Sucesiones aritméticas
Aprende a identificar, analizar y trabajar con sucesiones aritméticas donde los términos aumentan o disminuyen por una diferencia constante.
Definición
La fórmula explícita
- = el -ésimo término (el término que queremos encontrar)
- = el primer término
- = la posición del término
- = la diferencia común
Encontrar la diferencia común
Pruébalo ahora
Ejemplos resueltos
Encuentra la diferencia común de la sucesión:
Elige dos términos consecutivos
Tomemos y → Primeros dos términos identificados
Resta el primero del segundo
→
Verifica con otro par
y → Confirmado:
Respuesta: La diferencia común es . Esta es una sucesión aritmética decreciente.
Errores comunes
Usar en lugar de en la fórmula
Por qué está mal: La fórmula daría el -ésimo término, no el -ésimo. Cuando , deberíamos obtener , lo que requiere .
Correcto: Usa siempre . Verifica: cuando , .
Restar en el orden incorrecto al encontrar
Por qué está mal: Los estudiantes a veces calculan en lugar de , lo que da el signo incorrecto para .
Correcto: Siempre resta el término anterior del posterior:
Olvidar que puede ser negativo
Por qué está mal: ¡Las sucesiones aritméticas pueden decrecer! Una sucesión como tiene .
Correcto: Verifica si la sucesión es creciente () o decreciente () antes de escribir la fórmula.
Confundir el número del término con el valor del término
Por qué está mal: En , el subíndice 5 es la posición (5to término), y 23 es el valor.
Correcto: significa el término en la posición . El subíndice siempre es la posición.
Visual interactivo
Haz clic en los números para seleccionarlos. Ajusta el rango para explorar diferentes valores.
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Problemas de práctica
17 problemas¿Cuál sucesión es aritmética?
Por qué es importante
- Planes de ahorro: Si ahorras 50 dólares cada mes, tu ahorro total forma una sucesión aritmética: 50, 100, 150, 200, ...
- Disposición de asientos: Las filas de teatro a menudo aumentan por un número fijo de asientos: 20, 24, 28, 32, ...
- Depreciación: Un coche que pierde 2000 dólares de valor cada año sigue un patrón aritmético
- Construcción de escaleras: Cada escalón sube la misma altura, formando una sucesión aritmética de elevaciones
Aplicaciones del mundo real
Ahorro y planificación financiera
Los depósitos de ahorro regulares crean sucesiones aritméticas. Entender estos patrones ayuda con la planificación financiera.
Ejemplo:
Si ahorras 75 euros al mes empezando desde 0, después de meses tienes euros. Si empiezas con 200 euros, tu saldo forma la sucesión
Abres una cuenta de ahorro con 500 euros y depositas 125 euros cada mes.
¿Cuánto tendrás después de 2 años (24 meses)?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Usa con y
Construcción y arquitectura
Los constructores usan sucesiones aritméticas al planificar escaleras, asientos y patrones estructurales.
Ejemplo:
Una escalera tiene una elevación total de 3 metros en 15 escalones. Cada escalón sube metros. Las alturas forman la sucesión metros.
Una pirámide de latas tiene 1 lata arriba, 3 en la segunda fila, 5 en la tercera, y así sucesivamente.
¿Cuántas latas hay en la fila 10?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Esta es una sucesión aritmética con y
Deportes y fitness
Los programas de entrenamiento a menudo aumentan la intensidad siguiendo patrones aritméticos.
Ejemplo:
Un corredor empieza con 2 km y añade 0,5 km cada semana. Después de semanas, corre km. Semana 10: km.
Una membresía de gimnasio cuesta 30 euros de inscripción más 15 euros al mes.
¿Cuál es el costo total después de 12 meses?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
El primer mes cuesta 45 euros en total, luego se añaden 15 cada mes
Puntos clave
- 1Una sucesión aritmética tiene una diferencia constante entre términos consecutivos
- 2La fórmula explícita es
- 3Encuentra restando cualquier término del siguiente:
- 4La diferencia común puede ser positiva (sucesión creciente) o negativa (sucesión decreciente)
- 5Para encontrar un término específico, sustituye la posición en la fórmula explícita
Preguntas frecuentes
Glosario
- Sucesión aritmética
- Una sucesión donde cada término difiere del anterior por una cantidad constante llamada diferencia común
- Diferencia común
- El valor constante que se suma a cada término para obtener el siguiente en una sucesión aritmética
- Fórmula explícita
- Una fórmula que calcula directamente cualquier término:
- Término
- Cada número en una sucesión; representa el término en la posición
- Primer término
- El valor inicial de la sucesión, denotado
- n-ésimo término
- El término en la posición de la sucesión, denotado
Tarjeta de fórmulas
Formula explicita
Encuentra el n-esimo termino directamente
Diferencia comun
Diferencia entre terminos consecutivos
Forma alternativa
Encuentra $a_n$ usando cualquier termino conocido $a_m$