en un solo logaritmo, por ejemplo $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4 16$
5Con $\log 2 \approx 0{,}301$ y $\log 3 \approx 0{,}477$ puedes aproximar logaritmos de productos, como $\log 6 \approx 0{,}778$
6No hay regla para $\log(M + N)$ : el logaritmo de una suma no se puede separar

Preguntas frecuentes

¿La regla del producto funciona con más de dos factores?

Sí. Aplícala varias veces:

\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P

. Por ejemplo,

\log 42 = \log 2 + \log 3 + \log 7

¿Funciona también con el logaritmo natural?

Sí, funciona con cualquier base válida, también con

e

\ln(MN) = \ln M + \ln N

. Por ejemplo,

\ln 2 + \ln 5 = \ln 10

¿Hay una regla para $\log(M + N)$ ?

No. En general, el logaritmo de una suma no tiene una forma más sencilla.

\log(6 + 4) = \log 10 = 1

, mientras que

\log 6 + \log 4 \approx 1{,}380

¿En qué se diferencia de las reglas del cociente y de la potencia?

Son hermanas de la misma idea. La regla del producto convierte la multiplicación en suma; la Regla del cociente de los logaritmos convierte la división en resta; la Regla de la potencia de los logaritmos convierte una potencia en una multiplicación por el exponente.

Glosario

Regla del producto: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ : el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos
Desarrollar: Escribir un logaritmo como suma de logaritmos más sencillos, por ejemplo $\log(2x) = \log 2 + \log x$
Compactar: Juntar una suma de logaritmos de la misma base en un solo logaritmo
Argumento: El número dentro del logaritmo, $M$ en $\log_b M$ ; debe ser positivo
Logaritmo decimal: El logaritmo de base 10, que se escribe $\log x$

Tarjeta de fórmulas

Regla del producto

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Para $M, N > 0$ y $b > 0$, $b \neq 1$

De dónde viene

b^m \cdot b^n = b^{m+n}

Al multiplicar potencias se suman los exponentes

Tres factores

\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P

Aplicar la regla varias veces

Valores útiles

\log 2 \approx 0{,}301

\log 3 \approx 0{,}477

Logaritmos decimales para estimar logaritmos de productos

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

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Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

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Bits de información

Puntos clave

Preguntas frecuentes

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