Fractions complexes

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Lequel des suivants est une fraction complexe ?
1. a) $\frac{3}{4}$
2. b) $3 + \frac{1}{2}$
3. c) $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$
4. d) $\frac{5}{x}$
Réponse: $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$
$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$ est une fraction complexe car le numérateur ( $\frac{1}{2}$ ) et le dénominateur ( $\frac{3}{4}$ ) sont des fractions.
2.
Simplifie : $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}$
Réponse: 2
$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{2} = 2$
3.
Simplifie : $\frac{\frac{3}{5}}{\frac{9}{10}}$
1. a) $\frac{3}{2}$
2. b) $\frac{27}{50}$
3. c) $\frac{2}{3}$
4. d) $\frac{1}{3}$
Réponse: $\frac{2}{3}$
$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{9}{10}} = \frac{3}{5} \times \frac{10}{9} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$
4.
Simplifie : $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}}$
Réponse: 3/2
1. Quel est l'inverse de $\frac{4}{9}$ ? 9/4
2. Multiplie : $\frac{2}{3} \times \frac{9}{4}$ = ? 18/12
3. $\frac{18}{12}$ sous forme irréductible est $\frac{\square}{2}$ . Quel nombre va dans la case ? 3
5.
Simplifie : $\frac{6}{\frac{3}{4}}$
Réponse: 8
$\frac{6}{\frac{3}{4}} = 6 \times \frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8$
6.
Simplifie : $\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}$
Réponse: 1
1. D'abord, additionne les fractions au numérateur. $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ = ? 3/4
2. Maintenant simplifie $\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}}$ 1
7.
Simplifie : $\frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}$
1. a) $\frac{2}{3}$
2. b) $1$
3. c) $\frac{1}{3}$
4. d) $\frac{1}{6}$
Réponse: $\frac{1}{3}$
$\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ , puis $\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
8.
Calcule la valeur : $\frac{\frac{2}{5}}{\frac{1}{5} + \frac{1}{10}}$
Réponse: 4/3
$\frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$ . Puis $\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{10}} = \frac{2}{5} \times \frac{10}{3} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$
9.
Simplifie en utilisant la méthode du PPCM : $\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}$
Réponse: 5
1. Quel est le PPCM de 2, 3 et 6 ? 6
2. Multiplie le numérateur par 6 : $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \cdot 6$ = ? 5
3. Multiplie le dénominateur par 6 : $\frac{1}{6} \cdot 6$ = ? 1
4. Réponse finale : $\frac{5}{1}$ = ? 5
10.
Simplifie : $\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x}{4}}$
1. a) $\frac{1}{2}$
2. b) $\frac{x}{2}$
3. c) $2$
4. d) $\frac{x^2}{8}$
Réponse: $2$
$\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x}{4}} = \frac{x}{2} \times \frac{4}{x} = \frac{4x}{2x} = 2$ (où $x \neq 0$ )
11.
Simplifie : $\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$
Réponse: (x+1)/(x-1)
1. Quel est le PPCM de tous les dénominateurs dans cette expression ? x
2. Multiplie le numérateur par $x$ : $(1 + \frac{1}{x}) \cdot x$ = ? x+1
3. Multiplie le dénominateur par $x$ : $(1 - \frac{1}{x}) \cdot x$ = ? x-1
4. Le résultat est $\frac{x+1}{x-1}$ . En plus de $x = 0$ , quelle valeur de $x$ est interdite ? 1
12.
Écris $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{\frac{1}{xy}}$ (avec $x, y \neq 0$ ) sans aucune fraction. Le résultat est $y - \square$ . Que mets-tu dans la case ?
Réponse: x
Multiplie par $xy$ : $\frac{\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right) \cdot xy}{\frac{1}{xy} \cdot xy} = \frac{y - x}{1} = y - x$ , donc la case contient $x$ .
13.
Simplifie : $\frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{\frac{3}{x}}$
1. a) $\frac{2x + 1}{3x}$
2. b) $\frac{2x - 1}{3x}$
3. c) $\frac{1}{3}$
4. d) $\frac{2 - x}{3}$
Réponse: $\frac{2x - 1}{3x}$
Multiplie par $x^2$ : Numérateur : $\frac{2}{x} \cdot x^2 - \frac{1}{x^2} \cdot x^2 = 2x - 1$ . Dénominateur : $\frac{3}{x} \cdot x^2 = 3x$ . Réponse : $\frac{2x - 1}{3x}$
14.
Deux résistances de 6 ohms et 12 ohms sont en parallèle. Trouve la résistance totale en utilisant $R_T = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}$
Réponse: 4
1. Que vaut $\frac{1}{6}$ comme fraction avec dénominateur 12 ? 2/12
2. Additionne $\frac{2}{12} + \frac{1}{12}$ = ? 3/12
3. $\frac{3}{12}$ sous forme irréductible est $\frac{1}{\square}$ . Quel nombre va dans la case ? 4
4. Trouve $\frac{1}{\frac{1}{4}}$ = ? 4
15.
Écris $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{a^2}{b^2}}$ (avec $a, b \neq 0$ ) sous la forme d'une seule fraction. Le résultat est $\frac{b}{\square}$ . Que mets-tu dans la case ?
Réponse: a
$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{a^2}{b^2}} = \frac{a}{b} \times \frac{b^2}{a^2} = \frac{ab^2}{ba^2} = \frac{b}{a}$ (où $a, b \neq 0$ )
16.
Simplifie : $\frac{\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1}}{\frac{2}{x^2-1}}$
Réponse: x
1. Note que $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$ . Quel est le PPCM ? Écris-le comme un produit de deux facteurs, par exemple (x+2)(x-3). (x+1)(x-1)
2. Additionne les fractions au numérateur avec PPCM $(x+1)(x-1)$ : $\frac{(x-1) + (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{\square}{(x+1)(x-1)}$ . Que mets-tu dans la case ? 2x
3. Maintenant divise : $\frac{\frac{2x}{x^2-1}}{\frac{2}{x^2-1}}$ = ? x