Factorisation complète

Réponse: Mettre en facteur le PGCD

Cherche toujours d'abord un PGCD ! Cela simplifie le polynôme et rend les autres techniques de factorisation plus faciles à appliquer.

Réponse: 2(x+2)(x-2)

$2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x + 2)(x - 2)$. D'abord nous mettons en facteur le PGCD de 2, puis nous reconnaissons $(x^2 - 4)$ comme une différence de carrés.

Réponse: $3(x + 2)(x - 2)$

$3(x + 2)(x - 2)$ est complètement factorisé. $3(x^2 - 4)$ peut encore être factorisé (différence de carrés). $(3x + 6)(x - 2)$ a un PGCD de 3 dans le premier facteur. $3x^2 - 12$ n'est pas factorisé du tout.

Réponse: 5(x+1)(x+2)

1. Quel est le PGCD des trois termes ? 5
2. Quel trinôme reste après avoir mis 5 en facteur ? x^2 + 3x + 2
3. Quels deux nombres se multiplient pour donner 2 et s'additionnent pour donner 3 ? 1 et 2
4. Écris la factorisation complète. 5(x+1)(x+2)

Réponse: 3x(x+1)(x-1)

$3x^3 - 3x = 3x(x^2 - 1) = 3x(x + 1)(x - 1)$. D'abord mets en facteur le PGCD $3x$, puis reconnais $x^2 - 1$ comme une différence de carrés.

Réponse: $(x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)$

$x^4 - 81 = (x^2 + 9)(x^2 - 9) = (x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)$. Note que $x^2 + 9$ est une somme de carrés et ne peut pas être factorisé sur les nombres réels.

Réponse: 2x(x+3)(x-1)

1. Quel est le PGCD des trois termes ? 2x
2. Quel trinôme reste après avoir mis $2x$ en facteur ? x^2 + 2x - 3
3. Quels deux nombres se multiplient pour donner $-3$ et s'additionnent pour donner $2$ ? 3 et -1
4. Écris la factorisation complète. 2x(x+3)(x-1)

Réponse: 4(x+3)(x-3)

$4x^2 - 36 = 4(x^2 - 9) = 4(x + 3)(x - 3)$. Mets toujours le PGCD en facteur d'abord !

Réponse: C'est une somme de carrés, qui n'a pas de facteurs réels

Une somme de carrés ($a^2 + b^2$) ne peut pas être factorisée en facteurs de nombres réels. Seule la différence de carrés ($a^2 - b^2$) peut être factorisée en $(a+b)(a-b)$.

Réponse: 3(x+2)(x^2-2x+4)

1. Quel est le PGCD ? 3
2. Quelle expression reste après avoir mis 3 en facteur ? x^3 + 8
3. Quel est le motif de $x^3 + 8$ ? somme de cubes
4. Écris la factorisation complète en utilisant la formule de somme de cubes. 3(x+2)(x^2-2x+4)

Réponse: 6y(x+2)(x-2)

$6x^2y - 24y = 6y(x^2 - 4) = 6y(x + 2)(x - 2)$. Le PGCD est $6y$, et $x^2 - 4$ est une différence de carrés.

Réponse: 2(x^2+9)(x+3)(x-3)

1. Quel est le PGCD ? 2
2. Que reste-t-il après avoir mis 2 en facteur ? x^4 - 81
3. Reconnais le motif : $x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2$. Factorise cette différence de carrés. (x^2+9)(x^2-9)
4. $x^2 - 9$ peut-il être factorisé davantage ? oui
5. Écris la factorisation complète. 2(x^2+9)(x+3)(x-3)

Réponse: 5(x-2)(x^2+2x+4)

$5x^3 - 40 = 5(x^3 - 8) = 5(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. En utilisant $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ avec $a = x$ et $b = 2$.

Réponse: $(x + 2)(x + 3)(x - 3)$

Groupe : $(x^3 + 2x^2) + (-9x - 18) = x^2(x + 2) - 9(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 9) = (x + 2)(x + 3)(x - 3)$.

Réponse: -3x(x-5)(x+1)

1. Quel est le PGCD (y compris le signe négatif) ? -3x
2. Quel trinôme reste après avoir mis $-3x$ en facteur ? x^2 - 4x - 5
3. Quels deux nombres se multiplient pour donner $-5$ et s'additionnent pour donner $-4$ ? -5 et 1
4. Écris la factorisation complète. -3x(x-5)(x+1)

Réponse: (x+1)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)

$x^6 - 1 = (x^3 + 1)(x^3 - 1) = (x + 1)(x^2 - x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)$. Utilise la différence de carrés, puis la somme et la différence de cubes.