Guía del profesor: Introducción a las permutaciones
Aprende a contar arreglos donde el orden importa usando permutaciones.
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Ficha imprimible
Todos los ejercicios en papel, con las soluciones aparte.
Cuestionario de clase
10 preguntas sobre Principios de Conteo. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.
Para profesores
- Definir permutacion y explicar cuando el orden importa
- Calcular valores factoriales
- Aplicar la formula de permutacion P(n,r)
- Distinguir entre permutaciones y combinaciones
- Resolver problemas de conteo del mundo real usando permutaciones
- • Multiplicacion basica
- • Comprension de exponentes (util pero no requerido)
- • Familiaridad con el concepto de arreglos
- 1. Por que crees que los PIN de telefono y las contrasenas son mas seguros cuando son mas largos?
- 2. Si tienes 10 libros en un estante, de cuantas formas puedes reordenarlos?
- 3. En que se diferencia elegir un capitan de equipo Y co-capitan de solo elegir 2 lideres?
- 4. Puedes pensar en situaciones de la vida real donde el orden de los eventos cambia completamente el resultado?
Pensar que permutacion y combinacion son lo mismo
Creer que el orden solo importa con numeros
Para estudiantes con dificultades:
- • Comienza con conjuntos muy pequenos (3 objetos) y lista todas las permutaciones a mano
- • Usa objetos fisicos (cartas, bloques) para construir arreglos
- • Enfocate en el principio de multiplicacion antes de introducir la notacion factorial
Para estudiantes de nivel:
- • Practica calculos de P(n,r) con varios valores
- • Resuelve problemas de palabras que involucran contrasenas, carreras y arreglos
- • Compara conteos de permutaciones para entender por que agregar un objeto aumenta dramaticamente las posibilidades
Para estudiantes avanzados:
- • Explora permutaciones con repeticion permitida
- • Investiga permutaciones de objetos que no son todos distintos
- • Conecta las permutaciones con calculos de probabilidad
- HSS-CP.B.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.CP.B.9)
Usar permutaciones y combinaciones para calcular probabilidades de eventos compuestos
- HSA-APR.C.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.APR.C.5)
Conocer y aplicar el teorema del binomio (relacionado con principios de conteo)
- visualConstructor de arreglos
Herramienta interactiva para ver todas las permutaciones de un conjunto
- activityCalculador de fortaleza de contrasena
Calcula cuantas contrasenas son posibles con diferentes reglas
- worksheetPractica de permutaciones
Problemas desde factorial basico hasta aplicaciones complejas de P(n,r)
Contenido de la lección
Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.
Contenido de la lección
Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.
Definición
Ejemplos resueltos
De cuantas maneras pueden 4 estudiantes (Anna, Ben, Carla, David) formarse para una foto?
Identifica que estamos contando
Necesitamos ordenar los 4 estudiantes en fila donde la posicion importa → Es una permutacion de 4 objetos
Cuenta las opciones para cada posicion
1era posicion: 4 opciones\\2da posicion: 3 restantes\\3era posicion: 2 restantes\\4ta posicion: 1 restante →
Calcula usando factorial
→
Interpreta el resultado
Hay 24 formas diferentes de ordenar 4 estudiantes → 24 arreglos
Respuesta: Hay formas diferentes de formarse para la foto.
Errores comunes
Confundir permutaciones y combinaciones
Por qué está mal: Las permutaciones cuentan arreglos donde el ORDEN IMPORTA. Las combinaciones cuentan selecciones donde el orden no importa.
Correcto: Preguntate: "Reordenar cambia el resultado?" Si seleccionas un comite (sin cargos), el orden no importa = combinacion. Si eliges funcionarios, el orden importa = permutacion.
Usar la formula al reves: en lugar de
Por qué está mal: El factorial mas grande va arriba porque empezamos con mas opciones.
Correcto: - recuerda: siempre es mayor, asi que va en el numerador.
Olvidar que
Por qué está mal: Cuando ordenamos todos los n objetos, usamos
Correcto: Por definicion, . Esto hace que la formula funcione cuando .
Por qué es importante
- Contraseñas: ¿Cuántos PIN de 4 dígitos usan dígitos diferentes?
- Carreras: ¿De cuántas maneras se pueden otorgar las medallas de oro, plata y bronce?
- Programación: ¿En cuántos órdenes se pueden completar 5 tareas?
- Asientos: ¿De cuántas maneras pueden sentarse los estudiantes en fila?
Aplicaciones del mundo real
Seguridad de contrasenas
Entender las permutaciones nos ayuda a calcular la fortaleza y seguridad de las contrasenas.
Ejemplo:
Un PIN de 4 digitos usando los digitos 0-9 sin repeticion tiene posibilidades.
Un sitio web requiere una contrasena de 3 caracteres usando solo letras mayusculas (A-Z), sin repetir ninguna letra.
Cuantas contrasenas posibles hay?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Calcula :
Llaves de torneos deportivos
Las permutaciones determinan los resultados posibles en competencias donde la posicion final importa.
Ejemplo:
En un playoff de 6 equipos, las clasificaciones finales posibles son ordenes diferentes.
Una final olimpica de natacion tiene 8 nadadores. Se otorgan medallas para el 1ero, 2do y 3er lugar.
Cuantos resultados de medallas diferentes son posibles?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Usa :
Puntos clave
- 1Una permutacion es un arreglo donde el orden importa
- 2Para ordenar todos los objetos: usa
- 3Para ordenar objetos de objetos: usa
- 4Metodo rapido: multiplica por terminos
- 5Recuerda: por definicion
Preguntas frecuentes
Como se cuando usar permutaciones vs combinaciones?
Por que ?
Que significa en palabras?
Glosario
- Permutacion
- Un arreglo de objetos donde el orden importa
- Factorial
- El producto de todos los enteros positivos hasta n, escrito como
- P(n,r)
- El numero de permutaciones de r objetos seleccionados de n objetos
- Objetos distintos
- Objetos que son todos diferentes entre si
Tarjeta de fórmulas
Factorial
Producto de todos los enteros positivos hasta n
Permutacion
Arreglos de r objetos de n
Casos especiales
Valores importantes para recordar