L'opération NON

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Si $P$ est vraie, que vaut $\neg P$ ?
1. a)Faux
2. b)Vrai
3. c)À la fois vrai et faux
4. d)Cela dépend de Q
Réponse: Faux
NON transforme le vrai en faux, donc $\neg P$ est fausse. NON n'a qu'une entrée, Q ne joue donc aucun rôle.
2.
Avec 1 pour vrai et 0 pour faux, que vaut NON 1 ? Écris 1 ou 0.
Réponse: 0
NON 1 = 0. Tu peux aussi utiliser l'astuce $\neg P = 1 - P$ : $1 - 1 = 0$ .
3.
Quelle phrase est la négation de "Tom aime le football" ?
1. a)Tom aime beaucoup le football
2. b)Tom déteste le football
3. c)Tom aime le basket
4. d)Tom n'aime pas le football
Réponse: Tom n'aime pas le football
"Tom n'aime pas le football" est la négation. "Tom déteste le football" en dit beaucoup plus : le football peut simplement lui être égal, et alors il ne l'aime pas sans le détester.
4.
Que vaut $\neg(\neg 1)$ ? Écris 1 ou 0 (1 = vrai, 0 = faux).
Réponse: 1
$\neg 1 = 0$ , puis $\neg 0 = 1$ . Deux NON s'annulent, tu retrouves donc la valeur de départ 1.
5.
Soit P = " $4 + 4 = 8$ ". Trouve la valeur de P et de $\neg P$ , avec 1 pour vrai et 0 pour faux.
Réponse: 0
1. P est-elle vraie (1) ou fausse (0) ? 1
2. Que vaut $\neg P$ ? 0
6.
Utilise l'astuce $\neg P = 1 - P$ pour calculer NON 0 et NON 1.
Réponse: 1, 0
1. Calcule NON 0 = $1 - 0$ 1
2. Calcule NON 1 = $1 - 1$ 0
7.
Quelle est la négation de "Tous les oiseaux peuvent voler" ?
1. a)Certains oiseaux peuvent voler
2. b)Tous les oiseaux sont incapables de voler
3. c)Les oiseaux ne peuvent pas tous voler
4. d)Aucun oiseau ne peut voler
Réponse: Les oiseaux ne peuvent pas tous voler
Un seul oiseau qui ne vole pas (un manchot) rend déjà l'affirmation fausse, donc la négation est "Les oiseaux ne peuvent pas tous voler". "Aucun oiseau ne peut voler" est faux aussi, car la plupart des oiseaux volent.
8.
P = 0 et Q = 0. Que vaut $\neg P \vee Q$ ? Écris 1 ou 0 (1 = vrai, 0 = faux).
Réponse: 1
$\neg P = \neg 0 = 1$ , puis $1 \vee 0 = 1$ , car OU n'a besoin que d'une entrée vraie.
9.
La négation de " $x > 5$ " est :
1. a) $x \geq 5$
2. b) $x \leq 5$
3. c) $x \neq 5$
4. d) $x < 5$
Réponse: $x \leq 5$
Un nombre est soit supérieur à 5, soit non. "Pas supérieur à 5" veut dire inférieur à 5 ou égal à 5, donc la négation est $x \leq 5$ . Le choix $x < 5$ oublie le nombre 5.
10.
P = 1 et Q = 0. Calcule $\neg(P \land Q)$ , puis compare avec $\neg P \land Q$ (1 = vrai, 0 = faux).
Réponse: 1
1. Que vaut $P \land Q$ ? 0
2. Que vaut $\neg(P \land Q)$ ? 1
3. Calcule maintenant $\neg P \land Q$ 0
11.
P = "10 est divisible par 3" et Q = "10 est pair". Calcule $\neg P \land Q$ (1 = vrai, 0 = faux).
Réponse: 1
1. Que vaut P ? 0
2. Que vaut $\neg P$ ? 1
3. Que vaut Q ? 1
4. Que vaut $\neg P \land Q$ ? 1
12.
Que vaut $\neg\neg\neg 0$ (trois NON à la suite) ? Écris 1 ou 0 (1 = vrai, 0 = faux).
Réponse: 1
$\neg 0 = 1$ , $\neg 1 = 0$ , $\neg 0 = 1$ . Un nombre impair de NON inverse la valeur, un nombre pair la conserve.
13.
Soit S = "Mia parle français", et S est vraie. Quelle est la valeur de la phrase "Il est faux que Mia ne parle pas français" ? Utilise 1 pour vrai et 0 pour faux.
Réponse: 1
1. Quelle est la valeur de S ? 1
2. "Mia ne parle pas français" est $\neg S$ . Quelle est sa valeur ? 0
3. La phrase entière est $\neg(\neg S)$ . Quelle est sa valeur ? 1
14.
Quelle expression a toujours la même valeur que $\neg(P \vee Q)$ ?
1. a) $\neg P \land \neg Q$
2. b) $\neg P \vee \neg Q$
3. c) $\neg P \vee Q$
4. d) $P \land Q$
Réponse: $\neg P \land \neg Q$
D'après la loi de De Morgan, $\neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q$ : "ni P ni Q". Vérifie P = 1, Q = 0 : $\neg(1 \vee 0) = 0$ et $\neg 1 \land \neg 0 = 0 \land 1 = 0$ , alors que $\neg P \vee \neg Q = 0 \vee 1 = 1$ est différent.
15.
P = 1, Q = 0 et R = 1. Que vaut $\neg(P \land \neg Q) \vee \neg R$ ? Écris 1 ou 0 (1 = vrai, 0 = faux).
Réponse: 0
$\neg Q = 1$ , donc $P \land \neg Q = 1 \land 1 = 1$ et $\neg(P \land \neg Q) = 0$ . De plus $\neg R = 0$ . Alors $0 \vee 0 = 0$ .
16.
P = 1 et Q = 0. Calcule $\neg(P \land Q)$ et $\neg P \vee \neg Q$ et vérifie qu'elles sont égales (De Morgan).
Réponse: 1
1. Que vaut $P \land Q$ ? 0
2. Que vaut $\neg(P \land Q)$ ? 1
3. Que vaut $\neg P$ ? 0
4. Que vaut $\neg Q$ ? 1
5. Que vaut $\neg P \vee \neg Q$ ? 1
17.
Avec 1 et 0, ET est une multiplication et NON P vaut $1 - P$ . Calcule NON (1 ET 0) sous la forme $1 - 1 \times 0$ , puis vérifie le résultat avec $\neg 1 \vee \neg 0$ .
Réponse: 1
1. Que vaut 1 ET 0 = $1 \times 0$ ? 0
2. Que vaut $1 - 0$ ? 1
3. Vérification : que vaut $\neg 1 \vee \neg 0$ ? 1
18.
Un arroseur de jardin fonctionne quand $\neg R \land \neg W$ est vraie, avec R = "il pleut" et W = "le sol est déjà mouillé". D'après De Morgan, c'est la même chose que $\neg(R \vee W)$ . Aujourd'hui R = 0 et W = 1. L'arroseur fonctionne-t-il ? Utilise 1 pour oui (vrai) et 0 pour non (faux).
Réponse: 0
1. Que vaut $\neg R$ ? 1
2. Que vaut $\neg W$ ? 0
3. Que vaut $\neg R \land \neg W$ ? 0
4. Maintenant l'autre forme. Que vaut $R \vee W$ ? 1
5. Que vaut $\neg(R \vee W)$ ? 0