Demostrar identidades trigonométricas

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Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué afirmación es una identidad (cierta para todo ángulo $x$ permitido)?
1. a) $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
2. b) $\sin x = \cos x$
3. c) $\sin x + \cos x = 1$
4. d) $\tan x = 1$
2.
Comprueba la identidad $(1 + \tan^2 x)\cos^2 x = 1$ en $x = 60°$ . ¿Cuánto vale el lado izquierdo? Usa $\tan 60° = \sqrt{3}$ y $\cos 60° = \frac{1}{2}$ .
3.
Comprueba numéricamente que $\tan x \cos x = \sin x$ se cumple en $x = 30°$ .
4.
¿Qué paso NO está permitido al demostrar una identidad?
1. a)Escribir $\tan x$ como $\frac{\sin x}{\cos x}$ en un lado
2. b)Simplificar un factor común dentro de una fracción
3. c)Dividir los dos lados entre $\cos x$
4. d)Multiplicar un lado por $\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}$
5.
Demuestra que $\sin(2x) = 2\sin x$ NO es una identidad: calcula el lado izquierdo menos el lado derecho en $x = 90°$ .
6.
Demuestra que $\sin x \cot x = \cos x$ .
7.
¿Cuál es el mejor primer paso para demostrar $\dfrac{\sin x}{1 + \cos x} = \dfrac{1 - \cos x}{\sin x}$ empezando por el lado izquierdo?
1. a)Elevar los dos lados al cuadrado
2. b)Sumar $\cos x$ en los dos lados
3. c)Multiplicar numerador y denominador por $1 - \cos x$
4. d)Multiplicar numerador y denominador por $1 + \cos x$
8.
Calcula el lado derecho de $\sec x - \cos x = \sin x \tan x$ en $x = 60°$ . Usa $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\tan 60° = \sqrt{3}$ .
9.
Demuestra que $\cos x\,(\sec x - \cos x) = \sin^2 x$ .
10.
Demuestra que $\dfrac{1}{1 - \cos x} + \dfrac{1}{1 + \cos x} = 2\csc^2 x$ .
11.
¿Qué ángulo es un contraejemplo que muestra que $\sin x + \cos x = 1$ no es una identidad?
1. a) $360°$
2. b) $90°$
3. c) $45°$
4. d) $0°$
12.
Calcula $\dfrac{1 - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x}$ en $x = 30°$ .
13.
Refuta la afirmación $(\sin x + \cos x)^2 = 1$ y averigua a qué es igual realmente el lado izquierdo.
14.
¿A qué expresión es igual $\dfrac{1}{1 - \sin x} - \dfrac{1}{1 + \sin x}$ ?
1. a) $2\tan x \sec x$
2. b) $2\sin x$
3. c) $2\sec^2 x$
4. d) $2\tan^2 x$
15.
$\sec^4 x - \tan^4 x = 1 + A\tan^2 x$ es una identidad. ¿Qué número es $A$ ?
16.
Demuestra que $\dfrac{\cos x}{1 + \sin x} = \dfrac{1 - \sin x}{\cos x}$ .
17.
Demuestra que $\cot^2 x - \cos^2 x = \cot^2 x \cos^2 x$ .
18.
Demuestra que $\sin^4 x - \cos^4 x = 1 - 2\cos^2 x$ .