Probabilidad binomial

Aprende a calcular probabilidades cuando un experimento tiene exactamente dos resultados y se repite varias veces.

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Definición

La probabilidad binomial describe la probabilidad de obtener exactamente kk éxitos en nn ensayos independientes, donde cada ensayo tiene solo dos resultados (éxito o fracaso) con la misma probabilidad.
La fórmula de probabilidad binomial es:
P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
Donde:
  • nn = número total de ensayos
  • kk = número de éxitos deseados
  • pp = probabilidad de éxito en cada ensayo
  • (nk)\binom{n}{k} = número de formas de elegir kk éxitos de nn ensayos (combinaciones)
La fórmula de combinaciones es:
(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Pruébalo ahora

¿Cuál de las siguientes es un requisito para un experimento binomial?

Ejemplos resueltos

¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras en 5 lanzamientos de moneda?
1

Identificar los parámetros

n=5n = 5 lanzamientos, k=3k = 3 caras, p=0,5p = 0{,}5 (moneda equilibrada) → n=5n=5, k=3k=3, p=0,5p=0{,}5
2

Calcular la combinación

(53)=5!3!⋅2!=1206⋅2=10\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10 → (53)=10\binom{5}{3} = 10
3

Calcular pkp^k

(0,5)3=0,125(0{,}5)^3 = 0{,}125 → p3=0,125p^3 = 0{,}125
4

Calcular (1−p)n−k(1-p)^{n-k}

(0,5)5−3=(0,5)2=0,25(0{,}5)^{5-3} = (0{,}5)^2 = 0{,}25 → (1−p)2=0,25(1-p)^2 = 0{,}25
5

Multiplicar todas las partes

P(X=3)=10×0,125×0,25=0,3125P(X=3) = 10 \times 0{,}125 \times 0{,}25 = 0{,}3125 → P=0,3125P = 0{,}3125

Errores comunes

Olvidar incluir el coeficiente binomial (nk)\binom{n}{k}

Por qué está mal: La combinación cuenta todas las diferentes formas de ordenar los éxitos entre los ensayos. Sin ella, solo calculas una disposición específica.

Correcto: Siempre comienza con la combinación: P(X=k)=(nk)×pk×(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}

Usar pnp^n en lugar de pkp^k

Por qué está mal: El exponente kk representa el número de éxitos, no el número total de ensayos.

Correcto: La probabilidad de éxito se eleva a la potencia de éxitos: pkp^k, y la probabilidad de fracaso a la potencia de fracasos: (1−p)n−k(1-p)^{n-k}

Aplicar la fórmula binomial cuando los ensayos no son independientes

Por qué está mal: La probabilidad binomial requiere que el resultado de un ensayo no afecte a los demás. Sacar cartas sin reposición, por ejemplo, cambia las probabilidades.

Correcto: Verifica la independencia: ¿Conocer un resultado cambia la probabilidad de otro? Si es así, la distribución binomial no se aplica.

Visual interactivo

Gráfico de barras

5 lanzamientos: P(exactamente k caras)

0(0,03)
1(0,16)
2(0,31)
3(0,31)
4(0,16)
5(0,03)

Triángulo de Pascal

n=011n=1112n=21214n=313318n=41464116n=51510105132n=6161520156164

C(5, 3) = 10 = 6 + 4

Fila 5: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2⁵

Toca un número: es la suma de los dos números de arriba y es igual a C(n, k).

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Problemas de práctica

18 problemas
Problema 1 de 18
Fácil
¿Cuál de las siguientes es un requisito para un experimento binomial?

Por qué es importante

La probabilidad binomial aparece en todas partes cuando los resultados son binarios:
  • Medicina: Probabilidad de que exactamente 7 de 10 pacientes respondan a un tratamiento
  • Control de calidad: Probabilidad de encontrar 3 artículos defectuosos en un lote de 20
  • Deportes: Probabilidad de que un baloncestista enceste 8 de 10 tiros libres
  • Encuestas: Probabilidad de que exactamente 6 de 10 encuestados elijan una opción concreta
¡Comprender la probabilidad binomial ayuda a hacer predicciones y tomar decisiones informadas en situaciones inciertas!

Aplicaciones del mundo real

Ensayos médicos

Los investigadores usan la probabilidad binomial para evaluar la eficacia de los tratamientos.

Ejemplo:

Si un medicamento tiene una tasa de éxito del 70%, podemos calcular la probabilidad de que exactamente 8 de 10 pacientes respondan positivamente.

1Inténtalo tú mismo

Una vacuna tiene una eficacia del 80%. En un grupo de 5 personas que la recibieron, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 4 estén protegidas?

Calcula P(X=4)P(X = 4) donde n=5n=5, p=0,8p=0{,}8

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa: (54)×(0,8)4×(0,2)1\binom{5}{4} \times (0{,}8)^4 \times (0{,}2)^1

Análisis deportivo

Los entrenadores usan la probabilidad binomial para predecir resultados de partidos y rendimiento de jugadores.

Ejemplo:

Un jugador de baloncesto tiene una tasa de éxito en tiros libres del 75%. La probabilidad binomial ayuda a calcular la probabilidad de encestar 9 de 10 tiros libres.

2Inténtalo tú mismo

Un futbolista marca el 60% de sus penaltis. ¿Cuál es la probabilidad de marcar exactamente 3 de 5 penaltis?

Calcula P(X=3)P(X = 3) donde n=5n=5, p=0,6p=0{,}6

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa: (53)×(0,6)3×(0,4)2\binom{5}{3} \times (0{,}6)^3 \times (0{,}4)^2

Puntos clave

  • 1La probabilidad binomial se aplica cuando hay exactamente dos resultados (éxito/fracaso) con probabilidad fija
  • 2La fórmula es P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
  • 3La combinación (nk)\binom{n}{k} cuenta todas las ordenaciones posibles de éxitos
  • 4Los ensayos deben ser independientes para que se aplique la probabilidad binomial
  • 5Siempre verifica: nn fijo, pp constante, ensayos independientes, dos resultados

Preguntas frecuentes

Usa la probabilidad binomial cuando tengas: (1) un número fijo de ensayos, (2) exactamente dos resultados por ensayo, (3) probabilidad de éxito constante, y (4) ensayos independientes. Si alguna condición falla, necesitas otro enfoque.
Usa la probabilidad binomial cuando tengas: (1) un número fijo de ensayos, (2) exactamente dos resultados por ensayo, (3) probabilidad de éxito constante, y (4) ensayos independientes. Si alguna condición falla, necesitas otro enfoque.
Cuenta de cuántas formas diferentes puedes ordenar kk éxitos entre nn ensayos. Por ejemplo, obtener 2 caras en 3 lanzamientos puede ocurrir como CCX, CXC o XCC (C = cara, X = cruz) - eso es (32)=3\binom{3}{2} = 3 formas.
Para 'al menos kk', suma P(X=k)+P(X=k+1)+...+P(X=n)P(X=k) + P(X=k+1) + ... + P(X=n). Para 'como máximo kk', suma P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k)P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k). A veces es más fácil usar el complemento.

Glosario

Experimento binomial
Un experimento con un número fijo de ensayos independientes, cada uno con exactamente dos resultados (éxito/fracaso) y probabilidad constante
Ensayo
Una sola repetición del experimento (por ejemplo, un lanzamiento de moneda, una pregunta respondida)
Éxito
El resultado que estamos contando (no tiene que ser 'bueno' - solo el que nos interesa)
Combinación
El número de formas de elegir kk elementos de nn elementos, escrito como (nk)\binom{n}{k} o C(n,k)C(n,k)
Ensayos independientes
Ensayos donde el resultado de uno no afecta la probabilidad de otros

Tarjeta de fórmulas

Fórmula de probabilidad binomial

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

$n$ = ensayos, $k$ = éxitos, $p$ = probabilidad de éxito, $\binom{n}{k}$ = combinaciones

Fórmula de combinaciones

(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Número de formas de elegir $k$ elementos de $n$

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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