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Guide de l'enseignant: Résoudre des équations par factorisation

Apprends à résoudre des équations quadratiques en les factorisant en produits de binômes et en appliquant la propriété du produit nul.

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Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Factorisation. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Appliquer la propriété du produit nul pour résoudre des équations
  • Résoudre des équations quadratiques en factorisant des trinômes
  • Résoudre des équations impliquant une différence de carrés
  • Reconnaître quand factoriser d'abord un PGCD
  • Vérifier les solutions par substitution
Prérequis
  • • Factorisation de trinômes (x2+bx+cx^2 + bx + c)
  • • Factorisation avec coefficient principal (ax2+bx+cax^2 + bx + c)
  • • Motif de la différence de carrés
  • • Plus grand commun diviseur (PGCD)
Amorces de discussion
  • 1. Pourquoi appelons-nous les points d'intersection avec l'axe des x des 'zéros' ou 'racines' d'une équation ?
  • 2. Quand la factorisation serait-elle plus rapide que l'utilisation de la formule quadratique ?
  • 3. Peux-tu penser à une situation réelle où tu aurais besoin de trouver quand quelque chose est égal à zéro ?
  • 4. Que se passe-t-il graphiquement quand une équation quadratique n'a pas de solutions réelles ?
Idées reçues courantes

Penser que (x−3)(x−5)=0(x - 3)(x - 5) = 0 signifie x=−3x = -3 et x=−5x = -5

Remédiation: Insiste : résous chaque facteur en l'égalisant à zéro. Si x−3=0x - 3 = 0, AJOUTE 3 pour obtenir x=3x = 3. La solution a le signe OPPOSÉ de ce qui apparaît dans le facteur.

Supposer que toutes les équations quadratiques peuvent être factorisées

Remédiation: Montre des exemples comme x2+x+1=0x^2 + x + 1 = 0 qui n'a pas de facteurs réels. Discute que la formule quadratique est la méthode de secours.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Commence avec des équations déjà sous forme factorisée : (x−2)(x+5)=0(x - 2)(x + 5) = 0
  • • Utilise un code couleur : une couleur pour chaque facteur
  • • Fournis une liste de contrôle : 1) Forme standard ? 2) PGCD ? 3) Factoriser 4) Chaque = 0 5) Résoudre

Pour les élèves au niveau:

  • • Mélange différents types de factorisation (PGCD, trinôme, différence de carrés)
  • • Inclus des équations pas initialement sous forme standard
  • • Ajoute une étape de vérification à toutes les solutions

Pour les élèves avancés:

  • • Équations de degré supérieur : x3−4x=0x^3 - 4x = 0
  • • Systèmes impliquant des quadratiques
  • • Crée des équations avec des solutions spécifiques
Alignement aux standards
  • A.REI.B.4b (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.B.4.B)

    Résous des équations quadratiques par inspection, extraction de racines, complétion du carré, la formule quadratique et factorisation

  • A.SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)

    Utilise la structure d'une expression pour identifier des façons de la réécrire

Ressources de la leçon
  • visualChercheur de solutions

    Trace des quadratiques et vois où elles croisent l'axe des x

  • activityCourse de factorisation

    Pratique chronométrée de factorisation et résolution d'équations

  • worksheetApplications réelles

    Problèmes nécessitant la résolution par factorisation

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Résoudre des équations par factorisation utilise la propriété du produit nul : si a⋅b=0a \cdot b = 0, alors soit a=0a = 0, soit b=0b = 0 (ou les deux).
Pour résoudre une équation quadratique par factorisation :
  1. 1.Écris l'équation sous forme standard : ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
  2. 2.Factorise le côté gauche en un produit de binômes
  3. 3.Égalise chaque facteur à zéro
  4. 4.Résous chaque équation résultante
Exemple :
x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0
(x−2)(x−3)=0(x - 2)(x - 3) = 0
x−2=0 ou x−3=0x - 2 = 0 \text{ ou } x - 3 = 0
x=2 ou x=3x = 2 \text{ ou } x = 3

Exemples résolus

Résous : x2+7x+12=0x^2 + 7x + 12 = 0
1

Identifie la forme de l'équation

Déjà sous forme standard : x2+7x+12=0x^2 + 7x + 12 = 0 → a=1a = 1, b=7b = 7, c=12c = 12
2

Factorise le trinôme

Trouve deux nombres qui se multiplient pour donner 12 et s'additionnent pour donner 7 : 3×4=123 \times 4 = 12 et 3+4=73 + 4 = 7 → (x+3)(x+4)=0(x + 3)(x + 4) = 0
3

Applique la propriété du produit nul

Si (x+3)(x+4)=0(x + 3)(x + 4) = 0, alors x+3=0x + 3 = 0 ou x+4=0x + 4 = 0 → Deux équations à résoudre
4

Résous chaque équation

x+3=0⇒x=−3x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 et x+4=0⇒x=−4x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 → x=−3x = -3 ou x=−4x = -4

Erreurs courantes

Diviser les deux côtés par xx (perd la solution x=0x = 0)

Pourquoi c'est faux: Quand tu divises par xx, tu supposes que x≠0x \neq 0. Mais x=0x = 0 pourrait être une solution valide !

Correct: Factorise xx à la place : x2−5x=0⇒x(x−5)=0x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x - 5) = 0, donne x=0x = 0 ou x=5x = 5

Oublier de mettre l'équation égale à zéro d'abord

Pourquoi c'est faux: La propriété du produit nul ne fonctionne que quand le produit est égal à zéro, pas à un autre nombre.

Correct: Réécris toujours comme expression=0\text{expression} = 0 avant de factoriser. Par exemple : x2=9x^2 = 9 devient x2−9=0x^2 - 9 = 0

Écrire une seule solution quand il y en a deux

Pourquoi c'est faux: Les équations quadratiques peuvent avoir deux solutions distinctes, et les deux sont valides.

Correct: Vérifie toujours les deux facteurs. (x−2)(x−3)=0(x - 2)(x - 3) = 0 donne DEUX solutions : x=2x = 2 ET x=3x = 3

Erreurs de signe lors de la factorisation

Pourquoi c'est faux: Les signes dans la forme factorisée déterminent les signes des solutions.

Correct: (x+3)=0(x + 3) = 0 donne x=−3x = -3 (signe opposé). (x−3)=0(x - 3) = 0 donne x=3x = 3 (même signe)

Pourquoi c'est important

Résoudre des équations par factorisation est l'une des méthodes les plus élégantes de l'algèbre car elle transforme des problèmes complexes en problèmes plus simples :
  • Physique : Équations de mouvement projectile (quand la balle touche-t-elle le sol ?)
  • Commerce : Analyse du seuil de rentabilité (quand le profit est-il nul ?)
  • Ingénierie : Trouver des dimensions qui satisfont des exigences de surface
  • Architecture : Calculer des mesures pour des conceptions structurelles
Bien que la formule quadratique fonctionne toujours, la factorisation est souvent plus rapide et donne plus d'insight sur la structure de l'équation !

Applications dans le monde réel

Mouvement projectile

Quand un objet est lancé vers le haut, sa hauteur suit une équation quadratique. Trouver quand il touche le sol signifie résoudre quand la hauteur est nulle.

Exemple:

La hauteur d'une balle est h=−t2+4t+5h = -t^2 + 4t + 5 mètres après tt secondes. Quand touche-t-elle le sol ? Résous −t2+4t+5=0-t^2 + 4t + 5 = 0, ou de manière équivalente t2−4t−5=0t^2 - 4t - 5 = 0. Factorisation : (t−5)(t+1)=0(t - 5)(t + 1) = 0, donc t=5t = 5 secondes (on ignore t=−1t = -1 car le temps ne peut pas être négatif).

1Essaie par toi-même

La hauteur d'une fusée est donnée par h=−2t2+12th = -2t^2 + 12t mètres, où tt est le temps en secondes.

Quand la fusée retourne-t-elle au sol ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Égalise la hauteur à zéro et résous :

Problèmes d'aire

Trouver des dimensions quand on connaît l'aire mène souvent à des équations quadratiques.

Exemple:

Un jardin rectangulaire a une longueur de 3 mètres de plus que sa largeur. Si l'aire est de 40 mètres carrés, trouve les dimensions. Soit largeur = xx. Alors : x(x+3)=40x(x + 3) = 40, donc x2+3x−40=0x^2 + 3x - 40 = 0. Factorisation : (x+8)(x−5)=0(x + 8)(x - 5) = 0, donne x=5x = 5 mètres (largeur). Longueur = 8 mètres.

2Essaie par toi-même

Un cadre photo a une largeur de xx cm et une longueur de (x+4)(x + 4) cm. L'aire du cadre est de 45 centimètres carrés.

Quelles sont les dimensions du cadre ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Établis et résous l'équation de l'aire :

Points clés

  • 1La propriété du produit nul énonce : si ab=0ab = 0, alors a=0a = 0 ou b=0b = 0
  • 2Écris toujours l'équation sous forme standard (ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0) avant de factoriser
  • 3Factorise l'expression, puis égalise chaque facteur à zéro
  • 4Les équations quadratiques peuvent avoir zéro, une ou deux solutions
  • 5Vérifie tes réponses en substituant dans l'équation originale
  • 6Ne divise jamais par une variable - tu pourrais perdre des solutions !

Questions fréquentes

Que faire si l'équation ne se factorise pas facilement ?

Toutes les équations quadratiques ne peuvent pas être factorisées avec des entiers. Dans ces cas, utilise la formule quadratique : x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. La factorisation fonctionne mieux quand les solutions sont des nombres rationnels.

Une équation quadratique peut-elle avoir une seule solution ?

Oui ! Cela arrive quand le trinôme est un carré parfait. Par exemple, x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0 se factorise en (x−3)2=0(x - 3)^2 = 0, donnant seulement x=3x = 3 (une racine double).

Pourquoi égalisons-nous les facteurs à zéro ?

Zéro est spécial : c'est le seul nombre où, si un produit lui est égal, au moins un facteur doit lui être égal. Si ab=6ab = 6, il y a des possibilités infinies. Mais si ab=0ab = 0, soit a=0a = 0, soit b=0b = 0.

Glossaire

Propriété du produit nul
Si a⋅b=0a \cdot b = 0, alors a=0a = 0 ou b=0b = 0 (ou les deux)
Forme standard
Une équation quadratique écrite comme ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
Racine/Solution
Une valeur de xx qui rend l'équation vraie
Factorisation
Écrire une expression comme un produit d'expressions plus simples

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