Guide de l'enseignant: Propositions booléennes composées

Apprends à former des propositions composées à partir de propositions simples avec ET, OU et NON, à passer des mots aux symboles et à trouver leur valeur de vérité.

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Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Logique booléenne. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Traduire des propositions composées entre la langue courante et les symboles $\land$ , $\lor$ et $\neg$
Reconnaître des mots repères comme et, mais, ou, ne ... pas et ni ... ni
Déterminer la valeur de vérité d'une proposition composée à partir des valeurs de vérité de ses parties
Nier une proposition composée en mots et vérifier la négation cas par cas
Étudier les 8 cas d'une proposition composée formée de trois propositions simples

Prérequis

• Les propositions vraies et fausses (leçon Énoncés vrais et faux)
• Les opérations seules (leçons L'opération ET, L'opération OU et L'opération NON)
• Construire une table de vérité de $2^n$ lignes (leçon Tables de vérité)

Amorces de discussion

1. Quand quelqu'un dit "Tu peux prendre un gâteau ou une glace", as-tu le droit de prendre les deux ? En quoi le OU de la logique est-il différent ?
2. Pourquoi *mais* compte-t-il comme ET en logique, alors qu'il exprime une opposition ?
3. Quelle est la différence entre "Il est faux que j'aime le thé et le café" et "Je n'aime ni le thé ni le café" ?
4. Peux-tu trouver une règle de l'école qui est une proposition composée ? Dans quels cas est-elle enfreinte ?

Idées reçues courantes

OU signifie qu'exactement une partie est vraie

Remédiation: Montre le cas $1 \lor 1$ dans la table interactive. Compare les menus de tous les jours (fromage ou dessert) avec la logique, et nomme la version exclusive, XOR.

La négation de " $P$ et $Q$ " est "non $P$ et non $Q$ "

Remédiation: Fais vérifier les quatre cas : "non $P$ et non $Q$ " n'est vrai que dans un cas, alors que la négation doit être vraie dans trois. Annonce les lois de De Morgan de la leçon Algèbre de Boole.

Un NON au début d'une phrase ne nie que la première partie

Remédiation: Compare $\neg P \land Q$ et $\neg(P \land Q)$ pour $P = 0$ et $Q = 0$ , et discute de ce sur quoi porte *il est faux que*.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer avec un seul opérateur à la fois et seulement deux propositions simples
• Donner une liste de mots : et, mais = $\land$ ; ou = $\lor$ ; ne ... pas = $\neg$
• Utiliser des propositions sur des nombres dont la valeur de vérité se vérifie facilement, comme $5 > 2$

Pour les élèves au niveau:

• Traduire des phrases mélangées avec NON à l'intérieur et à l'extérieur des parenthèses
• Évaluer des propositions composées pour des valeurs données et expliquer chaque étape
• Nier des propositions avec ET et avec OU en mots et les vérifier avec les 4 cas

Pour les élèves avancés:

• Étudier les 8 cas de règles à trois parties tirées de la vie réelle
• Écrire une proposition composée vraie dans exactement 2 des 8 cas
• Exprimer l'un mais pas les deux (XOR) avec seulement ET, OU et NON

Alignement aux standards

CCSS.MATH.PRACTICE.MP6 (MP6)
Être précis
CCSS.MATH.PRACTICE.MP2 (MP2)
Raisonner de manière abstraite et quantitative
CCSS.MATH.PRACTICE.MP3 (MP3)
Construire des arguments solides et critiquer le raisonnement des autres

Ressources de la leçon

visualTable de vérité interactive
Les élèves passent de ET à OU et à NON pour deux propositions et prédisent chaque résultat avant de l'afficher
activityTri de phrases
Des cartes avec des phrases de la vie courante sont triées en ET, OU et NON, puis écrites en symboles
worksheetRègles à trois parties
De vraies règles (entrée dans un club, réductions, niveaux de jeu) avec les 8 cas à compléter

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une proposition simple est une phrase qui est soit vraie, soit fausse, par exemple "Il pleut." Une proposition composée relie deux propositions simples ou plus avec les opérateurs logiques ET (

\land

), OU (

\lor

) et NON (

\neg

). Sa valeur de vérité dépend uniquement des valeurs de vérité de ses parties.

On écrit 1 pour vrai et 0 pour faux. Les tables interactives de cette leçon utilisent aussi 1 et 0.

Des mots aux symboles. Soit

P

: "Il pleut" et

Q

: "Il fait froid".

En mots	Symboles	Vraie quand
Il pleut et il fait froid.	$P \land Q$	les deux parties sont vraies
Il pleut ou il fait froid.	$P \lor Q$	au moins une partie est vraie
Il ne pleut pas.	$\neg P$	$P$ est fausse
Il pleut mais il ne fait pas froid.	$P \land \neg Q$	$P$ est vraie et $Q$ est fausse
Il ne pleut pas et il ne fait pas froid.	$\neg P \land \neg Q$	les deux parties sont fausses

Mots repères : *et*, *mais*, *à la fois ... et* signifient ET. *ou* signifie OU, qui est aussi vrai quand les deux parties sont vraies. *ne ... pas*, *il est faux que* signifient NON.

Trouver la valeur de vérité en 3 étapes :

1.Donne à chaque proposition simple sa valeur : 1 ou 0.
2.Calcule les parties entre parenthèses et chaque NON.
3.Combine les résultats avec ET ou OU.

Les quatre cas pour deux propositions (en commençant par 0, comme dans la table interactive ; la leçon Tables de vérité commence par T, et les deux ordres donnent les mêmes cas) :

$P$	$Q$	$P \land Q$	$P \lor Q$	$\neg P$
0	0	0	0	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	0
1	1	1	1	0

Trois parties, huit cas. Avec une troisième proposition

R

, il y a

2^3 = 8

cas, et les parenthèses montrent quelles parties vont ensemble. Pour

(P \lor Q) \land \neg R

$P$	$Q$	$R$	$P \lor Q$	$\neg R$	$(P \lor Q) \land \neg R$
0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	0

Cette proposition composée est vraie dans 3 des 8 cas : quand au moins une des propositions

P

Q

est vraie et que

R

est fausse. La façon de lire une proposition sans parenthèses (la priorité des opérateurs) est le sujet de la leçon Expressions booléennes.

Exemples résolus

Soit $P$ : "Le magasin est ouvert" et $Q$ : "J'ai de l'argent". Écris chaque phrase en symboles : (a) Le magasin est ouvert et j'ai de l'argent. (b) Le magasin n'est pas ouvert ou j'ai de l'argent. (c) Le magasin est ouvert mais je n'ai pas d'argent. (d) Le magasin n'est pas ouvert et je n'ai pas d'argent.

Phrase (a)

Le mot *et* relie deux parties qui sont toutes les deux affirmées comme vraies → $P \land Q$

Phrase (b)

*ne ... pas* ne porte que sur la première partie, *ou* relie les deux parties → $\neg P \lor Q$

Phrase (c)

*mais* signifie ET, et *je n'ai pas d'argent* est la négation de $Q$ → $P \land \neg Q$

Phrase (d)

Les deux parties sont niées et reliées par *et* → $\neg P \land \neg Q$

Réponse: (a) $P \land Q$ , (b) $\neg P \lor Q$ , (c) $P \land \neg Q$ , (d) $\neg P \land \neg Q$ . La phrase (d) peut aussi se dire avec ni ... ni : ni le magasin n'est ouvert, ni je n'ai d'argent.

Erreurs courantes

Penser que " $P$ ou $Q$ " est fausse quand les deux parties sont vraies

Pourquoi c'est faux: Dans la vie courante, *ou* veut souvent dire l'un ou l'autre, mais pas les deux. En logique, OU est inclusif : $1 \lor 1 = 1$ .

Correct: $P \lor Q$ n'est fausse que si les deux parties sont fausses. Pour l'un mais pas les deux, il existe un autre opérateur : le OU exclusif (XOR).

Nier "J'aime le thé et le café" en "Je n'aime ni le thé ni le café"

Pourquoi c'est faux: *Ni ... ni* n'est vrai que si les deux parties sont fausses (1 cas). La négation d'une proposition avec ET doit être vraie dès qu'au moins une partie est fausse (3 cas).

Correct: Dis "Il est faux que j'aime à la fois le thé et le café" : il y a au moins l'un des deux que je n'aime pas. La règle générale (lois de De Morgan) arrive dans la leçon Algèbre de Boole.

Lire $\neg P \land Q$ comme si c'était $\neg(P \land Q)$

Pourquoi c'est faux: Sans parenthèses, NON ne porte que sur la proposition qui le suit directement. Pour $P = 0$ et $Q = 0$ : $\neg P \land Q = 1 \land 0 = 0$ , mais $\neg(P \land Q) = \neg 0 = 1$ .

Correct: Vérifie sur quoi porte le NON. Mets des parenthèses quand le NON doit s'appliquer à toute la proposition composée.

Ne pas reconnaître *mais* comme un ET

Pourquoi c'est faux: "Le contrôle était difficile mais je l'ai réussi" ressemble à une opposition, pourtant les deux parties sont affirmées comme vraies.

Correct: Traduis *mais*, *bien que* et *à la fois ... et* par ET : $H \land S$ (contrôle difficile ET réussi).

Pourquoi c'est important

Presque chaque règle que tu rencontres est une proposition composée :

Boutiques en ligne et moteurs de recherche : un filtre comme "chaussures ET pointure 38 ET NON rouge" combine trois conditions
Programmation : des conditions comme (connecté ET NON bloqué) OU administrateur décident de ce que fait une application ensuite
Règles et panneaux : "Entrée gratuite pour les enfants de moins de 12 ans accompagnés d'un adulte" est respectée ou non selon deux faits
Arguments et débats : savoir exactement quand OU et NON sont vrais t'aide à repérer des phrases qui se ressemblent mais ne disent pas la même chose
Circuits numériques : chaque puce est construite avec ET, OU et NON, les mêmes opérateurs que tu utilises ici

Tu connais déjà ET, OU et NON séparément. Dans cette leçon, tu les combines en propositions plus longues et tu trouves leur valeur de vérité avec assurance.

Applications dans le monde réel

Filtres des boutiques en ligne

Les boutiques et les moteurs de recherche combinent des conditions avec ET, OU et NON pour décider quels articles tu vois.

Exemple:

Le filtre (noir OU bleu) ET NON d'occasion ne montre que des articles neufs, dans l'une des deux couleurs.

1Essaie par toi-même

Un filtre affiche une veste si $(B \lor S) \land C$ , où $B$ : la veste est bleue, $S$ : elle est en solde, $C$ : elle coûte moins de 50 €. Une veste est bleue, en solde et coûte 65 €.

Le filtre affiche-t-il cette veste ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Avec 1 et 0, ET fonctionne comme une multiplication. Écris la dernière étape sous forme de produit :

Règles de jeu dans le code

Les jeux vidéo et les applications vérifient des conditions composées plusieurs fois par seconde pour décider de la suite.

Exemple:

Une porte s'ouvre si (clé ET NON alarme). Avec la clé et sans alarme : $1 \land \neg 0 = 1 \land 1 = 1$ , donc la porte s'ouvre.

2Essaie par toi-même

Une joueuse passe au niveau supérieur si $S \land (\neg T \lor K)$ , où $S$ : le score vaut au moins 100, $T$ : le temps est écoulé, $K$ : elle a une clé bonus.

Dans combien des 8 cas passe-t-elle au niveau supérieur ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre comme les cas où $S$ est vraie moins les cas qui échouent :

Règles et panneaux

Les règles sur les panneaux, les billets et dans les contrats sont des propositions composées, et il est souvent important de savoir exactement quand une règle n'est PAS respectée.

Exemple:

"Stationnement gratuit le dimanche ou après 20 h" s'applique un dimanche à midi, un lundi à 21 h, et aussi un dimanche à 21 h.

3Essaie par toi-même

Un panneau de musée dit : les enfants entrent gratuitement s'ils ont moins de 12 ans et viennent avec un adulte. Soit $U$ : l'enfant a moins de 12 ans, $A$ : l'enfant vient avec un adulte.

Dans combien des 4 cas la règle d'entrée gratuite n'est-elle PAS respectée ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre comme tous les cas moins les cas où la règle est respectée :

Points clés

1Une proposition composée relie des propositions simples avec ET ( $\land$ ), OU ( $\lor$ ) et NON ( $\neg$ )
2*et* et *mais* se traduisent par ET, *ou* par OU, *ne ... pas* et *il est faux que* par NON
3ET n'est vrai que si les deux parties sont vraies ; OU n'est faux que si les deux parties sont fausses
4Pour trouver la valeur de vérité, donne 1 ou 0 à chaque partie, calcule les parenthèses et chaque NON, puis combine
5Les parenthèses décident sur quoi porte le NON : $\neg(P \land Q)$ n'est pas la même chose que $\neg P \land Q$
6Avec 3 propositions simples il y a $2^3 = 8$ cas, et la négation d'une proposition avec ET est vraie dès qu'au moins une partie est fausse

Questions fréquentes

Est-ce que "soit ... soit" veut dire OU ?

Pas toujours. L'opérateur OU est toujours inclusif : il est aussi vrai quand les deux parties sont vraies. Dans la vie courante, *soit ... soit* suggère souvent l'un mais pas les deux. Quand une phrase veut clairement dire l'un mais pas les deux, écris-la avec le OU exclusif (XOR) :

(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)

. Sinon, lis-la comme un OU.

Ai-je toujours besoin de parenthèses ?

Avec deux parties et un seul opérateur, non. Dès que ET et OU apparaissent ensemble, ou qu'un NON doit porter sur plus d'une proposition, les parenthèses rendent le sens clair. Les règles pour lire une proposition sans parenthèses (NON avant ET avant OU) arrivent dans la leçon Expressions booléennes.

Puis-je utiliser une calculatrice pour les valeurs de vérité ?

En partie. Avec 1 et 0, ET fonctionne comme une multiplication (

1 \times 0 = 0

1 \times 1 = 1

) et NON

P

est égal à

1 - P

. La calculatrice de cette leçon ne connaît pas les mots ET, OU et NON, alors utilise-la pour ces produits et pour compter des cas comme

2^3

Pourquoi une question ne peut-elle pas faire partie d'une proposition composée ?

Une proposition doit être soit vraie, soit fausse. Une question comme "Est-ce qu'il pleut ?" ou un ordre comme "Ferme la porte !" n'a pas de valeur de vérité, donc ne peut pas en être une partie.

Glossaire

Proposition simple: Une seule phrase qui est soit vraie, soit fausse, par exemple " $7$ est premier"
Proposition composée: Une proposition formée de propositions simples avec ET, OU et NON, par exemple $P \land \neg Q$
Valeur de vérité: Le fait qu'une proposition soit vraie (1) ou fausse (0)
Conjonction (ET): $P \land Q$ , vraie seulement quand les deux parties sont vraies
Disjonction (OU): $P \lor Q$ , vraie quand au moins une partie est vraie
Négation (NON): $\neg P$ , vraie exactement quand $P$ est fausse

Carte des formules

ET (conjonction)

P \land Q

Vraie (1) seulement quand $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies

OU (disjonction)

P \lor Q

Fausse (0) seulement quand $P$ et $Q$ sont toutes les deux fausses

NON (négation)

\neg P

Inverse la valeur : $\neg 1 = 0$ et $\neg 0 = 1$

Nombre de cas

2^n

$n$ propositions simples donnent $2^n$ cas : 4 pour deux, 8 pour trois

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

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Filtres des boutiques en ligne

Règles de jeu dans le code

Règles et panneaux

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

ET (conjonction)

OU (disjonction)

NON (négation)

Nombre de cas

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