Similitude AA

Apprends comment deux triangles sont semblables quand ils partagent deux paires d'angles congrus.

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Définition

Le critère de similitude AA (Angle-Angle) établit que si deux angles d'un triangle sont congrus à deux angles d'un autre triangle, alors les triangles sont semblables.
Pourquoi seulement deux angles ? Parce que si deux angles sont égaux, le troisième angle doit aussi être égal !
Si ∠A=∠D et ∠B=∠E, alors △ABC∼△DEF\text{Si } \angle A = \angle D \text{ et } \angle B = \angle E, \text{ alors } \triangle ABC \sim \triangle DEF
Les triangles semblables ont :
  • La même forme (tous les angles correspondants sont égaux)
  • Des côtés proportionnels (les rapports des côtés correspondants sont égaux)

Essaie tout de suite

Que signifie AA dans la similitude AA ?

Exemples résolus

Dans le triangle ABC, ∠A=50°\angle A = 50° et ∠B=70°\angle B = 70°. Dans le triangle DEF, ∠D=50°\angle D = 50° et ∠E=70°\angle E = 70°. Ces triangles sont-ils semblables ?
1

Compare la première paire d'angles

∠A=50°\angle A = 50° et ∠D=50°\angle D = 50° → ∠A≅∠D\angle A \cong \angle D ✓
2

Compare la deuxième paire d'angles

∠B=70°\angle B = 70° et ∠E=70°\angle E = 70° → ∠B≅∠E\angle B \cong \angle E ✓
3

Applique le critère de similitude AA

Deux paires d'angles congrus trouvées → △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

Erreurs courantes

Associer les angles dans le mauvais ordre (par ex., écrire △ABC∼△FDE\triangle ABC \sim \triangle FDE)

Pourquoi c'est faux: L'ordre des lettres est important ! Il indique quels angles se correspondent. ∠A\angle A correspond à la première lettre, ∠B\angle B à la deuxième, etc.

Correct: Écris toujours les énoncés de similitude avec les sommets correspondants dans le même ordre : si ∠A=∠D\angle A = \angle D, ∠B=∠E\angle B = \angle E, alors écris △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF.

Penser qu'il faut vérifier les trois angles

Pourquoi c'est faux: Comme la somme des angles de tout triangle est 180°180°, si deux paires sont égales, la troisième paire doit aussi être égale.

Correct: La similitude AA ne requiert que DEUX paires d'angles congrus. Le troisième angle est automatiquement congru.

Confondre similitude et congruence

Pourquoi c'est faux: Les triangles semblables ont la même forme mais pas nécessairement la même taille. Les triangles congrus ont à la fois la même forme ET la même taille.

Correct: AA prouve la SIMILITUDE (même forme, côtés proportionnels), pas la congruence.

Visuel interactif

Triangles semblables

ABCDEF△ABC ∼ △DEF

AADeux paires d'angles sont égales, donc la troisième aussi.

  • ∠A = ∠D = 50°
  • ∠B = ∠E = 70°

Déplace le curseur pour changer le rapport k. Les angles restent les mêmes, chaque côté est multiplié par k.

Explorateur d'angles

12345678
∠1 = 110°∠2 = 70°∠3 = 70°∠4 = 110°∠5 = 110°∠6 = 70°∠7 = 70°∠8 = 110°

Les angles correspondants sont à la même place à chaque intersection. Avec des droites parallèles, ils sont égaux.

Fais glisser le point bleu pour incliner la sécante. Choisis un type de paire, ou touche deux numéros d'angles pour voir leur lien.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Que signifie AA dans la similitude AA ?

Pourquoi c'est important

La similitude AA est l'un des outils les plus pratiques en géométrie car :
  • Architecture : Les architectes utilisent des triangles semblables pour mettre à l'échelle des plans vers des bâtiments réels
  • Photographie : Les objectifs d'appareil photo créent des triangles semblables pour faire la mise au point
  • Navigation : Les marins et pilotes utilisent des triangles semblables pour calculer des distances
  • Art : Les artistes utilisent des triangles semblables pour dessiner en perspective
La beauté de la similitude AA est que tu n'as besoin de mesurer que des angles, pas des côtés, pour prouver que des triangles sont semblables !

Applications dans le monde réel

Mesurer la hauteur d'un bâtiment

Tu peux trouver la hauteur d'un bâtiment en utilisant ton ombre et l'ombre du bâtiment.

Exemple:

Une personne de 2 mètres projette une ombre de 3 mètres au même moment où un bâtiment projette une ombre de 45 mètres. Par similitude AA (le même angle du soleil crée des triangles semblables), la hauteur du bâtiment est (2×45)÷3=30(2 \times 45) \div 3 = 30 mètres.

1Essaie par toi-même

Un mât de drapeau projette une ombre de 12 mètres. Au même moment, un bâton de 1,5 mètre projette une ombre de 2 mètres.

Quelle est la hauteur du mât de drapeau ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Établis la proportion avec des triangles semblables :

Mise à l'échelle de cartes

Les cartes utilisent des triangles semblables pour représenter des distances réelles. Un triangle dessiné sur une carte est semblable au triangle réel formé par les lieux.

Exemple:

Sur une carte, trois villes forment un triangle avec des angles de 40°40°, 60°60° et 80°80°. Le triangle réel formé par ces villes a les mêmes angles, ce qui rend les triangles semblables par AA.

2Essaie par toi-même

Sur une carte, deux villes sont distantes de 5 cm. L'échelle de la carte est 1 cm = 20 km.

Quelle est la distance réelle entre les villes ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise le rapport d'échelle :

Points clés

  • 1Critère de similitude AA : Deux triangles sont semblables si deux paires d'angles correspondants sont congrus
  • 2Tu n'as besoin de vérifier que DEUX angles car le troisième est déterminé par la somme de 180°180°
  • 3Les triangles semblables ont des angles correspondants égaux et des côtés correspondants proportionnels
  • 4Écris les énoncés de similitude avec les sommets dans l'ordre correspondant : △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF
  • 5Des droites parallèles coupant un triangle créent des triangles semblables plus petits

Questions fréquentes

Parce que tu n'as besoin de vérifier que deux angles ! Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre, les troisièmes angles sont automatiquement égaux (puisque tous les triangles ont une somme d'angles de 180°180°).
Parce que tu n'as besoin de vérifier que deux angles ! Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre, les troisièmes angles sont automatiquement égaux (puisque tous les triangles ont une somme d'angles de 180°180°).
Non. AA ne prouve que la similitude (même forme). Deux triangles avec les mêmes angles peuvent avoir des tailles différentes. Pour prouver la congruence, tu as aussi besoin d'informations sur les longueurs des côtés.
Oui ! L'ordre indique quels sommets se correspondent. Si △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, alors ∠A=∠D\angle A = \angle D, ∠B=∠E\angle B = \angle E et ∠C=∠F\angle C = \angle F.

Glossaire

Similitude AA
Un critère établissant que si deux angles d'un triangle sont congrus à deux angles d'un autre triangle, les triangles sont semblables
Triangles semblables
Triangles ayant des angles correspondants égaux et des côtés correspondants proportionnels (même forme, taille différente)
Angles congrus
Angles qui ont la même mesure
Angles correspondants
Angles situés à la même position dans des figures semblables ou congruentes
Défi du jourUn problème, trois essais

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