Résolution d'équations irrationnelles

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Résous : $\sqrt{x} = 4$
1. a) $x = 8$
2. b) $x = 16$
3. c) $x = 4$
4. d) $x = 2$
Réponse: $x = 16$
Élève au carré les deux membres : $(\sqrt{x})^2 = 4^2$ , donc $x = 16$ . Vérification : $\sqrt{16} = 4$ ✓
2.
Résous : $\sqrt{x} = 7$
Réponse: 49
Élève au carré : $x = 7^2 = 49$ . Vérification : $\sqrt{49} = 7$ ✓
3.
Quelle est la solution de $\sqrt{x} = -5$ ?
1. a) $x = -25$
2. b) $x = 25$
3. c) $x = -5$
4. d)Aucune solution
Réponse: Aucune solution
La racine carrée principale est toujours non négative. Puisque $\sqrt{x} \geq 0$ pour tout $x$ réel, il n'y a pas de solution.
4.
Résous : $\sqrt{x + 1} = 5$
Réponse: 24
1. Élève les deux membres au carré. Combien vaut $5^2$ ? 25
2. Maintenant nous avons $x + 1 = 25$ . Calcule $x$ . 24
3. Vérification : Combien vaut $\sqrt{24 + 1}$ ? 5
5.
Résous : $\sqrt{x - 3} = 6$
Réponse: 39
Au carré : $x - 3 = 36$ . Ajoute 3 : $x = 39$ . Vérification : $\sqrt{39 - 3} = \sqrt{36} = 6$ ✓
6.
Résous : $\sqrt{2x + 1} = 5$
Réponse: 12
1. Élève au carré. Combien vaut $5^2$ ? 25
2. Nous avons $2x + 1 = 25$ . Soustrais 1 aux deux membres. 24
3. Maintenant $2x = 24$ . Divise par 2. 12
7.
Résous : $\sqrt{x} + 3 = 7$
1. a) $x = 49$
2. b) $x = 16$
3. c) $x = 4$
4. d) $x = 10$
Réponse: $x = 16$
Isoler : $\sqrt{x} = 4$ . Au carré : $x = 16$ . Vérification : $\sqrt{16} + 3 = 4 + 3 = 7$ ✓
8.
Résous : $\sqrt{3x - 2} = 4$
Réponse: 6
Au carré : $3x - 2 = 16$ . Ajoute 2 : $3x = 18$ . Divise par 3 : $x = 6$ . Vérification : $\sqrt{3(6) - 2} = \sqrt{16} = 4$ ✓
9.
Résous : $\sqrt{x - 5} - 2 = 1$
Réponse: 14
1. D'abord, isole le radical. Ajoute 2 aux deux membres. Combien vaut $\sqrt{x - 5}$ ? 3
2. Élève au carré. Combien vaut $3^2$ ? 9
3. Ajoute 5 aux deux membres. Combien vaut $x$ ? 14
10.
Résous : $2\sqrt{x} = 10$
1. a) $x = 25$
2. b) $x = 50$
3. c) $x = 5$
4. d) $x = 100$
Réponse: $x = 25$
Divise par 2 : $\sqrt{x} = 5$ . Au carré : $x = 25$ . Vérification : $2\sqrt{25} = 2(5) = 10$ ✓
11.
Résous : $\sqrt{x + 7} = x - 5$ . Entre toutes les solutions valides.
Réponse: 9
Au carré : $x + 7 = x^2 - 10x + 25$ . Réorganise : $x^2 - 11x + 18 = 0$ . Factorise : $(x-9)(x-2) = 0$ . Solutions : $x = 9$ ou $x = 2$ . Vérifie $x = 9$ : $\sqrt{16} = 4$ et $9 - 5 = 4$ ✓. Vérifie $x = 2$ : $\sqrt{9} = 3$ mais $2 - 5 = -3$ ✗. Seul $x = 9$ est valide.
12.
Résous : $\sqrt{x + 3} = x - 3$
Réponse: 6
1. Élève au carré. Le membre de gauche devient $x + 3$ . Que donne $(x-3)^2$ ? x^2-6x+9
2. On a $x + 3 = x^2 - 6x + 9$ . Ramène tous les termes dans un membre et écris l'équation entière sous la forme $x^2 + bx + c = 0$ . x^2-7x+6=0
3. Factorise : $x^2 - 7x + 6 = (x - ?)(x - ?)$ . Quels sont les deux nombres ? 6,1
4. Vérifie $x = 6$ : Est-ce que $\sqrt{6+3} = 6-3$ ? Combien vaut $\sqrt{9}$ ? 3
5. Vérifie $x = 1$ : le membre de gauche vaut $\sqrt{1+3} = 2$ . Combien vaut le membre de droite, $1 - 3$ ? -2
13.
Résous : $\sqrt{2x + 5} = x - 5$ . Combien de solutions valides y a-t-il ?
1. a)Aucune
2. b)Une : $x = 10$
3. c)Une : $x = 2$
4. d)Deux : $x = 10$ et $x = 2$
Réponse: Une : $x = 10$
Au carré : $2x + 5 = x^2 - 10x + 25$ . Réorganise : $x^2 - 12x + 20 = 0$ . Factorise : $(x-10)(x-2) = 0$ . Vérifie $x = 10$ : $\sqrt{25} = 5 = 10-5$ ✓. Vérifie $x = 2$ : $\sqrt{9} = 3$ mais $2-5 = -3$ ✗. Seul $x = 10$ est valide.
14.
Résous : $\sqrt{x - 1} = x - 7$
Réponse: 10
1. Avant d'élever au carré : $x - 7 \geq 0$ est requis. Quelle est la valeur minimale de $x$ ? 7
2. Élève au carré. Que donne $(x-7)^2$ ? x^2-14x+49
3. On a $x - 1 = x^2 - 14x + 49$ . Ramène tous les termes dans un membre et écris l'équation entière sous la forme $x^2 + bx + c = 0$ . x^2-15x+50=0
4. Factorise : $(x-10)(x-5) = 0$ . Quelle solution satisfait $x \geq 7$ ? 10
5. Vérifie $x = 10$ : $\sqrt{10-1} = \sqrt{9} = ?$ 3
15.
Résous : $\sqrt{x + 2} + 4 = x$ . Entre toutes les solutions valides.
Réponse: 7
Isoler : $\sqrt{x + 2} = x - 4$ . Au carré : $x + 2 = x^2 - 8x + 16$ . On regroupe : $x^2 - 9x + 14 = 0$ . Factorise : $(x - 7)(x - 2) = 0$ , donc $x = 7$ ou $x = 2$ . Vérifie $x = 7$ : $\sqrt{9} + 4 = 3 + 4 = 7$ ✓. Vérifie $x = 2$ : $\sqrt{4} + 4 = 6 \neq 2$ ✗. Seul $x = 7$ est valide.
16.
Un pendule a une période $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9{,}8}}$ secondes. Si la période est de 2 secondes, trouve la longueur $L$ en mètres (arrondis au dixième).
Réponse: 1.0
1. Remplace $T$ par 2 : $2 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9{,}8}}$ . Divise les deux membres par $2\pi$ . Combien vaut $\sqrt{\frac{L}{9{,}8}}$ , arrondi au millième ? 0.318
2. Élève les deux membres au carré. Combien vaut $\frac{L}{9{,}8}$ , arrondi au millième ? 0.101
3. Multiplie par 9,8. Combien vaut $L$ environ ? ( $\pi^2 \approx 9{,}87$ ) 1.0