Propositions booléennes composées

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Soit $P$ : "Le chien a faim" et $Q$ : "Le chien est fatigué". Quels symboles veulent dire "Le chien a faim et il est fatigué" ?
1. a) $P \land \neg Q$
2. b) $\neg P \land Q$
3. c) $P \lor Q$
4. d) $P \land Q$
Réponse: $P \land Q$
Les deux parties sont affirmées comme vraies et reliées par *et*, donc la proposition est $P \land Q$ .
2.
$P$ est vraie et $Q$ est fausse. Quelle est la valeur de vérité de $P \lor Q$ ? Écris 1 pour vrai et 0 pour faux.
Réponse: 1
$P \lor Q = 1 \lor 0 = 1$ : une partie vraie suffit pour OU.
3.
Soit $P$ : "Il neige" et $Q$ : "L'école est fermée". Quelle phrase correspond à $\neg P \land Q$ ?
1. a)Il ne neige pas et l'école est fermée.
2. b)Il neige et l'école n'est pas fermée.
3. c)Il est faux qu'il neige et que l'école soit fermée.
4. d)Il ne neige pas ou l'école est fermée.
Réponse: Il ne neige pas et l'école est fermée.
$\neg P$ signifie "il ne neige pas", et $\land$ le relie à $Q$ avec *et*. Le dernier choix serait $\neg(P \land Q)$ .
4.
Soit $P$ : " $4 + 4 = 8$ " et $Q$ : " $9$ est un nombre pair". Quelle est la valeur de vérité de $P \land Q$ ? Écris 1 pour vrai et 0 pour faux.
Réponse: 0
$P = 1$ et $Q = 0$ car $9$ est impair. $1 \land 0 = 0$ : ET demande deux parties vraies.
5.
Soit $P$ : " $5 > 2$ " et $Q$ : " $6$ est un nombre impair". Trouve la valeur de vérité de $P \land \neg Q$ (1 = vrai, 0 = faux).
Réponse: 1
1. Quelle est la valeur de $P$ ? 1
2. Quelle est la valeur de $Q$ ? 0
3. Quelle est la valeur de $\neg Q$ ? 1
4. Quelle est la valeur de $P \land \neg Q$ ? 1
6.
Soit $P$ : "Mia a un chat" et $Q$ : "Mia a un chien". Mia n'a aucun animal. Trouve la valeur de vérité de "Mia n'a ni chat ni chien" (1 = vrai, 0 = faux).
Réponse: 1
1. Quelle est la valeur de $P$ ? 0
2. Ni ... ni s'écrit $\neg P \land \neg Q$ . Quelle est la valeur de $\neg P$ ? 1
3. Quelle est la valeur de $\neg Q$ ? 1
4. Quelle est la valeur de $\neg P \land \neg Q$ ? 1
7.
Quelle phrase est la négation de "Léo joue de la guitare et Léo chante" ?
1. a)Léo ne joue pas de la guitare et Léo chante.
2. b)Il est faux que Léo joue de la guitare et chante à la fois.
3. c)Léo ne joue pas de la guitare et ne chante pas non plus.
4. d)Léo joue de la guitare mais ne chante pas.
Réponse: Il est faux que Léo joue de la guitare et chante à la fois.
Avec $G$ : Léo joue de la guitare et $S$ : Léo chante, la négation est $\neg(G \land S)$ : elle est vraie dans 3 des 4 cas, dès qu'au moins une des deux activités manque. "Ni ... ni" n'est vrai que dans 1 cas, donc ce n'est pas la négation.
8.
$P$ est fausse et $Q$ est vraie. Quelle est la valeur de vérité de $\neg(P \lor Q)$ ? Écris 1 pour vrai et 0 pour faux.
Réponse: 0
$P \lor Q = 0 \lor 1 = 1$ , et $\neg 1 = 0$ : la proposition est fausse.
9.
Dans combien des 4 cas de $P$ et $Q$ la proposition $P \lor \neg Q$ est-elle vraie ?
Réponse: 3
Cas ( $P$ , $Q$ ) : 00 donne $0 \lor 1 = 1$ , 01 donne $0 \lor 0 = 0$ , 10 donne $1$ , 11 donne $1$ . Vraie dans 3 cas.
10.
Ana va à la fête et Ben va à la fête. La proposition "Ana y va ou Ben y va" est-elle vraie en logique ?
1. a)On ne peut pas le savoir
2. b)Oui, car OU est vrai quand au moins une partie est vraie
3. c)Non, car OU veut dire exactement l'un des deux
4. d)Non, car ils y vont tous les deux
Réponse: Oui, car OU est vrai quand au moins une partie est vraie
En logique, OU est inclusif : $1 \lor 1 = 1$ . La proposition ne serait fausse que si ni Ana ni Ben n'y allaient.
11.
Trouve la valeur de vérité de $(P \land Q) \lor \neg R$ pour $P = 1$ , $Q = 0$ et $R = 1$ .
Réponse: 0
1. Quelle est la valeur de $P \land Q$ ? 0
2. Quelle est la valeur de $\neg R$ ? 0
3. Quelle est la valeur de $(P \land Q) \lor \neg R$ ? 0
12.
Soit $P$ : " $12$ est divisible par $3$ " et $Q$ : " $12$ est divisible par $5$ ". Trouve la valeur de vérité de " $12$ est divisible par $3$ ou par $5$ , mais pas par les deux", qui s'écrit $(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)$ (1 = vrai, 0 = faux).
Réponse: 1
1. Quelle est la valeur de $P \lor Q$ ? 1
2. Quelle est la valeur de $P \land Q$ ? 0
3. Quelle est la valeur de $\neg(P \land Q)$ ? 1
4. Quelle est la valeur de toute la proposition ? 1
13.
Dans combien des 4 cas de $P$ et $Q$ la proposition $\neg P \land Q$ est-elle vraie ?
Réponse: 1
1. Combien de cas y a-t-il pour $P$ et $Q$ ? 4
2. Dans combien de cas $\neg P$ est-elle vraie ? 2
3. Parmi ces cas, dans combien $Q$ est-elle aussi vraie ? 1
14.
Soit $P$ : "Il fait froid", $Q$ : "Il y a du vent", $R$ : "Il fait beau". Quels symboles veulent dire "Il fait beau, et il n'y a ni froid ni vent" ?
1. a) $\neg R \land (P \lor Q)$
2. b) $R \lor \neg(P \land Q)$
3. c) $R \land \neg(P \lor Q)$
4. d) $R \land \neg P \lor Q$
Réponse: $R \land \neg(P \lor Q)$
Ni froid ni vent signifie : il est faux qu'il fasse froid ou qu'il y ait du vent, donc $\neg(P \lor Q)$ , vraie seulement pour $P = 0$ et $Q = 0$ . Reliée à il fait beau par *et* : $R \land \neg(P \lor Q)$ .
15.
Dans combien des 8 cas de $P$ , $Q$ et $R$ la proposition $(P \land Q) \lor R$ est-elle vraie ?
Réponse: 5
Quand $R = 1$ , la proposition est toujours vraie : 4 cas. Quand $R = 0$ , il faut $P = 1$ et $Q = 1$ : 1 cas de plus. Au total $4 + 1 = 5$ .
16.
Soit $P$ : " $2^3 = 8$ ", $Q$ : " $15$ est un nombre premier", $R$ : " $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ ". Trouve la valeur de vérité de $\neg(P \land R) \lor Q$ (1 = vrai, 0 = faux).
Réponse: 0
1. Quelle est la valeur de $P \land R$ ? 1
2. Quelle est la valeur de $\neg(P \land R)$ ? 0
3. Quelle est la valeur de $Q$ ? 0
4. Quelle est la valeur de $\neg(P \land R) \lor Q$ ? 0
17.
Dans combien des 8 cas de $P$ , $Q$ et $R$ la proposition $(P \lor \neg Q) \land R$ est-elle vraie ?
Réponse: 3
1. Combien de cas y a-t-il pour 3 propositions ? 8
2. Dans combien d'entre eux $R$ est-elle vraie ? 4
3. Parmi les 4 combinaisons de $P$ et $Q$ , dans combien $P \lor \neg Q$ est-elle vraie ? 3
4. Dans combien de cas $(P \lor \neg Q) \land R$ est-elle vraie ? 3
18.
Soit $L$ : "Le bus est en retard" et $W$ : "Il pleut". Nie $L \lor W$ et trouve dans combien des 4 cas la négation est vraie.
Réponse: 1
1. Dans combien de cas $L \lor W$ est-elle vraie ? 3
2. Dans le cas où $L \lor W$ est fausse, quelle est la valeur de $L$ ? (1 = vrai, 0 = faux) 0
3. Et quelle est la valeur de $W$ dans ce cas ? 0
4. Dans combien de cas $\neg(L \lor W)$ est-elle vraie ? 1