Division de polynômes

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Simplifie : $\frac{6x^2}{3x}$
1. a) $2$
2. b) $3x$
3. c) $2x^2$
4. d) $2x$
Réponse: $2x$
$\frac{6x^2}{3x} = \frac{6}{3} \cdot \frac{x^2}{x} = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$
2.
Simplifie : $\frac{15x^3}{5x}$ . Entre la forme simplifiée (ex. 3x^2).
Réponse: 3x^2
$\frac{15x^3}{5x} = \frac{15}{5} \cdot x^{3-1} = 3x^2$
3.
Simplifie : $\frac{8x^2 + 4x}{2x}$
Réponse: 4x + 2
1. Divise le premier terme : $\frac{8x^2}{2x}$ = ? 4x
2. Divise le deuxième terme : $\frac{4x}{2x}$ = ? 2
3. Combine les résultats : 4x + 2
4.
Dans la division synthétique, quelle valeur de $c$ utilises-tu pour diviser par $(x - 5)$ ?
1. a) $-5$
2. b) $1$
3. c) $5$
4. d) $0$
Réponse: $5$
Pour $(x - 5)$ , nous avons $c = 5$ . Le signe dans la division synthétique est toujours l'opposé de ce qui apparaît dans le diviseur.
5.
Utilise la division euclidienne pour diviser $(x^2 + 7x + 12)$ par $(x + 3)$ .
Réponse: x + 4
1. Divise $x^2$ par $x$ : x
2. Multiplie $(x + 3)$ par $x$ et soustrais de $(x^2 + 7x)$ . Que reste-t-il ? 4x
3. Abaisse $+12$ . Maintenant divise $4x$ par $x$ : 4
4. Multiplie $(x + 3)$ par $4$ et soustrais de $(4x + 12)$ . Quel est le reste ? 0
6.
Selon le théorème du reste, quel est le reste quand $P(x) = x^3 - 2x + 1$ est divisé par $(x - 1)$ ?
1. a) $1$
2. b) $2$
3. c) $0$
4. d) $-1$
Réponse: $0$
$P(1) = 1^3 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$ . Puisque le reste est $0$ , $(x - 1)$ est un facteur de $P(x)$ .
7.
Divise $(x^2 - 9)$ par $(x + 3)$ . Entre le quotient.
Réponse: x - 3
$x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$ . La division par $(x+3)$ donne $x - 3$ sans reste.
8.
Utilise la division synthétique pour diviser $(x^3 + 2x^2 - 5x - 6)$ par $(x - 2)$ .
Réponse: x^2 + 4x + 3
1. Quelle valeur de $c$ utilises-tu ? 2
2. Écris les coefficients : $1, 2, -5, -6$ . Abaisse le 1. Multiplie par 2 et ajoute à 2 : 4
3. Multiplie 4 par 2, ajoute à -5 : 3
4. Multiplie 3 par 2, ajoute à -6. Quel est le reste ? 0
9.
Que vaut $\frac{10x^4 - 15x^3 + 5x^2}{5x^2}$ ?
1. a) $2x^4 - 3x^3 + x^2$
2. b) $2x - 3 + 1$
3. c) $2x^2 - 3x + 1$
4. d) $2x^2 - 3x$
Réponse: $2x^2 - 3x + 1$
$\frac{10x^4}{5x^2} - \frac{15x^3}{5x^2} + \frac{5x^2}{5x^2} = 2x^2 - 3x + 1$
10.
Divise $(2x^2 + 5x - 3)$ par $(x + 3)$ par division euclidienne.
Réponse: 2x - 1
1. Divise $2x^2$ par $x$ : 2x
2. Multiplie $(x + 3)$ par $2x$ et soustrais de $(2x^2 + 5x)$ . Que reste-t-il ? -x
3. Abaisse $-3$ . Maintenant divise $-x$ par $x$ : -1
4. Multiplie $(x + 3)$ par $-1$ et soustrais de $(-x - 3)$ . Quel est le reste ? 0
11.
Utilise la division synthétique pour trouver le reste quand $x^3 - 4x^2 + x + 6$ est divisé par $(x - 3)$ .
Réponse: 0
Avec $c = 3$ : 3 | 1 -4 1 6 donne 1, -1, -2, 0. Le reste est 0, donc $(x-3)$ est un facteur.
12.
Divise $(x^3 - 8)$ par $(x - 2)$ par division synthétique. N'oublie pas les coefficients nuls !
Réponse: x^2 + 2x + 4
1. Écris le polynôme avec tous les termes. Quels sont les coefficients ? 1, 0, 0, -8
2. Configure la division synthétique avec $c = 2$ . Après la première opération : $0 + (2 \times 1) =$ 2
3. Continue : $0 + (2 \times 2) =$ 4
4. Étape finale : $-8 + (2 \times 4) =$ . C'est le reste. 0
13.
Quel est le quotient quand $(3x^3 + 5x^2 - 2x - 8)$ est divisé par $(x + 2)$ ?
1. a) $3x^2 - x$ (reste -8)
2. b) $3x^2 - x - 4$ (reste 0)
3. c) $3x^2 + x - 4$ (reste 0)
4. d) $3x^2 - x + 0$ (reste 8)
Réponse: $3x^2 - x$ (reste -8)
Division synthétique avec $c = -2$ : Coefficients 3, 5, -2, -8. Le quotient est $3x^2 - x$ avec reste $-8$ . Vérification : $(3x^2 - x)(x + 2) - 8 = 3x^3 + 5x^2 - 2x - 8$ ✓
14.
Divise $(x^4 - 16)$ par $(x - 2)$ . Entre le polynôme quotient.
Réponse: x^3 + 2x^2 + 4x + 8
Par division synthétique : 2 | 1 0 0 0 -16 donne 1, 2, 4, 8, 0. Quotient : $x^3 + 2x^2 + 4x + 8$ .
15.
Divise $(6x^3 - x^2 - 11x + 6)$ par $(2x - 1)$ par division euclidienne.
Réponse: 3x^2 + x - 5
1. Divise $6x^3$ par $2x$ : 3x^2
2. Multiplie $(2x - 1)$ par $3x^2$ : $6x^3 - 3x^2$ . Soustrais de $(6x^3 - x^2)$ . Que reste-t-il ? 2x^2
3. Abaisse $-11x$ . Divise $2x^2$ par $2x$ : x
4. Multiplie $(2x - 1)$ par $x$ : $2x^2 - x$ . Soustrais de $(2x^2 - 11x)$ . Que reste-t-il ? -10x
5. Abaisse $+6$ . Divise $-10x$ par $2x$ : -5
6. Multiplie $(2x - 1)$ par $-5$ : $-10x + 5$ . Soustrais de $(-10x + 6)$ . Quel est le reste ? 1