Introduction à la similitude

Apprends ce que signifie que deux formes soient semblables et comment identifier les figures semblables à l'aide de côtés proportionnels et d'angles égaux.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Deux formes sont semblables si elles ont la même forme mais pas nécessairement la même taille. Les figures semblables ont :
  1. 1.Des angles correspondants égaux - Tous les angles correspondants sont exactement égaux
  2. 2.Des côtés correspondants proportionnels - Tous les côtés correspondants ont le même rapport
Nous utilisons le symbole ∼\sim pour montrer la similitude. Si le triangle ABCABC est semblable au triangle DEFDEF, nous écrivons :
△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF
Le rapport d'agrandissement (ou facteur d'échelle) est le rapport entre les côtés correspondants de figures semblables. Si chaque côté de la figure B est deux fois plus long que le côté correspondant de la figure A, le rapport d'agrandissement est 22.

Essaie tout de suite

Tous les carrés sont-ils semblables entre eux ?

Exemples résolus

Le triangle ABCABC a des angles de 50°50°, 60°60° et 70°70°. Le triangle DEFDEF a des angles de 50°50°, 60°60° et 70°70°. Sont-ils semblables ?
1

Compare les angles correspondants

Angle A = 50°50° = Angle D Angle B = 60°60° = Angle E Angle C = 70°70° = Angle F → Tous les angles correspondent
2

Applique le critère AA (Angle-Angle)

Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle, ils sont semblables → Critère AA satisfait
3

Énonce la conclusion

Puisque tous les angles correspondants sont égaux, les triangles sont semblables → △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

Erreurs courantes

Confondre semblable avec congruent

Pourquoi c'est faux: Les figures congruentes ont exactement la même taille ET la même forme. Les figures semblables doivent seulement avoir la même forme - elles peuvent être de tailles différentes.

Correct: Toutes les figures congruentes sont semblables (avec un rapport de 1), mais les figures semblables ne sont pas nécessairement congruentes.

Associer incorrectement les côtés lors de la comparaison de figures

Pourquoi c'est faux: Tu dois associer les côtés qui sont dans la même position par rapport aux angles, pas seulement les côtés de même longueur.

Correct: Identifie toujours d'abord les angles correspondants, puis associe les côtés qui sont opposés à ces angles.

Utiliser la mauvaise direction du rapport d'agrandissement

Pourquoi c'est faux: Le rapport dépend de quelle figure tu pars. De petit à grand donne un facteur > 1, de grand à petit donne un facteur < 1.

Correct: Clarifie toujours : 'Rapport de la figure A à la figure B.' Si AA est plus petite, le rapport sera supérieur à 1.

Visuel interactif

Triangles semblables

81210PQR121815STU△PQR ∼ △STU

CCCLes trois paires de côtés sont proportionnelles, de rapport k.

  • ST : PQ = 12 : 8 = 1,5
  • TU : QR = 18 : 12 = 1,5
  • US : RP = 15 : 10 = 1,5

Déplace le curseur pour changer le rapport k. Les angles restent les mêmes, chaque côté est multiplié par k.

Grille de transformation

T(3, 2)
-10-10-8-8-6-6-4-4-2-2224466881010xy(2, 1)(4, 1)(3, 4)(5, 3)(7, 3)(6, 6)
OriginalTransformé

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Deux figures sont semblables si elles ont :

Pourquoi c'est important

La similitude est l'un des concepts les plus utiles en géométrie et apparaît partout :
  • Architecture : Les architectes créent des maquettes à l'échelle des bâtiments avant la construction
  • Cartes : Une carte est une figure semblable au terrain réel qu'elle représente
  • Photographie : Agrandir ou réduire une photo crée une image semblable
  • Art : Les artistes utilisent la similitude pour créer profondeur et perspective
  • Ingénierie : Les ingénieurs testent des modèles semblables plus petits avant de construire des structures en taille réelle
Comprendre la similitude t'aide à travailler avec les proportions, prédire des mesures et résoudre des problèmes réels impliquant l'échelle !

Applications dans le monde réel

Maquettes à l'échelle en architecture

Les architectes construisent des maquettes à l'échelle de bâtiments pour montrer aux clients et tester les designs avant la construction.

Exemple:

Une maquette à l'échelle 1:100 signifie que chaque 1 cm sur la maquette représente 100 cm (1 mètre) sur le bâtiment réel. Un bâtiment de 50 mètres de haut serait de 50 cm dans la maquette.

1Essaie par toi-même

Un architecte fait une maquette d'une maison à l'échelle 1:50. La maquette mesure 30 cm de long.

Quelle est la longueur de la maison réelle ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : 30×5030 \times 50

Lecture de cartes

Les cartes sont des figures semblables au terrain réel qu'elles représentent, utilisant une échelle pour convertir les distances.

Exemple:

Sur une carte à l'échelle 1:25000, 4 cm sur la carte représentent 4 × 25000 = 100000 cm = 1 km de distance réelle.

2Essaie par toi-même

Sur une carte, deux villes sont distantes de 8 cm. L'échelle de la carte est 1:500000.

Quelle est la distance réelle entre les villes en kilomètres ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : 8×5000008 \times 500000

Points clés

  • 1Les figures semblables ont la même forme mais pas nécessairement la même taille
  • 2Pour que des figures soient semblables : les angles correspondants doivent être égaux ET les côtés correspondants doivent être proportionnels
  • 3Le rapport d'agrandissement est le rapport entre les côtés correspondants de figures semblables
  • 4Tu peux trouver les côtés manquants dans des figures semblables en utilisant des proportions ou le rapport d'agrandissement
  • 5Symbole de la similitude : ∼\sim (ex. △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF)

Questions fréquentes

Les figures congruentes ont exactement la même taille ET la même forme (rapport = 1). Les figures semblables ont la même forme mais peuvent être de tailles différentes. Toutes les figures congruentes sont semblables, mais toutes les figures semblables ne sont pas congruentes.
Les figures congruentes ont exactement la même taille ET la même forme (rapport = 1). Les figures semblables ont la même forme mais peuvent être de tailles différentes. Toutes les figures congruentes sont semblables, mais toutes les figures semblables ne sont pas congruentes.
Oui ! Quand la deuxième figure est plus petite que la première, le rapport est inférieur à 1. Par exemple, si la figure B fait la moitié de la taille de la figure A, le rapport de A à B est 0,50{,}5 ou 12\frac{1}{2}.
Oui ! Tous les carrés ont quatre angles droits (90°) et quatre côtés égaux. Puisque les angles correspondent et les côtés sont proportionnels (tous multipliés par le même rapport), tous les carrés sont semblables entre eux.

Glossaire

Figures semblables
Figures qui ont la même forme mais pas nécessairement la même taille
Angles correspondants
Angles dans la même position dans des figures semblables
Côtés correspondants
Côtés dans la même position dans des figures semblables
Rapport d'agrandissement
Le rapport entre les côtés correspondants de figures semblables
Proportionnel
Ayant le même rapport
Défi du jourUn problème, trois essais

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