Symétrie des polygones

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle figure a exactement $2$ axes de symétrie et une symétrie de rotation d'ordre $2$ ?
1. a)Cerf-volant
2. b)Hexagone régulier
3. c)Rectangle
4. d)Carré
Réponse: Rectangle
Un rectangle a $2$ axes de symétrie (par les milieux de côtés opposés) et un ordre $2$ . Un carré a $4$ et $4$ , un cerf-volant $1$ et $1$ , un hexagone régulier $6$ et $6$ .
2.
Quelle figure possède une symétrie centrale ?
1. a)Triangle équilatéral
2. b)Trapèze isocèle
3. c)Cerf-volant
4. d)Parallélogramme
Réponse: Parallélogramme
Un parallélogramme se superpose à lui-même après un demi-tour autour du point d'intersection des diagonales : ordre $2$ , donc symétrie centrale. Le triangle équilatéral est d'ordre $3$ (impair), le cerf-volant et le trapèze isocèle d'ordre $1$ .
3.
Par où passent les axes de symétrie d'un pentagone régulier ?
1. a)Un pentagone régulier n'a aucun axe de symétrie
2. b)Chacun par les milieux de deux côtés opposés
3. c)Chacun par deux sommets opposés
4. d)Chacun par un sommet et le milieu du côté opposé
Réponse: Chacun par un sommet et le milieu du côté opposé
Un pentagone régulier a $5$ axes de symétrie. Comme $5$ est impair, chacun passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. Il n'y a ni paire de sommets opposés ni paire de côtés opposés.
4.
Quelle figure a une symétrie de rotation mais aucun axe de symétrie ?
1. a)Cerf-volant
2. b)Rectangle
3. c)Parallélogramme (ni rectangle ni losange)
4. d)Triangle isocèle
Réponse: Parallélogramme (ni rectangle ni losange)
Un parallélogramme (ni rectangle ni losange) est d'ordre $2$ mais n'a aucun axe de symétrie. Le cerf-volant et le triangle isocèle ont $1$ axe et un ordre $1$ , le rectangle a $2$ axes et un ordre $2$ .
5.
Quelle affirmation est toujours vraie ?
1. a)Tout polygone ayant une symétrie centrale a au moins un axe de symétrie
2. b)Une figure avec une symétrie de rotation d'ordre $3$ a une symétrie centrale
3. c)Un polygone régulier à $n$ côtés a une symétrie de rotation d'ordre $n$
4. d)Un cerf-volant a une symétrie de rotation d'ordre $2$
Réponse: Un polygone régulier à $n$ côtés a une symétrie de rotation d'ordre $n$
Un polygone régulier à $n$ côtés se superpose à lui-même après chaque rotation de $\frac{360°}{n}$ , son ordre est donc $n$ . Les autres sont fausses : un parallélogramme a une symétrie centrale mais aucun axe ; l'ordre $3$ est impair, un demi-tour ne convient pas ; un cerf-volant est d'ordre $1$ .
6.
Combien d'axes de symétrie possède un hexagone régulier ?
Réponse: 6
Un hexagone régulier a $6$ axes de symétrie : $3$ par des sommets opposés et $3$ par les milieux de côtés opposés.
7.
Quel est le plus petit angle de rotation d'un triangle équilatéral, en degrés ?
Réponse: 120
Un triangle équilatéral est d'ordre $3$ , donc le plus petit angle vaut $\frac{360°}{3} = 120°$ .
8.
Quel est l'ordre de symétrie de rotation d'un losange qui n'est pas un carré ?
Réponse: 2
Après $90°$ la grande diagonale serait sur la petite, cela ne convient pas. Après $180°$ cela convient, puis après $360°$ : ordre $2$ .
9.
Un polygone régulier se superpose à lui-même après une rotation de $30°$ , et aucune rotation plus petite ne convient. Combien d'axes de symétrie possède-t-il ?
Réponse: 12
L'ordre vaut $\frac{360°}{30°} = 12$ , c'est donc un dodécagone régulier à $12$ côtés et $12$ axes de symétrie.
10.
Un décagone régulier a $10$ axes de symétrie. Combien d'entre eux passent par deux sommets opposés ?
Réponse: 5
$10$ sommets forment $\frac{10}{2} = 5$ paires de sommets opposés, donc $5$ axes passent par deux sommets. Les $5$ autres passent par les milieux de côtés opposés.
11.
Décris la symétrie d'un triangle isocèle qui n'est pas équilatéral.
Réponse: 1
1. Combien d'axes de symétrie a-t-il ? 1
2. Quel est son ordre de symétrie de rotation ? 1
12.
Trouve la symétrie d'un pentagone régulier.
Réponse: 72°
1. Combien d'axes de symétrie ? 5
2. Quel est l'ordre de symétrie de rotation ? 5
3. Quel est le plus petit angle de rotation en degrés ? 72
13.
Un rectangle mesure $8$ cm sur $5$ cm. Trouve sa symétrie.
Réponse: 180°
1. Combien d'axes de symétrie ? 2
2. Quel est l'ordre de symétrie de rotation ? 2
3. Quel est le plus petit angle de rotation en degrés ? 180
14.
Décris les axes de symétrie et la symétrie de rotation d'un dodécagone régulier ( $12$ côtés).
Réponse: 30°
1. Combien d'axes passent par deux sommets opposés ? 6
2. Combien d'axes passent par les milieux de deux côtés opposés ? 6
3. Combien d'axes de symétrie en tout ? 12
4. Quel est le plus petit angle de rotation en degrés ? 30
15.
Étudie la symétrie d'un cerf-volant (qui n'est pas un losange).
Réponse: 0
1. Combien d'axes de symétrie a le cerf-volant ? 1
2. Quel est son ordre de symétrie de rotation ? 1
3. A-t-il une symétrie centrale ? Tape $1$ pour oui, $0$ pour non. 0
16.
Un hexagone régulier tourne de $240°$ autour de son centre. À combien de plus petits pas de rotation cela correspond-il ?
Réponse: 4
1. Quel est l'ordre de symétrie de rotation d'un hexagone régulier ? 6
2. Quel est le plus petit angle de rotation en degrés ? 60
3. Combien de plus petits pas font $240°$ ? 4
17.
Chaque angle intérieur d'un polygone régulier mesure $140°$ . Trouve son nombre d'axes de symétrie et son plus petit angle de rotation.
Réponse: 40°
1. Combien mesure chaque angle extérieur en degrés ? 40
2. Combien de côtés a le polygone ? 9
3. Combien d'axes de symétrie possède-t-il ? 9
4. Quel est le plus petit angle de rotation en degrés ? 40
18.
Tous les axes de symétrie d'un pentagone régulier passent par son centre. Quel est l'angle entre deux axes voisins ?
Réponse: 36°
1. Combien d'axes de symétrie a un pentagone régulier ? 5
2. Chaque axe donne deux demi-droites issues du centre. Combien y a-t-il de demi-droites ? 10
3. Quel est l'angle entre deux demi-droites voisines en degrés ? 36