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Guía del profesor: Diagramas de tallo y hojas

Aprende a construir y leer diagramas de tallo y hojas, a obtener de ellos la mediana, la moda y el rango, y a comparar dos grupos con un diagrama espalda con espalda.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Gráficos Estadísticos. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Construir a partir de una lista de datos un diagrama de tallo y hojas ordenado con clave
  • Leer valores, el mínimo, el máximo y el número de datos en un diagrama de tallo y hojas
  • Hallar la mediana, la moda y el rango directamente en un diagrama de tallo y hojas
  • Comparar dos grupos con un diagrama espalda con espalda
  • Decidir cuándo los tallos divididos hacen más fácil de leer un diagrama
Requisitos previos
  • • Valor posicional de decenas y unidades (y décimas para claves decimales)
  • • Diagramas de puntos y tablas de frecuencias (lecciones Diagramas de puntos y Tablas de frecuencias)
  • • Histogramas e intervalos (lección Histogramas)
  • • Mediana, moda y rango de un conjunto de datos, y diagramas de caja para comparar grupos (lección Diagramas de caja (Caja y bigotes))
Iniciadores de discusión
  • 1. ¿Por qué crees que esta representación se llama diagrama de tallo y hojas?
  • 2. ¿Qué información conserva un diagrama de tallo y hojas que un histograma pierde?
  • 3. ¿Por qué hay que ordenar las hojas antes de buscar la mediana?
  • 4. ¿Podrías hacer un diagrama de tallo y hojas con 500 datos? ¿Seguiría siendo útil?
  • 5. Un horario de autobús escribe la hora una vez y los minutos de salida al lado. ¿En qué se parece a un diagrama de tallo y hojas?
Conceptos erróneos comunes

El tallo con la fila más larga contiene los valores más grandes

Remediación: Aclara que la longitud de una fila es una frecuencia (cuántos datos), no un tamaño. Gira el diagrama y compáralo con un histograma: una barra alta significa muchos datos, no datos grandes.

La mediana es el tallo del medio o la hoja del medio de una fila

Remediación: Pide a los estudiantes que cuenten las hojas una a una desde arriba, tachándolas, hasta llegar a la posición n+12\frac{n + 1}{2}. Después comparad con el tallo del medio para ver que normalmente no coinciden.

Las hojas de la izquierda de un diagrama espalda con espalda se leen de izquierda a derecha, así que 3∣73 \mid 7 se convierte en 37

Remediación: Pide a los estudiantes que reescriban algunas entradas del lado izquierdo como números usando la clave, siempre empezando en el tallo y yendo hacia fuera.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Dar una plantilla con los tallos ya escritos para que los estudiantes solo coloquen las hojas
  • • Empezar con 8 a 10 valores de dos cifras sin repeticiones
  • • Dejar que los estudiantes tachen las hojas mientras cuentan hasta la mediana

Para estudiantes de nivel:

  • • Construir diagramas a partir de listas desordenadas de 15 a 20 valores y hallar la mediana, la moda y el rango
  • • Comparar dos grupos con un diagrama espalda con espalda y escribir una frase sobre el centro y otra sobre la dispersión
  • • Usar una clave decimal como 4∣7=4,74 \mid 7 = 4{,}7

Para estudiantes avanzados:

  • • Decidir cuándo ayudan los tallos divididos y redibujar un diagrama con ellos
  • • Dibujar un diagrama de caja a partir de un diagrama de tallo y hojas hallando el resumen de cinco números
  • • Recoger datos reales (por ejemplo, estaturas o resultados deportivos) y argumentar qué representación los muestra mejor
Alineación con estándares
  • 6.SP.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.SP.B.4)

    Representar datos numéricos en gráficos sobre una recta numérica, como diagramas de puntos, histogramas y diagramas de caja

  • 6.SP.B.5.C (CCSS.MATH.CONTENT.6.SP.B.5.C)

    Dar medidas de centralización (mediana y/o media) y de dispersión, y describir el patrón general de los datos

  • 7.SP.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.7.SP.B.4)

    Usar medidas de centralización y de dispersión de datos de muestras aleatorias para hacer comparaciones informales entre dos poblaciones

Recursos de la lección
  • visualDiagrama de puntos, histograma y diagrama de caja de los mismos datos

    Comparar las notas de la lección en otras tres representaciones y comentar qué conserva el diagrama de tallo y hojas que las demás pierden

  • activityTiempos de reacción de la clase

    Los estudiantes miden su tiempo de reacción atrapando una regla y luego construyen en la pizarra un diagrama de tallo y hojas de la clase con una clave decimal

  • worksheetComparación espalda con espalda

    Dos conjuntos de datos (por ejemplo, distancias de salto de dos grupos) para colocar en un diagrama espalda con espalda, con preguntas sobre medianas y rangos

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un diagrama de tallo y hojas muestra cada valor de un conjunto de datos y, a la vez, su forma. Cada número se separa en dos partes:
  • El tallo son todas las cifras menos la última (en números de dos cifras, la cifra de las decenas)
  • La hoja es la última cifra (la cifra de las unidades)
Los tallos se escriben una sola vez, en una columna, de menor a mayor. Las hojas de cada tallo se escriben en una fila a la derecha, ordenadas de menor a mayor. Una clave indica cómo se lee una entrada.
Estas son las notas de 15 estudiantes en un examen: 52, 58, 61, 63, 67, 67, 70, 74, 75, 78, 81, 84, 86, 90, 95.
TalloHojas52 861 3 7 770 4 5 881 4 690 5\begin{array}{r|l} \text{Tallo} & \text{Hojas} \\ \hline 5 & 2~8 \\ 6 & 1~3~7~7 \\ 7 & 0~4~5~8 \\ 8 & 1~4~6 \\ 9 & 0~5 \end{array}
Clave: 5∣2=525 \mid 2 = 52
Cada hoja es un dato, así que el número de hojas es el número de datos (aquí 15). Si lo giras, el diagrama se parece a un histograma con los intervalos 50-59, 60-69, etc., pero a diferencia del histograma todavía puedes leer cada nota.

Ejemplos resueltos

Haz un diagrama de tallo y hojas con estas notas: 74, 58, 86, 61, 90, 67, 52, 78, 70, 84, 63, 95, 67, 75, 81.
1

Elige los tallos

La nota más baja es 52 y la más alta 95, así que las decenas van de 5 a 9 → Tallos: 5, 6, 7, 8, 9
2

Escribe cada cifra de las unidades como hoja junto a su tallo

74 da la hoja 4 en el tallo 7, 58 da la hoja 8 en el tallo 5, y así con las 15 notas → 15 hojas escritas
3

Ordena las hojas de cada fila

52 861 3 7 770 4 5 881 4 690 5\begin{array}{r|l} 5 & 2~8 \\ 6 & 1~3~7~7 \\ 7 & 0~4~5~8 \\ 8 & 1~4~6 \\ 9 & 0~5 \end{array}
→ Diagrama de tallo y hojas ordenado
4

Añade una clave y comprueba el recuento

Clave: 5∣2=525 \mid 2 = 52. Cuenta las hojas: 2+4+4+3+2=152 + 4 + 4 + 3 + 2 = 15 → 15 hojas para 15 notas

Errores comunes

Escribir las hojas en el orden en que vienen los datos (por ejemplo 6 | 7 1 7 3)

Por qué está mal: El diagrama sigue mostrando la forma, pero contar hasta la mediana o ver los valores repetidos solo funciona si cada fila está ordenada.

Correcto: Reescribe siempre cada fila con las hojas de menor a mayor: 6 | 1 3 7 7.

Olvidar la clave o no tenerla en cuenta

Por qué está mal: La misma entrada 4∣74 \mid 7 puede significar 47, 4,7 o 470. Sin clave, el lector tiene que adivinar.

Correcto: Escribe siempre una clave como 4∣7=4,74 \mid 7 = 4{,}7 segundos y lee cada valor con ella.

Saltarse un tallo que no tiene hojas

Por qué está mal: Si ningún dato está entre 30 y 39 y se quita la fila del tallo 3, el hueco en los datos desaparece y la forma parece incorrecta.

Correcto: Escribe todos los tallos de menor a mayor, aunque una fila quede vacía.

Leer el lado izquierdo de un diagrama espalda con espalda al revés (leer 3∣73 \mid 7 como 37)

Por qué está mal: En el lado izquierdo la hoja va antes del tallo, pero el tallo sigue siendo la cifra de las decenas.

Correcto: Lee las hojas de la izquierda desde el tallo hacia fuera: la hoja 3 junto al tallo 7 es 73. La clave de un diagrama espalda con espalda lo indica.

Por qué es importante

El diagrama de tallo y hojas es una forma rápida de organizar a mano un conjunto de datos pequeño o mediano:
  • No se pierde ningún dato: a diferencia de un histograma o de un diagrama de caja, cada valor original se puede volver a leer
  • La forma de un vistazo: la longitud de cada fila muestra dónde se acumulan los datos y dónde hay pocos
  • Datos ya ordenados: en cuanto las hojas están en orden, los datos quedan ordenados, así que la mediana, la moda y el rango se encuentran fácilmente
  • Comparar grupos: un diagrama espalda con espalda coloca dos conjuntos de datos en los mismos tallos, por ejemplo las notas de dos clases o las temperaturas de dos pueblos
Los periodistas deportivos lo usan para los puntos por partido, los médicos para el pulso, y muchos horarios de autobús escriben la hora una vez y los minutos de salida al lado, que es justo la idea del tallo y las hojas.

Aplicaciones del mundo real

Puntos por partido en baloncesto

Entrenadores y periodistas deportivos usan diagramas de tallo y hojas para mostrar los puntos de un jugador en una temporada sin perder ningún partido.

Ejemplo:

Los puntos de un jugador en 12 partidos:

08 912 4 4 720 1 5 633 8\begin{array}{r|l} 0 & 8~9 \\ 1 & 2~4~4~7 \\ 2 & 0~1~5~6 \\ 3 & 3~8 \end{array}
Clave: 1∣2=121 \mid 2 = 12 puntos (el tallo 0 contiene los valores de una cifra 8 y 9).

1Inténtalo tú mismo

Usa el diagrama de los 12 partidos del jugador de arriba.

¿Cuál es la mediana de los puntos por partido?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el cálculo de la mediana:

Comparar las temperaturas de dos pueblos

Los servicios meteorológicos comparan lugares con diagramas espalda con espalda: los mismos tallos en el centro y un pueblo a cada lado.

Ejemplo:

Temperaturas máximas diarias en °C:

Pueblo ATalloPueblo B9 608 5 3 114 72 020 3 5 7 831 2 4\begin{array}{r|c|l} \text{Pueblo A} & \text{Tallo} & \text{Pueblo B} \\ \hline 9~6 & 0 & \\ 8~5~3~1 & 1 & 4~7 \\ 2~0 & 2 & 0~3~5~7~8 \\ & 3 & 1~2~4 \end{array}
Clave: 6∣0=66 \mid 0 = 6 °C para el pueblo A, 1∣4=141 \mid 4 = 14 °C para el pueblo B. El pueblo A tiene 8 días y el pueblo B tiene 10 días.

2Inténtalo tú mismo

Usa el diagrama espalda con espalda de los dos pueblos de arriba.

¿Cuántos grados es mayor la mediana del pueblo B que la del pueblo A?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe mediana B menos mediana A:

Pulso en reposo

Los enfermeros escolares y los médicos anotan el pulso en diagramas de tallo y hojas para ver enseguida qué valores son normales y cuáles son raros.

Ejemplo:

Pulso en reposo de 12 estudiantes en latidos por minuto:

62 5 870 1 4 4 983 690 7\begin{array}{r|l} 6 & 2~5~8 \\ 7 & 0~1~4~4~9 \\ 8 & 3~6 \\ 9 & 0~7 \end{array}
Clave: 7∣4=747 \mid 4 = 74 latidos por minuto.

3Inténtalo tú mismo

Usa el diagrama del pulso de arriba.

¿Cuál es el rango de los pulsos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el cálculo del rango:

Puntos clave

  • 1Un diagrama de tallo y hojas separa cada valor en un tallo (todas las cifras menos la última) y una hoja (la última cifra)
  • 2Los tallos van en una columna de menor a mayor, las hojas de cada fila se escriben ordenadas, y todo diagrama necesita una clave como 5∣2=525 \mid 2 = 52
  • 3Cada hoja es un dato, así que el número de hojas es el número de datos y cada valor se puede volver a leer
  • 4Como los datos están ordenados, la mediana se halla contando hojas, la moda es una hoja repetida en una fila y el rango es el último valor menos el primero
  • 5Un diagrama espalda con espalda comparte los tallos entre dos grupos: las hojas de la izquierda se leen desde el tallo hacia fuera
  • 6Los tallos divididos (hojas 0-4 y 5-9 en filas distintas) muestran mejor la forma cuando los datos usan pocos tallos

Preguntas frecuentes

¿Cuál es el tallo de un número de una cifra como 7?

El tallo es 0 y la hoja es 7, así que 7 se escribe 0∣70 \mid 7. Así los valores de una cifra caben en el mismo diagrama que los de dos cifras.

¿Cómo represento decimales o números de tres cifras?

La última cifra sigue siendo la hoja y la clave dice qué significa. Para 4,7 segundos usa 4∣7=4,74 \mid 7 = 4{,}7; para 125 gramos, 12∣5=12512 \mid 5 = 125.

¿Qué diferencia hay entre un diagrama de tallo y hojas y un histograma?

Los dos muestran cuántos datos caen en cada intervalo. Un histograma solo muestra las frecuencias, mientras que un diagrama de tallo y hojas conserva cada valor, así que todavía puedes hallar exactamente la mediana, la moda y el rango.

¿Cuándo conviene dividir los tallos?

Cuando casi todos los datos usan solo dos o tres tallos, las filas se vuelven muy largas. Si divides cada tallo en hojas 0-4 y 5-9, se duplica el número de filas y la forma se ve con más claridad.

Glosario

Diagrama de tallo y hojas
Una representación que separa cada valor en tallo y hoja, de modo que se ve cada valor y también la forma de los datos
Tallo
Todas las cifras de un valor menos la última, escritas una vez en la columna de la izquierda (en 74 el tallo es 7)
Hoja
La última cifra de un valor, escrita en la fila de su tallo (en 74 la hoja es 4)
Clave
Una nota que muestra cómo leer una entrada, por ejemplo 5∣2=525 \mid 2 = 52 o 5∣2=5,25 \mid 2 = 5{,}2
Diagrama espalda con espalda
Dos diagramas de tallo y hojas que comparten una columna de tallos, con las hojas de un grupo a la izquierda y las del otro a la derecha
Tallos divididos
Cada tallo se usa en dos filas, la primera con las hojas 0 a 4 y la segunda con las hojas 5 a 9

Tarjeta de fórmulas

Leer una entrada (clave tallo | hoja)

7∣4=7×10+4=747 \mid 4 = 7 \times 10 + 4 = 74

En datos de dos cifras, el valor es el tallo por 10 más la hoja. Comprueba siempre la clave: con $7 \mid 4 = 7{,}4$ la hoja es la cifra de las décimas.

Posición de la mediana

posicioˊn=n+12\text{posición} = \frac{n + 1}{2}

Cuenta hojas desde arriba hasta llegar a esa posición. Si termina en ,5, toma la media de los dos valores de cada lado.

Rango

rango=uˊltimo valor−primer valor\text{rango} = \text{último valor} - \text{primer valor}

El valor mayor es la última hoja del último tallo y el menor es la primera hoja del primer tallo.

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