Guide de l'enseignant: Symétrie des polygones

Trouve les axes de symétrie et la symétrie de rotation des polygones : test du pliage, ordre, plus petit angle de rotation et symétrie centrale.

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Quiz de classe

10 questions sur Polygones. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Repérer et compter les axes de symétrie des polygones avec le test du pliage
Déterminer l'ordre de symétrie de rotation et le plus petit angle de rotation
Reconnaître la symétrie centrale comme une symétrie de rotation d'un demi-tour
Décrire les axes de symétrie des polygones réguliers ayant un nombre impair ou pair de côtés
Comparer la symétrie des quadrilatères et triangles particuliers

Prérequis

• Nommer les polygones selon leur nombre de côtés (Introduction aux polygones, Classer les polygones)
• Propriétés des polygones réguliers : côtés égaux et angles égaux (Polygones réguliers)
• Angles extérieurs des polygones réguliers : $\frac{360°}{n}$ (Angles extérieurs des polygones)
• Types de quadrilatères et de triangles

Amorces de discussion

1. Pourquoi un rectangle n'a-t-il que 2 axes de symétrie alors qu'un carré en a 4 ?
2. Peux-tu dessiner une figure qui a une symétrie de rotation mais aucun axe de symétrie ?
3. Pourquoi, à ton avis, les panneaux stop et cédez le passage ont-ils des formes si symétriques ?
4. Trouve un logo qui reste identique après une rotation. Quel est son ordre ?
5. Pourquoi un pentagone régulier n'a-t-il aucun axe qui relie deux de ses sommets ?

Idées reçues courantes

Toute droite qui coupe une figure en deux parties égales est un axe de symétrie

Remédiation: Découpe un rectangle en papier le long d'une diagonale : les deux triangles sont égaux, mais en pliant le long de la diagonale ils ne se superposent pas. Les moitiés doivent être symétriques comme dans un miroir.

Une figure sans symétrie de rotation est d'ordre 0

Remédiation: Fais tourner une figure découpée d'un tour complet de $360°$ : elle se superpose toujours. Le plus petit nombre possible est donc $1$ , et l'ordre $1$ est la façon de dire aucune symétrie de rotation.

La symétrie de rotation va toujours avec des axes de symétrie

Remédiation: Décalque un parallélogramme, fais tourner le calque de $180°$ et montre qu'il se superpose, puis essaie tous les pliages. Ordre $2$ , aucun axe.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Utiliser des figures en papier et de vrais pliages avant le visuel interactif
• Commencer uniquement par le carré, le rectangle et le triangle équilatéral
• Donner du papier calque pour que les élèves fassent tourner la figure et voient quand elle se superpose

Pour les élèves au niveau:

• Compléter le tableau des symétries pour tous les quadrilatères et triangles particuliers
• Calculer le plus petit angle de rotation des polygones réguliers de 3 à 12 côtés
• Remonter d'un angle de rotation au nombre de côtés

Pour les élèves avancés:

• Expliquer pourquoi un polygone ayant au moins un axe de symétrie a un ordre égal à son nombre d'axes
• Trouver l'angle entre deux axes de symétrie voisins d'un polygone régulier à $n$ côtés ( $\frac{180°}{n}$ )
• Créer un logo d'ordre 4 sans axe de symétrie

Alignement aux standards

4.G.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.4.G.A.3)
Reconnaître un axe de symétrie d'une figure plane comme une droite le long de laquelle on peut plier la figure en deux parties qui se superposent
HSG.CO.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.A.3)
Pour un rectangle, un parallélogramme, un trapèze ou un polygone régulier, décrire les rotations et les symétries qui le transforment en lui-même

Ressources de la leçon

visualExplorateur de symétrie
Les élèves choisissent une figure, affichent ses axes de symétrie et la font tourner pas à pas pour trouver l'ordre
activityPlier et tourner
Les élèves découpent des polygones en papier, les plient pour trouver les axes de symétrie et les décalquent pour tester les rotations
worksheetTableau des symétries
Compléter axes de symétrie, ordre et plus petit angle pour les quadrilatères, les triangles et les polygones réguliers

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un polygone possède une symétrie lorsqu'un mouvement (un pliage ou une rotation) le replace exactement sur lui-même.

1. Symétrie axiale

Un axe de symétrie partage une figure en deux moitiés qui sont l'image l'une de l'autre dans un miroir. Test du pliage : si tu plies la figure le long de la droite et que les deux moitiés se superposent parfaitement, la droite est un axe de symétrie.

2. Symétrie de rotation

Une figure possède une symétrie de rotation lorsqu'elle est exactement identique après une rotation de moins de

360°

autour de son centre.

L'ordre de symétrie de rotation est le nombre de fois où la figure se superpose à elle-même pendant un tour complet (le tour complet compte).
Ordre 1 signifie que la figure ne se superpose qu'après le tour complet de $360°$ : elle n'a pas de symétrie de rotation.
Le plus petit angle de rotation est

\text{plus petit angle} = \frac{360°}{\text{ordre}}

3. Symétrie centrale

Une figure possède une symétrie centrale lorsqu'un demi-tour (

180°

) autour de son centre la replace sur elle-même. C'est une symétrie de rotation d'ordre pair (2, 4, 6, ...).

Polygones réguliers : un polygone régulier à

n

côtés a exactement

n

axes de symétrie et une symétrie de rotation d'ordre

n

, donc son plus petit angle de rotation est

\frac{360°}{n}

$n$ impair (triangle, pentagone) : chaque axe passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.
$n$ pair (carré, hexagone) : $\frac{n}{2}$ axes passent par deux sommets opposés et $\frac{n}{2}$ axes par les milieux de deux côtés opposés.

Figure	Axes de symétrie	Ordre de rotation
Carré	4	4
Rectangle	2	2
Losange	2	2
Parallélogramme	0	2
Cerf-volant	1	1
Trapèze isocèle	1	1
Triangle équilatéral	3	3
Triangle isocèle	1	1
Triangle quelconque	0	1

Exemples résolus

Un rectangle mesure

6

cm sur

4

cm. Combien d'axes de symétrie possède-t-il ?

Plie-le de haut en bas

Le pli passe par les milieux des deux petits côtés. Les deux moitiés mesurent

6

cm sur

2

cm et se superposent. → 1 axe de symétrie

Plie-le de gauche à droite

Le pli passe par les milieux des deux grands côtés. Les deux moitiés mesurent

3

cm sur

4

cm et se superposent. → 2e axe de symétrie

Teste une diagonale

En pliant le long d'une diagonale, un triangle se retourne, mais les sommets ne tombent pas l'un sur l'autre car

6 \neq 4

. → Une diagonale n'est PAS un axe de symétrie

Réponse: Le rectangle a $2$ axes de symétrie, tous deux passant par les milieux de côtés opposés. Les diagonales ne sont pas des axes de symétrie.

Erreurs courantes

Compter les diagonales d'un rectangle comme axes de symétrie

Pourquoi c'est faux: Une diagonale partage le rectangle en deux triangles superposables, mais cela ne suffit pas : les moitiés doivent être symétriques par rapport à la droite.

Correct: Fais le test du pliage. Plié le long d'une diagonale, les sommets d'un rectangle ne se rejoignent pas, il n'a donc que $2$ axes de symétrie.

Donner l'angle au lieu de l'ordre (dire qu'un carré est d'ordre $90$ )

Pourquoi c'est faux: L'ordre et le plus petit angle sont deux nombres différents qui vont ensemble.

Correct: L'ordre compte les superpositions en un tour complet ( $4$ pour un carré) ; l'angle vaut $\frac{360°}{\text{ordre}} = 90°$ .

Penser que toute figure avec une symétrie de rotation a aussi un axe de symétrie

Pourquoi c'est faux: Beaucoup de figures symétriques connues ont les deux, alors on suppose qu'elles vont toujours ensemble.

Correct: Un parallélogramme est d'ordre $2$ mais n'a aucun axe de symétrie. Vérifie toujours pliages et rotations séparément.

Compter deux fois chaque axe de symétrie d'un polygone ayant un nombre pair de côtés

Pourquoi c'est faux: Un axe passant par deux sommets opposés touche deux sommets, alors on le compte à chaque bout.

Correct: Compte des paires : un hexagone régulier a $3$ axes par des sommets opposés et $3$ par des milieux opposés, $6$ au total.

Pourquoi c'est important

La symétrie est l'une des premières choses que notre œil remarque, et les designers l'utilisent exprès :

Panneaux routiers : un panneau stop est un octogone régulier avec 8 axes de symétrie et un ordre 8, il paraît donc correct de tous les côtés.
Logos : beaucoup de logos de marques ont une symétrie de rotation d'ordre 3 ou 4, ce qui les rend équilibrés.
Nature : les flocons de neige ont 6 axes de symétrie et un ordre 6, les fleurs en ont souvent 5.
Roues et enjoliveurs : des rayons identiques régulièrement espacés donnent une symétrie de rotation, la roue reste équilibrée quand elle tourne.

La symétrie est aussi un raccourci en géométrie : si tu sais qu'une figure est symétrique, tu sais quels côtés et quels angles sont égaux sans les mesurer.

Applications dans le monde réel

Panneaux routiers

Un panneau stop est un octogone régulier. Sa symétrie le rend facile à reconnaître, même vu de biais ou légèrement tourné.

Exemple:

Un panneau cédez le passage est un triangle équilatéral : $3$ axes de symétrie et un ordre $3$ , il se superpose donc à lui-même après $\frac{360°}{3} = 120°$ .

1Essaie par toi-même

Une ouvrière fixe un panneau stop (un octogone régulier) sur un poteau qui peut tourner. Elle veut le tourner le moins possible pour qu'il paraisse exactement pareil.

De combien de degrés doit-elle le tourner ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Plus petit angle de rotation d'un octogone régulier :

Enjoliveurs et roues

Les designers de roues répartissent régulièrement des rayons identiques. La roue a alors une symétrie de rotation, ce qui la garde équilibrée quand elle tourne.

Exemple:

Une roue à $4$ rayons identiques est d'ordre $4$ : elle paraît identique tous les $\frac{360°}{4} = 90°$ .

2Essaie par toi-même

Un enjoliveur paraît exactement identique après une rotation de $72°$ , et $72°$ est la plus petite rotation qui convient.

Combien de rayons identiques l'enjoliveur possède-t-il ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Ordre de symétrie de rotation à partir du plus petit angle :

Flocons de neige

Les cristaux de glace poussent dans six directions, donc un flocon de neige a $6$ axes de symétrie et une symétrie de rotation d'ordre $6$, comme un hexagone régulier.

Exemple:

Un flocon se superpose à lui-même après $\frac{360°}{6} = 60°$ , et comme $6$ est pair il a aussi une symétrie centrale.

3Essaie par toi-même

Les $6$ axes de symétrie d'un flocon passent tous par son centre et sont régulièrement espacés. Chaque axe traverse le centre de part en part, il couvre donc un demi-tour ( $180°$ ) de directions.

Quel est l'angle entre deux axes de symétrie voisins ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Partage le demi-tour entre les 6 axes :

Points clés

1Un axe de symétrie partage une figure en deux moitiés symétriques comme dans un miroir (test du pliage)
2L'ordre de symétrie de rotation compte combien de fois une figure se superpose à elle-même en un tour complet ; l'ordre 1 signifie aucune symétrie de rotation
3Plus petit angle de rotation $= \frac{360°}{\text{ordre}}$ , et ordre $= \frac{360°}{\text{plus petit angle}}$
4Symétrie centrale signifie qu'un demi-tour ( $180°$ ) convient : cela arrive exactement quand l'ordre est pair
5Un polygone régulier à $n$ côtés a $n$ axes de symétrie et un ordre $n$
6Quadrilatères : carré 4 et 4, rectangle et losange 2 et 2, parallélogramme 0 et 2, cerf-volant et trapèze isocèle 1 et 1

Questions fréquentes

Pourquoi dit-on ordre 1 et pas ordre 0 ?

Toute figure se superpose à elle-même après un tour complet de

360°

, donc le nombre de superpositions vaut au moins

1

. L'ordre

1

signifie que seul ce tour complet convient, autrement dit la figure n'a pas de symétrie de rotation.

La symétrie centrale est-elle la même chose que la symétrie de rotation ?

La symétrie centrale est un cas particulier de symétrie de rotation : un demi-tour (

180°

) convient. Une figure d'ordre

2

4

6

la possède. Un triangle équilatéral (ordre

3

) a une symétrie de rotation mais pas de symétrie centrale.

Le nombre d'axes est-il toujours égal à l'ordre ?

Pour un polygone ayant au moins un axe de symétrie, oui : le carré a

4

4

, le cerf-volant

1

1

. Un polygone sans axe peut quand même avoir une symétrie de rotation, comme le parallélogramme d'ordre

2

Combien d'axes de symétrie possède un cercle ?

Une infinité : toute droite passant par le centre est un axe de symétrie, et un cercle se superpose à lui-même après une rotation de n'importe quel angle. Un cercle n'est pas un polygone, il n'apparaît donc pas dans le tableau.

Glossaire

Axe de symétrie: Droite qui partage une figure en deux moitiés qui sont l'image l'une de l'autre dans un miroir.
Symétrie axiale: Une figure a une symétrie axiale si elle possède au moins un axe de symétrie.
Symétrie de rotation: Une figure a une symétrie de rotation si elle paraît identique après une rotation de moins de $360°$ autour de son centre.
Ordre de symétrie de rotation: Nombre de fois où une figure se superpose à elle-même pendant un tour complet. L'ordre $1$ signifie aucune symétrie de rotation.
Angle de rotation: Angle dont on fait tourner une figure. Le plus petit qui convient vaut $\frac{360°}{\text{ordre}}$ .
Symétrie centrale: Une figure a une symétrie centrale si un demi-tour ( $180°$ ) autour de son centre la replace sur elle-même.

Carte des formules

Plus petit angle de rotation

\text{angle} = \frac{360°}{\text{ordre}}

Divise le tour complet par l'ordre de symétrie de rotation

Ordre à partir de l'angle

\text{ordre} = \frac{360°}{\text{angle}}

Utilise-la quand tu connais la plus petite rotation qui convient

Polygone régulier à n côtés

n

axes de symétrie, ordre

n

$n$ impair : chaque axe par un sommet et le milieu opposé ; $n$ pair : la moitié par des sommets, la moitié par des milieux

Symétrie centrale

\text{ordre pair}

Un demi-tour de $180°$ convient exactement quand l'ordre vaut 2, 4, 6, ...

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