Guide de l'enseignant: Expressions booléennes

Apprends à écrire et à évaluer des expressions booléennes avec 1 et 0, à appliquer la priorité NON, ET, OU et à construire leur table de vérité complète.

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10 questions sur Logique booléenne. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Écrire des expressions booléennes avec des variables, les valeurs 1 et 0 et les symboles $\land$ , $\lor$ , $\neg$
Appliquer la priorité des opérateurs (parenthèses, NON, ET, OU) pour évaluer une expression pour des entrées données
Expliquer comment les parenthèses changent la valeur d'une expression booléenne
Construire la table de vérité complète d'une expression à 2 ou 3 variables avec $2^n$ lignes
Décider si deux expressions sont équivalentes en comparant leurs tables de vérité

Prérequis

• Les opérations ET, OU et NON et les propositions composées (leçons L'opération ET, L'opération OU, L'opération NON, Propositions booléennes composées)
• Construire des tables de vérité avec des colonnes auxiliaires (leçon Tables de vérité)
• La priorité des opérations en arithmétique et les puissances de 2, comme $2^3 = 8$

Amorces de discussion

1. À ton avis, pourquoi les mathématiciens se sont-ils mis d'accord sur une priorité des opérateurs au lieu de toujours calculer de gauche à droite ?
2. Écris une règle de ton école, par exemple qui peut utiliser la bibliothèque, sous forme d'expression booléenne. Où as-tu besoin de parenthèses ?
3. Si deux expressions sont d'accord pour 7 entrées sur 8, sont-elles équivalentes ? Pourquoi ?
4. Avec 0 et 1, ET fonctionne comme la multiplication. Pourquoi OU ne fonctionne-t-il pas exactement comme l'addition ?

Idées reçues courantes

Les expressions booléennes s'évaluent de gauche à droite

Remédiation: Compare avec $2 + 3 \times 4$ en arithmétique, puis évalue $1 \lor 1 \land 0$ des deux façons. Seul l'ordre NON, ET, OU donne le résultat convenu, et des ordres différents donnent des réponses différentes.

NON devant une variable nie tout le reste de l'expression

Remédiation: Évalue côte à côte $\neg A \land B$ et $\neg(A \land B)$ pour $A = B = 0$ . Les résultats 0 et 1 montrent que, sans parenthèses, NON ne touche que la variable suivante.

Les valeurs peuvent dépasser 1, comme dans $1 \lor 1 = 2$

Remédiation: Rappelle que 1 et 0 sont des étiquettes pour vrai et faux, pas des quantités. Demande : 'vrai OU vrai' est-il plus vrai ? Le résultat reste 1.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des expressions avec un seul opérateur et un NON, avec 2 variables
• Faire réécrire chaque expression avec toutes ses parenthèses avant de l'évaluer
• Utiliser des couleurs : entourer les parties NON d'une couleur, les parties ET d'une autre, et évaluer les couleurs dans l'ordre

Pour les élèves au niveau:

• Évaluer des expressions à 3 variables avec des opérateurs mélangés pour des entrées données
• Construire des tables de vérité complètes avec colonnes auxiliaires pour 2 et 3 variables
• Décider si des paires d'expressions sont équivalentes à partir de leurs tables de vérité

Pour les élèves avancés:

• Trouver une expression dont la table de vérité correspond à une colonne finale donnée
• Traduire des règles d'un programme ou d'un tableur en expressions booléennes et les tester
• Chercher une expression plus courte avec la même table de vérité et la vérifier ligne par ligne

Alignement aux standards

HSA.SSE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.1)
Interpréter des expressions qui représentent une quantité dans son contexte
CCSS.MATH.PRACTICE.MP6 (MP6)
Être précis
CCSS.MATH.PRACTICE.MP7 (MP7)
Chercher et utiliser la structure

Ressources de la leçon

visualTable de vérité interactive
Les élèves remplissent la colonne de résultat pour ET, OU et NON avec 2 variables et vérifient leurs réponses
activityCourse aux parenthèses
Les équipes reçoivent les mêmes entrées et une expression sans parenthèses, puis ajoutent des parenthèses pour changer le résultat et expliquent pourquoi
worksheetÉvaluer et comparer
Des expressions à évaluer pour des entrées données, et des paires d'expressions à comparer avec des tables de vérité complètes

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une expression booléenne est une formule construite avec des variables booléennes (des lettres comme

A

B

C

), les valeurs

1

(vrai) et

0

(faux) et les opérateurs ET (

\land

), OU (

\lor

) et NON (

\neg

). Comme

3 + 4 \times 2

en arithmétique, une expression booléenne a une seule valeur, mais cette valeur est toujours

1

0

Les trois opérateurs avec 1 et 0 :

$\neg A$ inverse la valeur : $\neg 1 = 0$ et $\neg 0 = 1$
$A \land B$ vaut $1$ seulement quand $A$ et $B$ valent tous les deux $1$
$A \lor B$ vaut $1$ quand au moins l'un des deux vaut $1$

Priorité des opérateurs : d'abord les parenthèses, puis NON, puis ET, puis OU.

(\;) \;\to\; \neg \;\to\; \land \;\to\; \lor

Ainsi,

A \lor B \land C

signifie

A \lor (B \land C)

, et

\neg A \land B

signifie

(\neg A) \land B

Exemple : évalue

A \lor B \land \neg C

pour

A = 0

B = 1

C = 0

0 \lor 1 \land \neg 0 = 0 \lor 1 \land 1 = 0 \lor 1 = 1

Une expression à

n

variables a

2^n

combinaisons d'entrées. Sa table de vérité donne la valeur de l'expression pour chacune d'elles, en commençant par la ligne où toutes les variables valent

0

. Deux expressions sont équivalentes quand leurs colonnes finales sont identiques à chaque ligne. (La leçon Tables de vérité commençait plutôt par la ligne où tout est vrai ; tout ordre fixe convient. Les tables de vérité interactives de cette leçon utilisent aussi

1

0

Exemples résolus

Évalue $A \land \neg B$ pour $A = 1$ et $B = 0$ .

Remplacer les variables

Remplace $A$ par $1$ et $B$ par $0$ → $1 \land \neg 0$

D'abord NON

$\neg 0 = 1$ → $1 \land 1$

Ensuite ET

Les deux valeurs valent $1$ , donc ET donne $1$

Réponse: $A \land \neg B = 1$ (vrai) pour $A = 1$ , $B = 0$ .

Erreurs courantes

Calculer de gauche à droite : $1 \lor 0 \land 0 = (1 \lor 0) \land 0 = 0$

Pourquoi c'est faux: ET passe avant OU, comme la multiplication passe avant l'addition. Sans parenthèses, la partie ET se calcule en premier.

Correct: $1 \lor 0 \land 0 = 1 \lor (0 \land 0) = 1 \lor 0 = 1$

Appliquer NON à tout ce qui suit : lire $\neg A \land B$ comme $\neg(A \land B)$

Pourquoi c'est faux: Sans parenthèses, NON s'applique seulement à la variable juste après lui.

Correct: $\neg A \land B = (\neg A) \land B$ . Pour nier tout le ET, écris $\neg(A \land B)$ .

Additionner comme des nombres : $1 \lor 1 = 2$

Pourquoi c'est faux: Une expression booléenne ne peut valoir que $1$ ou $0$ . OU demande si au moins une valeur vaut $1$ , il ne les compte pas.

Correct: $1 \lor 1 = 1$ , $1 \land 1 = 1$ et $\neg 1 = 0$ . Le résultat est toujours $1$ ou $0$ .

Déclarer deux expressions équivalentes après avoir testé seulement une ou deux entrées

Pourquoi c'est faux: $A \land (B \lor C)$ et $A \land B \lor C$ ont la même valeur sur 6 des 8 lignes, et pourtant elles sont différentes.

Correct: Construis la table complète avec $2^n$ lignes et compare chaque ligne. Une ligne différente signifie : pas équivalentes.

Pourquoi c'est important

Les expressions booléennes sont le langage que les ordinateurs utilisent pour prendre des décisions :

Programmation : chaque condition if est une expression booléenne, par exemple (au moins 12 ans ET NON exclu) OU accompagné d'un parent. Si tu oublies les parenthèses, le programme laisse entrer les mauvaises personnes
Recherche et filtres : les boutiques en ligne et les bibliothèques combinent des filtres comme en stock ET (rouge OU bleu)
Tableurs : des fonctions comme ET(), OU() et NON() décident quelles lignes sont mises en couleur
Électronique : chaque puce transforme des expressions booléennes en circuits de portes logiques, comme tu le verras dans la leçon Portes logiques
Jeux et maison connectée : une porte s'ouvre ou une lampe s'allume quand une expression de plusieurs capteurs vaut 1

Si tu connais la priorité des opérateurs et sais construire une table de vérité, tu peux prévoir exactement ce que fait une règle dans chaque situation possible.

Applications dans le monde réel

Les règles d'un programme

Les programmeurs écrivent des règles sous forme d'expressions booléennes et testent chaque combinaison d'entrées avant la mise en ligne du programme.

Exemple:

Un manège de parc d'attractions te laisse monter si $T \land (H \lor P)$ : $T$ = tu as un billet, $H$ = tu es assez grand, $P$ = un parent monte avec toi.

1Essaie par toi-même

La règle est $T \land (H \lor P)$ . Un enfant a un billet ( $T = 1$ ), n'est pas assez grand ( $H = 0$ ) et monte avec un parent ( $P = 1$ ).

Combien de cas de test la règle a-t-elle, et l'enfant peut-il monter ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre de cas de test comme une puissance de 2 :

Les filtres anti-spam

Une messagerie décide grâce à une expression booléenne si un message va dans le dossier spam.

Exemple:

Un filtre classe un e-mail comme spam si $L \lor S \land \neg K$ : $L$ = l'expéditeur est sur une liste noire, $S$ = mots suspects, $K$ = l'expéditeur est dans tes contacts.

2Essaie par toi-même

La règle est $L \lor S \land \neg K$ . Un e-mail d'une amie présente dans tes contacts ( $K = 1$ ) contient un mot suspect ( $S = 1$ ), et l'expéditrice n'est pas sur la liste noire ( $L = 0$ ). Avec 0 et 1, ET fonctionne comme la multiplication et NON comme $1 - x$ .

L'e-mail va-t-il dans les spams ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris $S \land \neg K$ sous forme de calcul :

Les règles de la maison connectée

Deux expressions différentes peuvent commander un appareil exactement de la même façon. Une table de vérité montre quand une règle longue peut être remplacée par une règle courte.

Exemple:

Une lampe de jardin utilise la règle $M \lor M \land N$ : $M$ = mouvement détecté, $N$ = il fait nuit.

3Essaie par toi-même

Une ingénieure veut remplacer la règle $M \lor M \land N$ par la règle plus courte $M$ .

Les deux règles allument-elles toujours la lampe de la même façon ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre de lignes comme une puissance de 2 :

Points clés

1Une expression booléenne combine des variables, les valeurs 1 (vrai) et 0 (faux) et les opérateurs $\land$ , $\lor$ , $\neg$
2La valeur d'une expression booléenne est toujours 1 ou 0, jamais 2 ou plus
3Priorité des opérateurs : d'abord les parenthèses, puis NON, puis ET, puis OU
4NON s'applique seulement à ce qui le suit directement : $\neg A \land B$ n'est pas $\neg(A \land B)$
5Une expression à $n$ variables a une table de vérité de $2^n$ lignes, en commençant par la ligne où toutes les variables valent 0
6Deux expressions sont équivalentes quand leurs colonnes finales sont identiques à chaque ligne

Questions fréquentes

Pourquoi ET passe-t-il avant OU ?

C'est une convention, comme la multiplication avant l'addition. Avec 0 et 1, ET se comporte comme la multiplication (

1 \times 0 = 0

), et OU est souvent comparé à l'addition, donc le même ordre paraît naturel.

Est-ce que je peux mettre des parenthèses partout ?

Oui. Des parenthèses qui suivent la priorité des opérateurs ne changent jamais la valeur, et elles rendent l'expression plus facile à lire.

A \lor (B \land C)

est identique à

A \lor B \land C

, mais la première écriture montre l'ordre au premier coup d'œil.

Est-ce que 1 et 0 veulent dire vrai et faux ?

Oui. 1 représente vrai et 0 représente faux. Les ordinateurs utilisent 1 et 0 car ils stockent tout sous forme de bits. Les tables interactives de cette leçon utilisent aussi 1 et 0.

Existe-t-il un moyen plus rapide que la table de vérité pour montrer que deux expressions sont équivalentes ?

Oui. L'algèbre de Boole possède des lois (comme les lois de De Morgan) qui transforment une expression en une autre étape par étape. Tu les découvriras dans la leçon Algèbre de Boole. Une table de vérité est plus lente, mais elle marche toujours.

Glossaire

Variable booléenne: Une lettre comme $A$ , $B$ ou $C$ qui ne peut prendre que les valeurs 1 (vrai) ou 0 (faux)
Expression booléenne: Une formule composée de variables booléennes, des valeurs 1 et 0 et des opérateurs $\land$ , $\lor$ , $\neg$
Priorité des opérateurs: La règle qui dit quel opérateur se calcule en premier : parenthèses, puis NON, puis ET, puis OU
Table de vérité: Un tableau qui donne la valeur d'une expression pour les $2^n$ combinaisons de ses variables
Équivalentes: Deux expressions sont équivalentes quand elles ont la même valeur à chaque ligne de la table de vérité

Carte des formules

Priorité des opérateurs

(\;) \;\to\; \neg \;\to\; \land \;\to\; \lor

D'abord les parenthèses, puis NON, puis ET, puis OU

NON

\neg 0 = 1, \quad \neg 1 = 0

Inverse la valeur de ce qui le suit directement

ET et OU

1 \land 1 = 1, \quad 0 \lor 0 = 0

ET vaut 1 seulement si les deux valent 1 ; OU vaut 0 seulement si les deux valent 0

Nombre de lignes

\text{lignes} = 2^n

$n$ est le nombre de variables : $2^2 = 4$, $2^3 = 8$

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

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Les règles d'un programme

Les filtres anti-spam

Les règles de la maison connectée

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Priorité des opérateurs

NON

ET et OU

Nombre de lignes

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