Aire de surface des solides composés

Apprends à calculer l'aire de surface de formes 3D complexes créées en combinant ou en soustrayant des solides de base.

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Définition

Un solide composé est une figure 3D créée en combinant deux ou plusieurs solides de base, ou en retirant un solide d'un autre.
Pour trouver l'aire de surface d'un solide composé :
  1. 1.Identifie les solides de base qui composent le solide composé
  2. 2.Calcule l'aire de surface de chaque solide de base
  3. 3.Additionne ou soustrais selon la façon dont les solides sont combinés
  4. 4.Soustrais les faces cachées où les solides se rejoignent
Acomposeˊ=∑Aparties−2×Airefaces cacheˊes\text{A}_{\text{composé}} = \sum \text{A}_{\text{parties}} - 2 \times \text{Aire}_{\text{faces cachées}}
Point clé : Quand deux solides sont joints, les faces où ils se rencontrent deviennent cachées (internes) et doivent être soustraites du total.

Essaie tout de suite

Quand deux cubes sont joints face à face, combien de faces deviennent cachées ?

Exemples résolus

Un bâtiment a une base rectangulaire (8 m×6 m×4 m8 \text{ m} \times 6 \text{ m} \times 4 \text{ m}) avec un dôme hémisphérique (rayon 3 m3 \text{ m}) au sommet. Trouve l'aire de surface totale.
1

Calcule l'aire de surface du parallélépipède

Aparalleˊleˊpipeˋde=2(lw+lh+wh)=2(8×6+8×4+6×4)=2(48+32+24)=2(104)=208 m2\text{A}_{\text{parallélépipède}} = 2(lw + lh + wh) = 2(8 \times 6 + 8 \times 4 + 6 \times 4) = 2(48 + 32 + 24) = 2(104) = 208 \text{ m}^2
2

Calcule l'aire de surface de l'hémisphère (surface courbe seulement)

Aheˊmispheˋre=2πr2=2π(3)2=18π≈56,55 m2\text{A}_{\text{hémisphère}} = 2\pi r^2 = 2\pi(3)^2 = 18\pi \approx 56,55 \text{ m}^2
3

Identifie la face cachée (cercle où le dôme rencontre le toit)

Airecacheˊe=πr2=π(3)2=9π≈28,27 m2\text{Aire}_{\text{cachée}} = \pi r^2 = \pi(3)^2 = 9\pi \approx 28,27 \text{ m}^2
4

Calcule l'aire de surface totale

Atotale=208+18π−9π=208+9π≈208+28,27=236,27 m2\text{A}_{\text{totale}} = 208 + 18\pi - 9\pi = 208 + 9\pi \approx 208 + 28,27 = 236,27 \text{ m}^2 → 208+9π≈236,27 m2208 + 9\pi \approx 236,27 \text{ m}^2

Erreurs courantes

Oublier de soustraire les faces cachées où les solides se connectent

Pourquoi c'est faux: Quand deux solides sont joints, les faces de connexion deviennent internes et ne font plus partie de la surface extérieure.

Correct: Identifie toujours où les solides se rencontrent et soustrais ces aires cachées du total.

Utiliser les formules d'aire de surface complète quand seuls des solides partiels sont utilisés

Pourquoi c'est faux: Un hémisphère n'a pas de base (le cercle plat fait partie de ce à quoi il est attaché). Un cône sur un cylindre n'a pas de base.

Correct: Identifie quelles faces sont réellement exposées. Utilise l'aire latérale quand les bases sont cachées.

Compter deux fois la face cachée

Pourquoi c'est faux: Quand deux solides se joignent, un cercle devient caché, pas deux. Le haut du cylindre et la base du cône sont le même cercle.

Correct: La face cachée apparaît dans les formules des deux solides, mais elle ne doit être soustraite qu'une fois si tu es attentif à la formule utilisée.

Ne pas ajouter la surface intérieure quand un trou est fait

Pourquoi c'est faux: Percer un trou retire de la matière mais expose une nouvelle surface intérieure.

Correct: Quand de la matière est retirée, soustrais la surface extérieure retirée mais ajoute la surface intérieure nouvellement exposée.

Visuel interactif

Solide composé

Volume

  • Pavé droit: V = lwh = 192 unités³
  • + Demi-sphère: V = ⅔πr³ ≈ 56,55 unités³

Volume total: 248,55 unités³

Le volume d'un solide composé est la somme des volumes de ses parties. Un trou est soustrait.

Aire de surface

  • Pavé droit: 208 − 28,27 (faces en contact) ≈ 179,73 unités²
  • + Demi-sphère: 84,82 − 28,27 (faces en contact) ≈ 56,55 unités²

Aire totale: 236,27 unités²

Dans l'aire, seul l'extérieur compte : là où deux parties se touchent, cette face est cachée et disparaît pour les deux parties. Un trou enlève ses ouvertures et ajoute sa paroi intérieure.

Visualiseur 3D

Faces

6

Arêtes

12

Sommets

8

Relation d'Euler: S − A + F = 8 − 12 + 6 = 2

Volume

V = lwh

V = 8 · 6 · 4 = 192

192 unités³

Aire de surface

SA = 2(lw + lh + wh)

SA = 2(8 · 6 + 8 · 4 + 6 · 4) = 208

208 unités²

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Quand deux cubes sont joints face à face, combien de faces deviennent cachées ?

Pourquoi c'est important

Les solides composés sont partout dans le monde réel :
  • Architecture : Les bâtiments combinent cubes, prismes, cylindres et dômes
  • Ingénierie : Les pièces mécaniques ont souvent des trous, encoches ou extensions
  • Design produit : Bouteilles, conteneurs et emballages utilisent des formes combinées
  • Construction : Calcul de peinture ou matériaux pour des structures complexes
Les objets réels sont rarement de simples cubes ou sphères. Comprendre les solides composés te permet de calculer les aires de surface pour des objets réalistes comme des silos avec des toits coniques, des bâtiments avec extensions, ou des pièces avec des trous percés.

Applications dans le monde réel

Architecture et construction

Les architectes calculent les aires de surface composées pour estimer les matériaux pour la peinture, le revêtement ou l'isolation des bâtiments.

Exemple:

Une maison avec un garage attenant : bâtiment principal rectangulaire plus garage rectangulaire moins le mur partagé.

1Essaie par toi-même

Une grange a une base rectangulaire (20 m×10 m×6 m20 \text{ m} \times 10 \text{ m} \times 6 \text{ m}) avec un toit en prisme triangulaire (base du triangle 10 m10 \text{ m}, hauteur 3 m3 \text{ m}, longueur 20 m20 \text{ m}).

Quelle est l'aire de surface extérieure totale à peindre (en excluant le sol) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Réfléchis : murs + toit - dessus caché de la base rectangulaire

Fabrication et design produit

Les ingénieurs calculent les aires de surface pour déterminer les coûts des matériaux, la dissipation thermique ou les exigences de revêtement.

Exemple:

Un boulon se compose d'un cylindre (tige) surmonté d'un prisme hexagonal (tête). L'aire de surface détermine les coûts de placage.

2Essaie par toi-même

Un raccord de tuyau métallique se compose d'un grand cylindre (rayon 8 cm8 \text{ cm}, hauteur 5 cm5 \text{ cm}) avec un plus petit cylindre (rayon 4 cm4 \text{ cm}, hauteur 10 cm10 \text{ cm}) attaché au-dessus.

Quelle surface doit être peinte ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Surface grand cylindre + surface petit cylindre - cercle caché

Emballage et conception de conteneurs

Les designers calculent les aires de surface pour minimiser l'utilisation de matériaux tout en maintenant l'intégrité structurelle.

Exemple:

Une bouteille d'eau avec un corps cylindrique et un fond hémisphérique utilise moins de matériau qu'un design à fond plat.

3Essaie par toi-même

Un cornet de glace se compose d'un cône (rayon 3 cm3 \text{ cm}, apothème 12 cm12 \text{ cm}) surmonté d'une hémisphère de glace (rayon 3 cm3 \text{ cm}).

Quelle est l'aire de surface extérieure totale du cornet rempli ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Aire latérale du cône + aire latérale de l'hémisphère

Points clés

  • 1Les solides composés sont créés en combinant ou soustrayant des solides 3D de base
  • 2Pour trouver l'aire de surface : calcule chaque partie, puis additionne ou soustrais en conséquence
  • 3Là où les solides se joignent, soustrais les faces cachées (internes) du total
  • 4En retirant de la matière (trous) : soustrais la surface retirée mais ajoute la surface intérieure nouvellement exposée
  • 5Identifie toujours quelles faces sont réellement exposées à l'extérieur

Questions fréquentes

Les faces cachées sont là où deux solides se connectent. Imagine séparer les solides - les faces qui se toucheraient sont les cachées. Elles sont internes et ne font pas partie de la surface extérieure.
Les faces cachées sont là où deux solides se connectent. Imagine séparer les solides - les faces qui se toucheraient sont les cachées. Elles sont internes et ne font pas partie de la surface extérieure.
Additionne en combinant des solides (comme empiler), puis soustrais les faces de connexion cachées. En retirant de la matière (comme percer un trou) : soustrais la surface retirée mais ajoute la surface intérieure nouvellement exposée.
Cela dépend des faces exposées. Pour un cône sur un cylindre : utilise l'aire latérale pour le cône (pas de base). Pour un cylindre seul : utilise la formule complète incluant les bases.

Glossaire

Solide composé
Une figure 3D créée en combinant deux ou plusieurs solides de base, ou en retirant un solide d'un autre
Face cachée
Une surface qui devient interne quand deux solides sont joints et ne fait plus partie de l'extérieur
Aire latérale (AL)
L'aire de surface d'un solide 3D excluant ses bases plates ou ses extrémités
Surface extérieure
Toutes les faces d'un solide composé qui sont visibles de l'extérieur

Carte des formules

Principe général

Acomposeˊ=∑Aparties−2×AirecacheˊeA_{composé} = \sum A_{parties} - 2 \times Aire_{cachée}

Additionner toutes les parties, soustraire les faces cachées

Ajouter des solides

A=A1+A2−2×AcontactA = A_1 + A_2 - 2 \times A_{contact}

En joignant, soustraire les deux aires de contact

Retirer de la matière

A=Aoriginal−Aretireˊe+Anouvel inteˊrieurA = A_{original} - A_{retirée} + A_{nouvel\ intérieur}

Pour les trous: enlever extérieur, ajouter intérieur

Défi du jourUn problème, trois essais

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