Introducción a las permutaciones

Aprende a contar arreglos donde el orden importa usando permutaciones.

Avanzado25 minLección
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Definición

Una permutación es un arreglo de objetos donde el orden importa.
El número de formas de ordenar nn objetos distintos en fila es:
n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1
Esto se llama n factorial.
Cuando seleccionamos y ordenamos rr objetos de nn objetos:
P(n,r)=n!(n−r)!=n×(n−1)×⋯×(n−r+1)P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)
Punto clave: En las permutaciones, ABC es diferente de BAC porque el orden es diferente.

Pruébalo ahora

¿Cuánto es 3!3! (3 factorial)?

Ejemplos resueltos

¿De cuántas maneras pueden 4 estudiantes (Anna, Ben, Carla, David) formarse para una foto?
1

Identifica que estamos contando

Necesitamos ordenar los 4 estudiantes en fila donde la posición importa → Es una permutación de 4 objetos
2

Cuenta las opciones para cada posición

1era posición: 4 opciones
2da posición: 3 restantes
3era posición: 2 restantes
4ta posición: 1 restante → 4×3×2×14 \times 3 \times 2 \times 1
3

Calcula usando factorial

4!=4×3×2×14! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 → 4!=244! = 24
4

Interpreta el resultado

Hay 24 formas diferentes de ordenar 4 estudiantes → 24 arreglos

Errores comunes

Confundir permutaciones y combinaciones

Por qué está mal: Las permutaciones cuentan arreglos donde el ORDEN IMPORTA. Las combinaciones cuentan selecciones donde el orden no importa.

Correcto: Pregúntate: "¿Reordenar cambia el resultado?" Si seleccionas un comité (sin cargos), el orden no importa = combinación. Si eliges funcionarios, el orden importa = permutación.

Usar la fórmula al revés: (n−r)!n!\frac{(n-r)!}{n!} en lugar de n!(n−r)!\frac{n!}{(n-r)!}

Por qué está mal: El factorial más grande n!n! va arriba porque empezamos con más opciones.

Correcto: P(n,r)=n!(n−r)!P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} - recuerda: n!n! siempre es mayor, así que va en el numerador.

Olvidar que 0!=10! = 1

Por qué está mal: Cuando ordenamos todos los n objetos, usamos P(n,n)=n!0!=n!1=n!P(n,n) = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n!

Correcto: Por definición, 0!=10! = 1. Esto hace que la fórmula funcione cuando r=nr = n.

Visual interactivo

Ocupar los lugares

4
×
3
×
2
×
1
=
24

El número bajo cada lugar indica cuántas opciones quedan para él.

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Toca un elemento para el siguiente lugar (4 opciones).

Ocupar los lugares

5
×
4
×
3
=
60

El número bajo cada lugar indica cuántas opciones quedan para él.

P(5, 3) = 5!/(5 − 3)! = 5 × 4 × 3 = 60

Toca un elemento para el siguiente lugar (5 opciones).

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Calculadora de expresiones

Prueba estos:

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Problemas de práctica

18 problemas
Problema 1 de 18
Fácil
¿Cuánto es 3!3! (3 factorial)?

Por qué es importante

Las permutaciones nos ayudan a contar arreglos en innumerables situaciones de la vida real:
  • Contraseñas: ¿Cuántos PIN de 4 dígitos usan dígitos diferentes?
  • Carreras: ¿De cuántas maneras se pueden otorgar las medallas de oro, plata y bronce?
  • Programación: ¿En cuántos órdenes se pueden completar 5 tareas?
  • Asientos: ¿De cuántas maneras pueden sentarse los estudiantes en fila?
¡Entender las permutaciones es esencial para probabilidad, criptografía e informática!

Aplicaciones del mundo real

Seguridad de contraseñas

Entender las permutaciones nos ayuda a calcular la fortaleza y seguridad de las contraseñas.

Ejemplo:

Un PIN de 4 dígitos usando los dígitos 0-9 sin repetición tiene P(10,4)=5040P(10,4) = 5040 posibilidades.

1Inténtalo tú mismo

Un sitio web requiere una contraseña de 3 caracteres usando solo letras mayúsculas (A-Z), sin repetir ninguna letra.

¿Cuántas contraseñas posibles hay?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula P(26,3)P(26,3):

Llaves de torneos deportivos

Las permutaciones determinan los resultados posibles en competencias donde la posición final importa.

Ejemplo:

En un playoff de 6 equipos, las clasificaciones finales posibles son 6!=7206! = 720 órdenes diferentes.

2Inténtalo tú mismo

Una final olímpica de natación tiene 8 nadadores. Se otorgan medallas para el 1ero, 2do y 3er lugar.

¿Cuántos resultados de medallas diferentes son posibles?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa P(8,3)P(8,3):

Puntos clave

  • 1Una permutación es un arreglo donde el orden importa
  • 2Para ordenar todos los nn objetos: usa n!=n×(n−1)×⋯×1n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1
  • 3Para ordenar rr objetos de nn objetos: usa P(n,r)=n!(n−r)!P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}
  • 4Método rápido: multiplica n×(n−1)×⋯n \times (n-1) \times \cdots por rr términos
  • 5Recuerda: 0!=10! = 1 por definición

Preguntas frecuentes

Pregunta: "¿Importa el orden?" Si eliges un Presidente Y un Vicepresidente = permutación (el orden importa). Si eliges 2 personas para un comité = combinación (el orden no importa).
Pregunta: "¿Importa el orden?" Si eliges un Presidente Y un Vicepresidente = permutación (el orden importa). Si eliges 2 personas para un comité = combinación (el orden no importa).
Por convención, 0!=10! = 1 porque hay exactamente UNA forma de ordenar cero objetos (no hacer nada). También hace que fórmulas como P(n,n)=n!0!=n!P(n,n) = \frac{n!}{0!} = n! funcionen correctamente.
P(n,r) significa: "El número de formas de seleccionar Y ordenar r objetos de n objetos." Por ejemplo, P(5,3)P(5,3) = formas de elegir y ordenar 3 elementos de 5.

Glosario

Permutación
Un arreglo de objetos donde el orden importa
Factorial
El producto de todos los enteros positivos hasta n, escrito como n!n!
P(n,r)
El número de permutaciones de r objetos seleccionados de n objetos
Objetos distintos
Objetos que son todos diferentes entre sí

Tarjeta de fórmulas

Factorial

n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1

Producto de todos los enteros positivos hasta n

Permutación

P(n,r)=n!(n−r)!P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}

Arreglos de r objetos de n

Casos especiales

0!=10! = 1, 1!=11! = 1, P(n,n)=n!P(n,n) = n!

Valores importantes para recordar

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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