Inéquations avec valeur absolue

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle inéquation composée représente $|x| < 5$ ?
1. a) $-5 < x < 5$
2. b) $x > -5$
3. c) $x < 5$
4. d) $x < -5$ ou $x > 5$
Réponse: $-5 < x < 5$
$|x| < 5$ signifie que $x$ est à moins de 5 unités de zéro. Cela nous donne $-5 < x < 5$ (valeurs entre $-5$ et $5$ ).
2.
Quelle inéquation composée représente $|x| > 4$ ?
1. a) $x > 4$
2. b) $-4 < x < 4$
3. c) $x < -4$ ou $x > 4$
4. d) $x < -4$
Réponse: $x < -4$ ou $x > 4$
$|x| > 4$ signifie que $x$ est à plus de 4 unités de zéro. Cela nous donne $x < -4$ OU $x > 4$ (valeurs en dehors de l'intervalle).
3.
Résous $|x| < 3$ . Quelle est la borne inférieure de la solution ? (Écris seulement le nombre)
Réponse: -3
$|x| < 3$ signifie $-3 < x < 3$ . La borne inférieure est $-3$ .
4.
Résous $|x| \leq 7$ . Quelle est la borne supérieure de la solution ?
Réponse: 7
$|x| \leq 7$ signifie $-7 \leq x \leq 7$ . La borne supérieure est $7$ .
5.
Résous $|x - 3| < 4$
Réponse: $-1 < x < 7$
1. Quel type d'inéquation est-ce (inférieur à ou supérieur à) ? inférieur à
2. Écris l'inéquation composée : $-4 < x - 3 < ?$ 4
3. Ajoute 3 à toutes les parties. Quelle est la borne inférieure ? -1
4. Quelle est la borne supérieure ? 7
6.
Résous $|x + 2| > 5$
Réponse: $x < -7$ ou $x > 3$
1. Quel type d'inéquation est-ce ? supérieur à
2. Pour supérieur à, nous écrivons deux inéquations séparées. La première est $x + 2 < ?$ -5
3. Résous $x + 2 < -5$ : $x < ?$ -7
4. La deuxième inéquation est $x + 2 > 5$ . Résous-la : $x > ?$ 3
7.
Quelle est la solution de $|x - 1| \leq 6$ ?
1. a) $-5 \leq x \leq 7$
2. b) $-6 \leq x \leq 6$
3. c) $-7 \leq x \leq 5$
4. d) $x \leq -5$ ou $x \geq 7$
Réponse: $-5 \leq x \leq 7$
$|x - 1| \leq 6$ signifie $-6 \leq x - 1 \leq 6$ . En ajoutant 1 : $-5 \leq x \leq 7$ .
8.
Résous $|2x| < 10$ . Quelle est la borne supérieure de la solution ?
Réponse: 5
$|2x| < 10$ signifie $-10 < 2x < 10$ . Division par 2 : $-5 < x < 5$ . La borne supérieure est $5$ .
9.
Quelle est la solution de $|x + 5| \geq 3$ ?
1. a) $x \leq -8$ ou $x \geq -2$
2. b) $-2 \leq x \leq 8$
3. c) $x \leq -2$ ou $x \geq 8$
4. d) $-8 \leq x \leq -2$
Réponse: $x \leq -8$ ou $x \geq -2$
$|x + 5| \geq 3$ donne $x + 5 \leq -3$ OU $x + 5 \geq 3$ . Solution : $x \leq -8$ ou $x \geq -2$ .
10.
Résous $|3x - 6| \leq 12$
Réponse: $-2 \leq x \leq 6$
1. Écris comme inéquation composée : $-12 \leq 3x - 6 \leq ?$ 12
2. Ajoute 6 à toutes les parties : $-6 \leq 3x \leq ?$ 18
3. Divise par 3. Quelle est la borne inférieure ? -2
4. Quelle est la borne supérieure ? 6
11.
Quelle est la solution de $|x + 3| < -1$ ?
1. a) $x < -4$ ou $x > -2$
2. b) $-4 < x < -2$
3. c)Tous les nombres réels
4. d)Aucune solution
Réponse: Aucune solution
La valeur absolue est toujours $\geq 0$ . Puisque $|x + 3| \geq 0$ pour tout $x$ , elle ne peut jamais être inférieure à $-1$ . Aucune solution.
12.
Quelle est la solution de $|2x - 5| > -3$ ?
1. a) $1 < x < 4$
2. b)Tous les nombres réels
3. c)Aucune solution
4. d) $x < 1$ ou $x > 4$
Réponse: Tous les nombres réels
Puisque $|2x - 5| \geq 0$ et $0 > -3$ , l'inéquation est toujours vraie. Solution : tous les nombres réels.
13.
Résous $|4x + 8| > 12$
Réponse: $x < -5$ ou $x > 1$
1. C'est une inéquation supérieur à. Écris le premier cas : $4x + 8 < ?$ -12
2. Résous $4x + 8 < -12$ . D'abord soustrais 8 : $4x < ?$ -20
3. Divise par 4 : $x < ?$ -5
4. Maintenant résous $4x + 8 > 12$ . Soustrais 8, puis divise par 4 : $x > ?$ 1
14.
Une pièce de machine doit avoir un diamètre de 50 mm, avec une tolérance de 0,5 mm : $|d - 50| \leq 0{,}5$ . Quel est le plus grand diamètre $d$ acceptable, en mm ?
Réponse: 50.5
$|d - 50| \leq 0{,}5$ signifie $-0{,}5 \leq d - 50 \leq 0{,}5$ . En ajoutant 50 : $49{,}5 \leq d \leq 50{,}5$ . Le maximum est $50{,}5$ mm.
15.
Résous $|2x - 3| \geq 7$
Réponse: $x ≤ -2$ ou $x ≥ 5$
1. C'est supérieur ou égal. Premier cas : $2x - 3 \leq ?$ -7
2. Ajoute 3 : $2x \leq ?$ -4
3. Divise par 2 : $x \leq ?$ -2
4. Deuxième cas : résous $2x - 3 \geq 7$ : $x \geq ?$ 5
16.
Résous $|x| > 6$ . La solution a deux parties : $x < ?$ ou $x > 6$ . Quel nombre remplace le point d'interrogation ?
Réponse: -6
$|x| > 6$ signifie que $x$ est à plus de 6 unités de zéro : $x < -6$ ou $x > 6$ . Le nombre manquant est $-6$ .
17.
Résous $|x + 4| \leq 2$
Réponse: $-6 \leq x \leq -2$
1. Écris comme inéquation composée : $-2 \leq x + 4 \leq ?$ 2
2. Soustrais 4 de toutes les parties. Borne inférieure : $-2 - 4 = ?$ -6
3. Borne supérieure : $2 - 4 = ?$ -2