Introducción a las combinaciones

Aprende a contar selecciones donde el orden no importa usando la fórmula de combinaciones.

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Definición

Una combinación es una selección de elementos donde el orden no importa.
Si estás eligiendo rr elementos de un grupo de nn elementos, el número de combinaciones es:
C(n,r)=(nr)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
Diferencia clave con las permutaciones:
  • Permutación: El orden importa (ordenar)
  • Combinación: El orden no importa (seleccionar)
Ejemplo: Elegir 2 personas de Alicia, Bruno y Carmen:
  • {Alicia, Bruno} es lo mismo que {Bruno, Alicia}
  • Solo hay 3 combinaciones: {A,B}, {A,C}, {B,C}

Pruébalo ahora

¿Qué fórmula representa el número de combinaciones al elegir rr elementos de nn elementos?

Ejemplos resueltos

Un club tiene 5 miembros. ¿De cuántas formas se puede elegir un comité de 2 personas?
1

Identificar n y r

n=5n = 5 (miembros totales), r=2r = 2 (a elegir) → n=5n = 5, r=2r = 2
2

Aplicar la fórmula de combinación

C(5,2)=5!2!(5−2)!=5!2!×3!C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \times 3!} → Fórmula establecida
3

Calcular factoriales

5×4×3!2×1×3!=5×42\frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2} → 202\frac{20}{2}
4

Simplificar

202=10\frac{20}{2} = 10 → 1010 formas

Errores comunes

Confundir combinaciones con permutaciones

Por qué está mal: Las permutaciones cuentan ordenaciones (el orden importa), las combinaciones cuentan selecciones (el orden no importa). P(5,2)=20P(5,2) = 20 pero C(5,2)=10C(5,2) = 10.

Correcto: Pregúntate: '¿Reordenar cambia el resultado?' Si eliges un comité, {A,B} = {B,A}, así que usa combinaciones.

Olvidar dividir por r!r! en la fórmula

Por qué está mal: La división por r!r! elimina los órdenes duplicados de la misma selección.

Correcto: Usa siempre la fórmula completa: C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}

Calcular factoriales incorrectamente

Por qué está mal: Los factoriales grandes pueden ser abrumadores. Recuerda que la mayoría de los términos se cancelan.

Correcto: Simplifica antes de multiplicar: 7!5!×2!=7×62=21\frac{7!}{5! \times 2!} = \frac{7 \times 6}{2} = 21

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Elegir un grupo

Elige 2 de 5: A, B, C, D, E

10 grupos

P(5, 2) = 5 × 4 = 20

C(5, 2) = P(5, 2) / 2! = 20 / 2 = 10

Cada grupo de 2 se puede ordenar de 2! = 2 maneras, por eso divides el número de listas ordenadas entre 2!. Toca un grupo para ver sus órdenes.

Triángulo de Pascal

n=011n=1112n=21214n=313318n=41464116n=51510105132n=6161520156164n=7172135352171128n=818285670562881256

C(8, 3) = 56 = 21 + 35

Fila 8: 1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256 = 2⁸

Toca un número: es la suma de los dos números de arriba y es igual a C(n, k).

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Qué fórmula representa el número de combinaciones al elegir rr elementos de nn elementos?

Por qué es importante

Las combinaciones son esenciales para comprender la probabilidad y tomar decisiones en la vida real:
  • Lotería: ¿Cuántas formas hay de sacar 6 números de 49?
  • Selección de equipo: ¿Cuántas formas hay de elegir 5 jugadores de 12 para la alineación titular?
  • Planificación de menús: ¿Cuántos menús de 3 platos de 10 platillos?
  • Ciencia: ¿Cuántas formas de seleccionar muestras para experimentos?
¡Comprender las combinaciones te ayuda a calcular probabilidades y tomar decisiones informadas!

Aplicaciones del mundo real

Selección de equipos deportivos

Los entrenadores usan combinaciones para entender cuántas alineaciones diferentes son posibles.

Ejemplo:

Un entrenador de baloncesto eligiendo 5 titulares de 12 jugadores: C(12,5)=792C(12,5) = 792 alineaciones posibles.

1Inténtalo tú mismo

Un entrenador de fútbol tiene 18 jugadores y necesita elegir 11 para la alineación titular.

¿Cuántas alineaciones titulares diferentes son posibles?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa C(18,11)C(18, 11):

Juegos de cartas

Las combinaciones calculan el número de manos posibles en juegos de cartas.

Ejemplo:

Una mano de póker de 5 cartas de 52: C(52,5)=2.598.960C(52,5) = 2.598.960 manos posibles.

2Inténtalo tú mismo

¿Cuántas manos diferentes de 7 cartas son posibles en un juego?

Calcula C(52,7)C(52,7).

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Establece la fórmula:

Planificación de menús

Los restaurantes usan combinaciones para calcular opciones de comidas y ofertas combinadas.

Ejemplo:

Elegir 3 aperitivos de 10 opciones: C(10,3)=120C(10,3) = 120 selecciones diferentes.

3Inténtalo tú mismo

Una empresa de catering ofrece 15 platillos diferentes. Un cliente quiere seleccionar 4 para su evento.

¿Cuántas selecciones diferentes de 4 platillos son posibles?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula C(15,4)C(15, 4):

Puntos clave

  • 1Las combinaciones cuentan selecciones donde el orden no importa
  • 2Fórmula: C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}, leída como 'n sobre r'
  • 3Diferencia clave: Permutaciones = ordenaciones (orden importa), Combinaciones = selecciones (orden no importa)
  • 4C(n,r)=C(n,n−r)C(n,r) = C(n, n-r): Elegir qué incluir equivale a elegir qué excluir

Preguntas frecuentes

Usa combinaciones cuando el orden no importa (seleccionar un comité, elegir ingredientes). Usa permutaciones cuando el orden importa (asignar posiciones, ordenar una alineación).
Usa combinaciones cuando el orden no importa (seleccionar un comité, elegir ingredientes). Usa permutaciones cuando el orden importa (asignar posiciones, ordenar una alineación).
Elegir rr elementos para incluir es lo mismo que elegir n−rn-r elementos para excluir. Por ejemplo, C(5,2)=C(5,3)=10C(5,2) = C(5,3) = 10.
El signo de exclamación significa factorial. 5!=5×4×3×2×1=1205! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120. Cuenta todas las ordenaciones posibles de un conjunto.

Glosario

Combinación
Una selección de elementos donde el orden no importa
Factorial
El producto de todos los enteros positivos hasta n, escrito como n!n!
Coeficiente binomial
Otro nombre para C(n,r)C(n,r), escrito como (nr)\binom{n}{r}
n sobre r
Forma común de leer C(n,r)C(n,r), que significa 'el número de formas de elegir r de n'

Tarjeta de fórmulas

Fórmula de combinaciones

C(n,r)=(nr)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}

n = elementos totales, r = elementos elegidos. Simetría: $C(n,r) = C(n, n-r)$. Casos especiales: $C(n,0) = C(n,n) = 1$

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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