Multiplication des expressions rationnelles

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Que vaut $\frac{2}{3} \times \frac{5}{7}$ ?
1. a) $\frac{10}{21}$
2. b) $\frac{7}{10}$
3. c) $\frac{10}{10}$
4. d) $\frac{35}{6}$
Réponse: $\frac{10}{21}$
$\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{2 \times 5}{3 \times 7} = \frac{10}{21}$
2.
Simplifie : $\frac{4x}{5} \times \frac{10}{8x}$ . Entre ta réponse comme fraction simplifiée.
Réponse: 1
$\frac{4x}{5} \times \frac{10}{8x} = \frac{40x}{40x} = 1$ (où $x \neq 0$ )
3.
Quelle valeur de $x$ rendrait $\frac{3}{x-2}$ indéfini ?
1. a) $x = 0$
2. b) $x = 3$
3. c) $x = 2$
4. d) $x = -2$
Réponse: $x = 2$
Quand $x = 2$ , le dénominateur $x - 2 = 0$ , ce qui rend l'expression indéfinie.
4.
Simplifie : $\frac{6a}{7} \times \frac{14}{9a}$ . Entre comme fraction simplifiée (ex. 2/3).
Réponse: 4/3
$\frac{6a}{7} \times \frac{14}{9a} = \frac{84a}{63a} = \frac{84}{63} = \frac{4}{3}$ (où $a \neq 0$ )
5.
Simplifie : $\frac{x+3}{x-2} \times \frac{x-2}{x+5}$
Réponse: (x+3)/(x+5)
1. Écris le produit comme une seule fraction. Quel est le numérateur ? (x+3)(x-2)
2. Quel est le dénominateur ? (x-2)(x+5)
3. Quel facteur commun apparaît au numérateur et au dénominateur ? x-2
4. Après annulation, quelle est l'expression simplifiée ? (x+3)/(x+5)
6.
Que vaut $\frac{x^2-9}{x+4} \times \frac{x+4}{x-3}$ sous forme simplifiée ?
1. a) $x^2-9$
2. b) $\frac{x+3}{x-3}$
3. c) $x+3$
4. d) $x-3$
Réponse: $x+3$
$\frac{x^2-9}{x+4} \times \frac{x+4}{x-3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+4} \times \frac{x+4}{x-3} = \frac{(x+3)\cancel{(x-3)}\cancel{(x+4)}}{\cancel{(x+4)}\cancel{(x-3)}} = x+3$
7.
Simplifie : $\frac{2x}{x+1} \times \frac{x+1}{6x^2}$ . Entre comme fraction simplifiée.
Réponse: 1/(3x)
$\frac{2x}{x+1} \times \frac{x+1}{6x^2} = \frac{2x \cdot (x+1)}{(x+1) \cdot 6x^2} = \frac{2x}{6x^2} = \frac{1}{3x}$ où $x \neq 0, -1$
8.
Simplifie : $\frac{x^2-4}{x+5} \times \frac{x^2+5x}{x+2}$
Réponse: x(x-2)
1. Factorise $x^2-4$ (différence de carrés) (x+2)(x-2)
2. Factorise $x^2+5x$ (facteur commun) x(x+5)
3. Après factorisation, quels facteurs s'annulent ? (x+2) et (x+5)
4. Quelle est l'expression finale simplifiée ? x(x-2)
9.
Quelles sont les restrictions sur $x$ pour $\frac{x-1}{x+2} \times \frac{x+3}{x-4}$ ?
1. a) $x \neq -2, 4$
2. b) $x \neq -2, 4, 1, -3$
3. c) $x \neq 1, -3$
4. d) $x \neq 2, -4$
Réponse: $x \neq -2, 4$
Les dénominateurs sont $x+2$ et $x-4$ . En les égalant à zéro : $x+2=0 \Rightarrow x=-2$ et $x-4=0 \Rightarrow x=4$ . Donc $x \neq -2, 4$ .
10.
Simplifie : $\frac{x^2-1}{x+3} \times \frac{x+3}{x+1}$ . Entre ta réponse.
Réponse: x-1
$\frac{(x+1)(x-1)}{x+3} \times \frac{x+3}{x+1} = \frac{\cancel{(x+1)}(x-1)\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x+3)}\cancel{(x+1)}} = x-1$ où $x \neq -3, -1$
11.
Simplifie : $\frac{x^2-x-6}{x^2-9} \times \frac{x^2+3x}{x+2}$
Réponse: x
1. Factorise $x^2-x-6$ (trinôme) (x-3)(x+2)
2. Factorise $x^2-9$ (différence de carrés) (x+3)(x-3)
3. Factorise $x^2+3x$ (facteur commun) x(x+3)
4. Quels trois facteurs s'annulent ? (x-3), (x+3), (x+2)
5. Quelle est la réponse finale ? x
12.
Simplifie : $\frac{3x}{x^2-4} \times \frac{x+2}{6} \times \frac{x-2}{x}$
1. a) $\frac{3}{2}$
2. b) $1$
3. c) $\frac{1}{2}$
4. d) $\frac{x}{2}$
Réponse: $\frac{1}{2}$
$\frac{3x}{(x+2)(x-2)} \times \frac{x+2}{6} \times \frac{x-2}{x} = \frac{\cancel{3}\cancel{x}\cancel{(x+2)}\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x+2)}\cancel{(x-2)} \cdot \cancel{6}^2 \cdot \cancel{x}} = \frac{1}{2}$
13.
Simplifie : $\frac{x^2+5x+6}{x^2-4} \times \frac{x-2}{x+3}$ . Entre ta réponse comme expression simplifiée.
Réponse: 1
$\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-2)} \times \frac{x-2}{x+3} = \frac{\cancel{(x+2)}\cancel{(x+3)}\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x+2)}\cancel{(x-2)}\cancel{(x+3)}} = 1$ où $x \neq \pm 2, -3$
14.
Simplifie : $\frac{2x^2-8}{x^2+4x+3} \times \frac{x+3}{x-2}$
Réponse: 2(x+2)/(x+1)
1. Factorise $2x^2-8$ complètement (factorise 2 d'abord) 2(x+2)(x-2)
2. Factorise $x^2+4x+3$ (x+1)(x+3)
3. Quels facteurs s'annulent ? (x-2) et (x+3)
4. Quelle est l'expression finale simplifiée ? 2(x+2)/(x+1)
15.
Quelles sont TOUTES les restrictions pour $\frac{x^2-1}{x^2-4} \times \frac{x+2}{x-1}$ ?
1. a) $x \neq 1, -1, 2, -2$
2. b) $x \neq -2, 2$
3. c) $x \neq -2, 2, 1, -1$
4. d) $x \neq -2, 2, 1$
Réponse: $x \neq -2, 2, 1$
Les dénominateurs sont $x^2-4=(x+2)(x-2)$ et $x-1$ . En égalant chaque facteur à zéro : $x \neq 2, -2, 1$ . Note : $x=-1$ vient du numérateur et ne crée pas de restriction.
16.
Simplifie : $\frac{5}{x} \times \frac{x^2}{10}$
Réponse: x/2
1. Multiplie les numérateurs : $5 \times x^2 =$ ? 5x^2
2. Multiplie les dénominateurs : $x \times 10 =$ ? 10x
3. Simplifie $\frac{5x^2}{10x}$ en annulant $5$ et $x$ x/2