Problèmes de factorisation

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Un champ rectangulaire a une longueur de mètres et une largeur de mètres. Quelle expression représente son aire ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Réponse:
Aire = . C'est ainsi que les problèmes d'aire créent des expressions quadratiques.
2.
Si représente le premier de deux entiers consécutifs, qu'est-ce qui représente leur produit ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Réponse:
Les entiers consécutifs sont et . Leur produit est , qui est quadratique.
3.
Un carré a un côté de cm. Si l'aire est de 49 cm carrés, quelle est la valeur de ?
Réponse: 7
se factorise en , donnant ou . Comme la longueur doit être positive, cm.
4.
Le produit de deux entiers positifs consécutifs est 30. Quel est le plus petit entier ?
Réponse: 5
se factorise en . Donc ou . Comme on veut des entiers positifs, . Vérification : ✓
5.
La hauteur d'une balle est donnée par . Quelle forme factorisée aide à trouver quand elle touche le sol ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Réponse:
. En égalant à 0 : donne (lancement) ou (atterrissage).
6.
Une piscine rectangulaire a une longueur de 4 mètres de plus que sa largeur. L'aire est de 45 mètres carrés. Trouve les dimensions.
Réponse: 5, 9
1. Si la largeur est , quelle est la longueur ? x + 4
2. Écris l'équation de l'aire : 45
3. Développe pour obtenir . Réarrange en forme standard : x^2 + 4x - 45 = 0
4. Factorise : Trouve des nombres qui se multiplient à -45 et s'additionnent à 4 9 et -5
5. Donc . Quelle est la largeur (solution positive) ? 5
7.
Un nombre est 3 de moins qu'un autre. Leur produit est 54. Quel est le plus grand nombre ?
Réponse: 9
se factorise en . Donc ou . Le plus grand nombre positif est 9, le plus petit est 6. Vérification : ✓
8.
La hauteur d'une fusée est mètres après secondes. Quand revient-elle au sol ?
Réponse: 8
1. Combien vaut quand la fusée touche le sol ? 0
2. Établis l'équation : 0
3. Mets en facteur le PGCD de 5t
4. Après factorisation : . Qu'y a-t-il à l'intérieur ? 8 - t
5. Avec , quand atterrit-elle (pas ) ? 8
9.
Quelle équation représente : 'Le produit de deux entiers pairs consécutifs est 168' ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Réponse:
Entiers pairs consécutifs : et . Leur produit : . Cela donne , qui se factorise en , donc (les entiers sont 12 et 14).
10.
Un jardin rectangulaire est deux fois plus long que large. Si l'aire est de 72 mètres carrés, quelle est la largeur ?
Réponse: 6
(valeur positive). Largeur = 6 m, Longueur = 12 m. Vérification : ✓
11.
Une photo rectangulaire mesure 6 cm sur 8 cm. Elle a un cadre avec une bordure uniforme. Si l'aire totale est de 120 cm carrés, trouve la largeur de la bordure.
Réponse: 2
1. Si la largeur de la bordure est , la largeur totale est 2x
2. La longueur totale est 2x
3. Écris l'équation de l'aire : 120
4. Développe : . Simplifie en . Réarrange : 4x^2 + 28x - 72 = 0
5. Divise par 4 : . Factorise : 2
6. Quelle est la largeur de la bordure (solution positive) ? 2
12.
La somme d'un nombre et de son carré est 72. Trouve le nombre positif.
Réponse: 8
se factorise en . Donc ou . Le nombre positif est 8. Vérification : ✓
13.
Une balle est lancée vers le haut avec hauteur . À quel moment la balle est-elle à hauteur 32 ?
1. a) et secondes
2. b) secondes
3. c) secondes
4. d) secondes
Réponse: et secondes
. La balle est à hauteur 32 à (montée) et (descente).
14.
Le produit de deux entiers impairs consécutifs est 143. Trouve les entiers.
Réponse: 11, 13
1. Les entiers impairs consécutifs diffèrent de combien ? 2
2. Si le premier entier impair est , le second est : x + 2
3. Écris l'équation du produit : x(x + 2) = 143
4. Développe et réarrange en forme standard : x^2 + 2x - 143 = 0
5. Factorise : Trouve des nombres qui se multiplient à -143 et s'additionnent à 2 13 et -11
6. Quel est le premier (plus petit positif) entier impair ? 11
15.
Une cour rectangulaire est 5 mètres plus longue que large. Une allée de 2 mètres de large l'entoure. Si l'aire totale (cour + allée) est de 204 mètres carrés, quelle est la largeur de la cour ?
Réponse: 8
. Largeur = 8 m, Longueur = 13 m. Vérification : ✓