Sucesiones aritméticas

Aprende a identificar, analizar y trabajar con sucesiones aritméticas donde los términos aumentan o disminuyen por una diferencia constante.

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Definición

Una sucesión aritmética es una sucesión de números donde la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma. Esta diferencia constante se llama diferencia común y se denota con dd.
Por ejemplo: 3,7,11,15,19,…3, 7, 11, 15, 19, \ldots
Aquí, cada término es 4 más que el anterior, así que d=4d = 4.

La fórmula explícita

Para encontrar cualquier término de una sucesión aritmética, usa la fórmula explícita:
an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
Donde:
  • ana_n = el nn-ésimo término (el término que queremos encontrar)
  • a1a_1 = el primer término
  • nn = la posición del término
  • dd = la diferencia común

Encontrar la diferencia común

Para encontrar dd, resta cualquier término del término que le sigue:
d=an+1−and = a_{n+1} - a_n

Pruébalo ahora

¿Cuál sucesión es aritmética?

Ejemplos resueltos

Encuentra la diferencia común de la sucesión: 8,5,2,−1,−4,…8, 5, 2, -1, -4, \ldots
1

Elige dos términos consecutivos

Tomemos a1=8a_1 = 8 y a2=5a_2 = 5 → Primeros dos términos identificados
2

Resta el primero del segundo

d=a2−a1=5−8=−3d = a_2 - a_1 = 5 - 8 = -3 → d=−3d = -3
3

Verifica con otro par

2−5=−32 - 5 = -3 y −1−2=−3-1 - 2 = -3 → Confirmado: d=−3d = -3

Errores comunes

Usar nn en lugar de (n−1)(n-1) en la fórmula

Por qué está mal: La fórmula an=a1+nda_n = a_1 + nd daría el (n+1)(n+1)-ésimo término, no el nn-ésimo. Cuando n=1n=1, deberíamos obtener a1a_1, lo que requiere (n−1)=0(n-1) = 0.

Correcto: Usa siempre an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d. Verifica: cuando n=1n=1, a1=a1+0⋅d=a1a_1 = a_1 + 0 \cdot d = a_1.

Restar en el orden incorrecto al encontrar dd

Por qué está mal: Los estudiantes a veces calculan an−an+1a_n - a_{n+1} en lugar de an+1−ana_{n+1} - a_n, lo que da el signo incorrecto para dd.

Correcto: Siempre resta el término anterior del posterior: d=an+1−and = a_{n+1} - a_n

Olvidar que dd puede ser negativo

Por qué está mal: ¡Las sucesiones aritméticas pueden decrecer! Una sucesión como 20,17,14,11,…20, 17, 14, 11, \ldots tiene d=−3d = -3.

Correcto: Verifica si la sucesión es creciente (d>0d > 0) o decreciente (d<0d < 0) antes de escribir la fórmula.

Confundir el número del término con el valor del término

Por qué está mal: En a5=23a_5 = 23, el subíndice 5 es la posición (5to término), y 23 es el valor.

Correcto: ana_n significa el término en la posición nn. El subíndice siempre es la posición.

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Explorador de sucesiones

3,
7,
11,
15,
19,
23,
27,
31
, ...

Fórmula

a_n = 3 + 4(n - 1) = 4n - 1
Fórmula de suma: S_8 = 8/2 × (2×3 + 7×4) = 136
12345678
a_1

3

a_5

19

a_10

39

a_20

79

a

Haz clic en los números para seleccionarlos. Ajusta el rango para explorar diferentes valores.

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Problemas de práctica

17 problemas
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Fácil
¿Cuál sucesión es aritmética?

Por qué es importante

Las sucesiones aritméticas aparecen en todas partes de la vida diaria y son fundamentales para entender patrones:
  • Planes de ahorro: Si ahorras 50 dólares cada mes, tu ahorro total forma una sucesión aritmética: 50, 100, 150, 200, ...
  • Disposición de asientos: Las filas de teatro a menudo aumentan por un número fijo de asientos: 20, 24, 28, 32, ...
  • Depreciación: Un coche que pierde 2000 dólares de valor cada año sigue un patrón aritmético
  • Construcción de escaleras: Cada escalón sube la misma altura, formando una sucesión aritmética de elevaciones
Entender las sucesiones aritméticas lleva al estudio de series aritméticas (sumas) y te prepara para patrones más complejos como las sucesiones geométricas.

Aplicaciones del mundo real

Ahorro y planificación financiera

Los depósitos de ahorro regulares crean sucesiones aritméticas. Entender estos patrones ayuda con la planificación financiera.

Ejemplo:

Si ahorras 75 euros al mes empezando desde 0, después de nn meses tienes 75n75n euros. Si empiezas con 200 euros, tu saldo forma la sucesión 200,275,350,425,…200, 275, 350, 425, \ldots

1Inténtalo tú mismo

Abres una cuenta de ahorro con 500 euros y depositas 125 euros cada mes.

¿Cuánto tendrás después de 2 años (24 meses)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d con a1=500a_1 = 500 y d=125d = 125

Construcción y arquitectura

Los constructores usan sucesiones aritméticas al planificar escaleras, asientos y patrones estructurales.

Ejemplo:

Una escalera tiene una elevación total de 3 metros en 15 escalones. Cada escalón sube 315=0,2\frac{3}{15} = 0,2 metros. Las alturas forman la sucesión 0,2;0,4;0,6;…;3,00,2; 0,4; 0,6; \ldots; 3,0 metros.

2Inténtalo tú mismo

Una pirámide de latas tiene 1 lata arriba, 3 en la segunda fila, 5 en la tercera, y así sucesivamente.

¿Cuántas latas hay en la fila 10?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Esta es una sucesión aritmética con a1=1a_1 = 1 y d=2d = 2

Deportes y fitness

Los programas de entrenamiento a menudo aumentan la intensidad siguiendo patrones aritméticos.

Ejemplo:

Un corredor empieza con 2 km y añade 0,5 km cada semana. Después de nn semanas, corre 2+0,5(n−1)2 + 0,5(n-1) km. Semana 10: 2+0,5×9=6,52 + 0,5 \times 9 = 6,5 km.

3Inténtalo tú mismo

Una membresía de gimnasio cuesta 30 euros de inscripción más 15 euros al mes.

¿Cuál es el costo total después de 12 meses?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

El primer mes cuesta 45 euros en total, luego se añaden 15 cada mes

Puntos clave

  • 1Una sucesión aritmética tiene una diferencia constante dd entre términos consecutivos
  • 2La fórmula explícita es an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d
  • 3Encuentra dd restando cualquier término del siguiente: d=an+1−and = a_{n+1} - a_n
  • 4La diferencia común dd puede ser positiva (sucesión creciente) o negativa (sucesión decreciente)
  • 5Para encontrar un término específico, sustituye la posición nn en la fórmula explícita

Preguntas frecuentes

Una sucesión es una lista de números que siguen un patrón (ej. 2,5,8,11,…2, 5, 8, 11, \ldots). Una serie es la suma de los términos de una sucesión (ej. 2+5+8+11+…2 + 5 + 8 + 11 + \ldots). Estudiamos series aritméticas después de dominar las sucesiones.
Una sucesión es una lista de números que siguen un patrón (ej. 2,5,8,11,…2, 5, 8, 11, \ldots). Una serie es la suma de los términos de una sucesión (ej. 2+5+8+11+…2 + 5 + 8 + 11 + \ldots). Estudiamos series aritméticas después de dominar las sucesiones.
¡Sí! Si d=0d = 0, cada término es igual: 5,5,5,5,…5, 5, 5, 5, \ldots es técnicamente una sucesión aritmética con d=0d = 0.
Calcula las diferencias entre términos consecutivos. Si todas las diferencias son iguales, es aritmética. Para 3,7,11,153, 7, 11, 15: 7−3=47-3=4, 11−7=411-7=4, 15−11=415-11=4. Todas las diferencias son 4, así que es aritmética con d=4d=4.
Usa la fórmula para plantear ecuaciones. Si a3=10a_3 = 10 y a7=22a_7 = 22, entonces a1+2d=10a_1 + 2d = 10 y a1+6d=22a_1 + 6d = 22. Resta para obtener 4d=124d = 12, así que d=3d = 3.

Glosario

Sucesión aritmética
Una sucesión donde cada término difiere del anterior por una cantidad constante llamada diferencia común
Diferencia común
El valor constante dd que se suma a cada término para obtener el siguiente en una sucesión aritmética
Fórmula explícita
Una fórmula que calcula directamente cualquier término: an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d
Término
Cada número en una sucesión; ana_n representa el término en la posición nn
Primer término
El valor inicial de la sucesión, denotado a1a_1
n-ésimo término
El término en la posición nn de la sucesión, denotado ana_n

Tarjeta de fórmulas

Fórmula explícita

an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d

Encuentra el n-ésimo término directamente

Diferencia común

d=an+1−and = a_{n+1} - a_n

Diferencia entre términos consecutivos

Forma alternativa

an=am+(n−m)⋅da_n = a_m + (n-m) \cdot d

Encuentra $a_n$ usando cualquier término conocido $a_m$

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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