Simplificar expresiones trigonométricas

Respuesta: $\sin x$

$\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x$: el factor $\cos x$ se simplifica.

Respuesta: $\cos^2 x$

Resta $\sin^2 x$ en los dos lados de $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

Respuesta: 5

$\tan x \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 1$, así que la expresión vale $1 + 4 = 5$.

Respuesta: $\sec x$

1. En seno y coseno: $\csc x \tan x = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$. ¿Qué factor se simplifica? $\sin x$
2. ¿Qué queda después de simplificar? $\frac{1}{\cos x}$
3. ¿Qué función es igual a $\frac{1}{\cos x}$? $\sec x$

Respuesta: 1

1. Escribe $\cot x$ en seno y coseno. $\frac{\cos x}{\sin x}$
2. Reescribe $\sec x$. $\frac{1}{\cos x}$
3. Multiplica: $\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x \cdot \frac{1}{\cos x} = ?$ 1

Respuesta: $\cos x$

1. Calcula la expresión original: $\dfrac{\sin 60°}{\tan 60°} = \dfrac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = ?$ 0.5
2. Calcula la respuesta del alumno: $\sin^2 60° = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = ?$ 0.75
3. Los valores son distintos, así que el alumno se equivoca. La forma correcta es $\cos x$. ¿Cuánto vale $\cos 60°$? 0.5

Respuesta: $\tan x$

$\dfrac{1/\cos x}{1/\sin x} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{1} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.

Respuesta: 2

$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$ y $\csc^2 x - \cot^2 x = 1$, así que la suma es $1 + 1 = 2$.

Respuesta: 1

1. Dividir entre $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ es multiplicar por $\sin x$. ¿En qué se convierte $\dfrac{\sin x}{\csc x}$? $\sin^2 x$
2. Del mismo modo, ¿en qué se convierte $\dfrac{\cos x}{\sec x}$? $\cos^2 x$
3. ¿Cuánto vale $\sin^2 x + \cos^2 x$? 1

Respuesta: $\tan^2 x$

$\dfrac{1 - \cos^2 x}{1 - \sin^2 x} = \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x$.

Respuesta: 4

$\dfrac{4(1 - \cos^2 x)}{\sin x} = \dfrac{4\sin^2 x}{\sin x} = 4\sin x$, así que $k = 4$.

Respuesta: $1 + \cos x$

1. Sustituye $\sin^2 x$ usando una identidad pitagórica. $1 - \cos^2 x$
2. Factoriza $1 - \cos^2 x$ como diferencia de cuadrados. $(1 - \cos x)(1 + \cos x)$
3. Simplifica el factor $1 - \cos x$: el resultado es $1 + \cos x$. ¿Cuánto vale para $x = 60°$? 1.5

Respuesta: $\sin^3 x$

1. Saca el factor común. $\sin x(1 - \cos^2 x)$
2. Sustituye $1 - \cos^2 x$ por $\sin^2 x$. La expresión queda $\sin^n x$: ¿cuánto vale $n$? 3
3. Calcula $\sin^3 30° = \left(\frac{1}{2}\right)^3$ en forma decimal. 0.125

Respuesta: $2\tan x$

Numerador: $\cos x(1 + \sin x) - \cos x(1 - \sin x) = 2\sin x\cos x$. Denominador: $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$. Así que $\dfrac{2\sin x\cos x}{\cos^2 x} = \dfrac{2\sin x}{\cos x} = 2\tan x$.

Respuesta: 8

$\dfrac{(1 + \sin x) + (1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \dfrac{2}{\cos^2 x} = 2\sec^2 x$. Para $60°$: $\cos 60° = \frac{1}{2}$, así que $\sec^2 60° = 4$ y el valor es $2 \cdot 4 = 8$.

Respuesta: $\sec x - 1$

1. Sustituye $\tan^2 x$ usando una identidad pitagórica. $\sec^2 x - 1$
2. Factoriza el numerador $\sec^2 x - 1$. $(\sec x - 1)(\sec x + 1)$
3. Simplifica el factor $\sec x + 1$: el resultado es $\sec x - 1$. Calcúlalo para $x = 60°$. 1

Respuesta: 2

1. Desarrolla $(\sin x + \cos x)^2$. $\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x$
2. $(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x$. Al sumar los dos desarrollos, ¿qué dan los términos centrales $2\sin x\cos x$ y $-2\sin x\cos x$? 0
3. Lo que queda: $2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = ?$ 2

Respuesta: 1

$\tan x + \cot x = \dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \dfrac{1}{\sin x \cos x}$ y $\sec x \csc x = \dfrac{1}{\sin x \cos x}$, así que el cociente es $1$.