Guía del profesor: Simplificar expresiones trigonométricas

Aprende una caja de herramientas para simplificar expresiones trigonométricas: escribir todo en seno y coseno, usar las identidades pitagóricas, factorizar, sumar fracciones con denominador común y simplificar.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Identidades trigonométricas. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Escribir cualquier expresión trigonométrica en función del seno y el coseno
Reconocer y aplicar las identidades pitagóricas en todas sus formas despejadas
Factorizar expresiones trigonométricas con factor común y diferencia de cuadrados
Sumar fracciones trigonométricas con denominador común y simplificar factores comunes
Comprobar una simplificación numéricamente evaluando las dos formas en el mismo ángulo

Requisitos previos

• Identidades recíprocas ( $\sec$ , $\csc$ , $\cot$ )
• Identidades del cociente ( $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ )
• Identidades pitagóricas
• Factorizar y sumar fracciones algebraicas
• Valores exactos del seno, el coseno y la tangente en $30°$ , $45°$ , $60°$

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué escribir todo en seno y coseno es casi siempre un primer paso seguro?
2. Si dos expresiones tienen el mismo valor en $x = 45°$ , ¿son iguales? ¿Y en $20°$ y $50°$ ?
3. ¿Por qué puedes simplificar $\cos x$ en $\frac{\sin x \cos x}{\cos x}$ pero no en $\frac{\sin x + \cos x}{\cos x}$ ?
4. ¿Qué es "más simple", $1 + \cot x$ o $\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}$ ? ¿Depende de lo que necesites después?

Conceptos erróneos comunes

Los términos de una suma se pueden simplificar como factores

Remediación: Que los alumnos prueben $\frac{\sin x + \cos x}{\sin x} = \cos x$ en $x = 45°$ con la calculadora ( $2$ frente a unos $0{,}71$ ). Después mostrar que separar la fracción es el paso correcto.

La identidad pitagórica también funciona sin cuadrados ( $1 - \sin x = \cos x$ )

Remediación: Volver a la circunferencia goniométrica: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ es el teorema de Pitágoras para un triángulo de hipotenusa 1. Comparar $1 - \sin 30° = 0{,}5$ con $\cos 30° \approx 0{,}87$ .

Un valor igual en un ángulo demuestra la simplificación

Remediación: Mostrar $\sin x \tan x$ y $\cos x$ en $45°$ (ambos unos $0{,}71$ ) y luego en $30°$ (unos $0{,}29$ frente a $0{,}87$ ). Una comprobación solo puede refutar; demostrar lo hace el álgebra.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Dar una ficha de herramientas de una página con las cuatro reglas del cociente y recíprocas y las tres identidades pitagóricas
• Empezar con ejercicios de una sola herramienta (solo reescribir, solo Pitágoras) antes de mezclarlas
• Dejar que comprueben cada paso numéricamente con la calculadora en $x = 40°$

Para estudiantes de nivel:

• Simplificar expresiones que necesitan dos o tres herramientas, nombrando la regla en cada paso
• Usar el modo práctica del visual paso a paso para elegir la siguiente expresión
• Simplificar sumas de fracciones con denominador común, como $\frac{1}{1 + \sin x} + \frac{1}{1 - \sin x}$

Para estudiantes avanzados:

• Simplificar $\sin^4 x - \cos^4 x$ de dos maneras distintas y comparar los resultados
• Encontrar los ángulos donde la expresión original no está definida pero su forma simplificada sí
• Inventar una expresión que se simplifique a $\tan x$ e intercambiarla con un compañero

Alineación con estándares

F-TF.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C.8)
Demostrar la identidad pitagórica sin²(θ) + cos²(θ) = 1 y usarla para hallar sin(θ), cos(θ) o tan(θ) conocido uno de ellos y el cuadrante del ángulo
A-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
Usar la estructura de una expresión para encontrar formas de reescribirla
A-APR.D.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.APR.D.7)
Entender que las expresiones racionales forman un sistema análogo a los números racionales; sumarlas, restarlas, multiplicarlas y dividirlas

Recursos de la lección

visualSimplificador paso a paso
Cuatro expresiones simplificadas paso a paso, cada paso con su regla, además de una comprobación en vivo para cualquier ángulo y la gráfica de las dos formas
activityElige el siguiente paso
Los alumnos eligen la siguiente expresión en dos simplificaciones y ven la regla tras cada elección
worksheetClasificar por herramienta
Clasificar 12 expresiones según la primera herramienta que conviene usar: seno y coseno, Pitágoras, factorizar, denominador común

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Simplificar una expresión trigonométrica significa reescribirla, con identidades conocidas y álgebra habitual, como una expresión igual pero más corta: menos términos, menos funciones distintas, ninguna fracción dentro de otra. El valor nunca cambia, solo la forma.

La caja de herramientas

1.Escribir todo en seno y coseno. Sustituye $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ , $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ , $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ .
2.Usar una identidad pitagórica. Busca $\sin^2 x + \cos^2 x$ , $1 - \cos^2 x$ , $1 - \sin^2 x$ , $\sec^2 x - 1$ o $\csc^2 x - 1$ :

\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \qquad 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \qquad 1 + \cot^2 x = \csc^2 x

3.Factorizar. Saca factor común ( $\sin x - \sin x\cos^2 x = \sin x(1 - \cos^2 x)$ ) o usa la diferencia de cuadrados ( $1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$ ).
4.Sumar fracciones con un denominador común, igual que $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$ .
5.Simplificar factores comunes (nunca términos sueltos de una suma).

Ejemplo

(1 - \cos^2 x)\csc x = \sin^2 x \cdot \frac{1}{\sin x} = \sin x

Conoce el objetivo y luego comprueba

Cuando el enunciado indica la forma final ("solo en función de

\cos x

", "como una sola función"), dirígete hacia ella. Al final, sustituye un ángulo como

x = 40°

: la expresión original y la simplificada tienen que dar el mismo número.

Ejemplos resueltos

Simplifica

\dfrac{\tan x}{\sec x}

Escribir la tangente y la secante en seno y coseno

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

\sec x = \frac{1}{\cos x}

→

\dfrac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}}

Dividir entre una fracción: multiplicar por su inversa

\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{1}

→

\frac{\sin x \cos x}{\cos x}

Simplificar el factor común $\cos x$

\frac{\sin x \cancel{\cos x}}{\cancel{\cos x}}

→

\sin x

Respuesta: $\dfrac{\tan x}{\sec x} = \sin x$

Errores comunes

Simplificar un término en vez de un factor: $\dfrac{\sin x + \cos x}{\sin x} = \cos x$

Por qué está mal: Solo se simplifican factores de TODO el numerador y de todo el denominador. Aquí $\sin x$ es solo un término de la suma $\sin x + \cos x$ . Para $x = 45°$ el lado izquierdo vale $2$ , mientras que $\cos 45° \approx 0{,}71$ .

Correcto: Separa la fracción: $\dfrac{\sin x}{\sin x} + \dfrac{\cos x}{\sin x} = 1 + \cot x$ .

Olvidar los cuadrados: escribir $1 - \sin x = \cos x$

Por qué está mal: La identidad pitagórica habla de cuadrados: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ . Sin los cuadrados es falsa: para $x = 30°$ , $1 - \sin 30° = 0{,}5$ pero $\cos 30° \approx 0{,}87$ .

Correcto: Solo $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ es cierta. Si ves $1 - \sin x$ , piensa mejor en la diferencia de cuadrados o en un conjugado.

Sumar fracciones sumando los denominadores: $\dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\cos x} = \dfrac{2}{\sin x + \cos x}$

Por qué está mal: Las fracciones trigonométricas siguen las mismas reglas que las fracciones numéricas, y $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ no es $\frac{2}{5}$ .

Correcto: Usa el denominador común $\sin x \cos x$ : $\dfrac{\cos x + \sin x}{\sin x \cos x}$ .

Fiarse de una comprobación con un solo ángulo especial como $45°$

Por qué está mal: Para $x = 45°$ se cumple $\sin x = \cos x$ , así que muchas simplificaciones falsas (como $\sin x\tan x = \cos x$ ) dan allí el mismo número por casualidad.

Correcto: Comprueba con uno o dos ángulos "normales", por ejemplo $20°$ y $50°$ . Una diferencia demuestra un error; valores iguales solo hacen probable el resultado, la demostración la da el álgebra.

Por qué es importante

Simplificar expresiones trigonométricas es la habilidad de todos los días detrás de casi todo lo que viene después de la trigonometría básica:

Demostrar identidades: cada demostración es una cadena de pasos de simplificación, así que esta lección es el calentamiento para la siguiente
Resolver ecuaciones trigonométricas: una ecuación como $\sin x\cot x = 0{,}5$ solo se puede resolver cuando ves que dice $\cos x = 0{,}5$
Cálculo: derivar e integrar funciones trigonométricas es mucho más fácil después de simplificar, por ejemplo $\frac{\sin^2 x}{1 - \cos x} = 1 + \cos x$
Física e ingeniería: las fórmulas de fuerzas, ondas y circuitos se reducen a una sola función, lo que significa menos errores y cálculos más rápidos

Una expresión larga y su forma simplificada tienen el mismo valor, pero solo la corta te muestra lo que de verdad está pasando.

Aplicaciones del mundo real

Fórmulas de ingeniería

Los ingenieros obtienen a menudo fórmulas de fuerzas y tensiones como largas expresiones trigonométricas después de combinar varias partes. Simplificar primero hace fáciles los números y reduce los errores.

Ejemplo:

La fuerza sobre una viga inclinada sale como $F = 50(1 - \cos^2\theta)\csc\theta$ newtons. Como $(1 - \cos^2\theta)\csc\theta = \sin\theta$ , es simplemente $F = 50\sin\theta$ .

1Inténtalo tú mismo

Una fórmula de ingeniería da la fuerza $F = 50(1 - \cos^2\theta)\csc\theta$ newtons sobre una viga inclinada un ángulo $\theta = 30°$ .

¿Cuánto vale la fuerza en newtons?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Simplifica primero: $F = 50\sin\theta$ . Escribe la fuerza:

Código más rápido en videojuegos y gráficos

Los motores de videojuegos calculan expresiones trigonométricas millones de veces por segundo. Cada llamada a una función que te ahorras al simplificar hace el programa más rápido.

Ejemplo:

Una rutina de rotación calcula $\dfrac{\sin x}{\tan x}$ en cada fotograma. Como $\dfrac{\sin x}{\tan x} = \sin x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cos x$ , dos llamadas a funciones y una división se convierten en una sola llamada.

2Inténtalo tú mismo

Un programador sustituye $\dfrac{\sin x}{\tan x}$ en el bucle de un juego por su forma simplificada $\cos x$ .

¿Qué valor devuelve el código simplificado para $x = 60°$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula la forma simplificada $\cos x$ para $x = 60°$ :

Rampas y pendientes en la construcción

Los constructores y topógrafos trabajan con la altura de una rampa sobre una distancia horizontal. Las fórmulas de hoja de cálculo hechas en varios pasos a menudo esconden una simple tangente.

Ejemplo:

Una hoja de cálculo obtiene la altura de una rampa como $h = d\sin x\sec x$ , donde $d$ es la distancia horizontal. Como $\sin x \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ , la fórmula es en realidad $h = d\tan x$ .

3Inténtalo tú mismo

Una rampa tiene una distancia horizontal de $d = 12$ m y un ángulo de $x = 45°$ . La hoja de cálculo usa $h = d\sin x\sec x$ .

¿Cuántos metros sube la rampa?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Simplifica a $h = d\tan x$ y escribe la altura:

Puntos clave

1Simplificar cambia la forma de una expresión trigonométrica, nunca su valor
2Primer paso cuando te atascas: escribir $\tan$ , $\cot$ , $\sec$ y $\csc$ en función de $\sin$ y $\cos$
3Busca patrones pitagóricos: $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ , $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ , $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$
4Factoriza (factor común o diferencia de cuadrados) antes de simplificar, y simplifica solo factores, nunca términos
5Suma las fracciones trigonométricas con un denominador común, igual que las fracciones numéricas
6Comprueba el resultado sustituyendo un ángulo normal como $40°$ en las dos formas: los valores deben coincidir

Preguntas frecuentes

¿Cómo sé que una expresión está completamente simplificada?

Normalmente cuando tiene el menor número posible de términos y de funciones distintas, sin fracciones dentro de fracciones. Si el enunciado indica un objetivo ("en función de

\sin x

", "como una sola función"), para cuando llegues a esa forma.

¿Siempre tengo que escribir todo en seno y coseno?

Es la estrategia general más segura, porque así solo quedan dos funciones y se puede aplicar la identidad pitagórica

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

. A veces un atajo es más rápido, por ejemplo usar directamente

\sec^2 x - 1 = \tan^2 x

¿Basta con comprobar con la calculadora?

Es una forma estupenda de encontrar errores: si las dos formas dan valores distintos para el mismo ángulo, algo está mal. Pero valores iguales en uno o dos ángulos no demuestran la simplificación, eso lo hacen los pasos algebraicos.

¿Por qué algunos resultados simplificados llevan condiciones como "donde $\cos x \neq \sin x$ "?

Solo se puede simplificar un factor donde no vale cero. En esos ángulos la expresión original no está definida y la simplificada quizá sí, así que en sentido estricto ambas coinciden en todas partes salvo en esos ángulos.

Glosario

Identidad: Una igualdad que se cumple para todo valor de la variable en el que ambos lados están definidos, como $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
Forma simplificada: Una expresión igual con menos términos, menos funciones distintas y sin fracciones anidadas
Denominador común: Un denominador compartido que permite sumar o restar fracciones, por ejemplo $\sin x \cos x$ para $\frac{1}{\sin x}$ y $\frac{1}{\cos x}$
Factorizar: Escribir una suma como un producto, por ejemplo $\sin x - \sin x \cos^2 x = \sin x(1 - \cos^2 x)$
Diferencia de cuadrados: El patrón $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ , por ejemplo $1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$

Tarjeta de fórmulas

Forma en seno y coseno

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \; \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}, \; \sec x = \frac{1}{\cos x}, \; \csc x = \frac{1}{\sin x}

El primer paso cuando te atascas

Identidades pitagóricas

\sin^2 x + \cos^2 x = 1, \; 1 + \tan^2 x = \sec^2 x, \; 1 + \cot^2 x = \csc^2 x

También en las formas $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ y $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$

Diferencia de cuadrados

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Por ejemplo $1 - \sin^2 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x)$

Suma de fracciones

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

La misma regla sirve para fracciones trigonométricas

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Ejemplo

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Por qué es importante

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Fórmulas de ingeniería

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Puntos clave

Preguntas frecuentes

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