Tables de vérité

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Combien de lignes compte une table de vérité à 3 variables ?
1. a)9
2. b)3
3. c)8
4. d)6
Réponse: 8
$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ lignes. 6 serait $2 \times 3$ , et il manquerait des combinaisons.
2.
Combien de lignes faut-il dans une table de vérité pour $P$ et $Q$ ?
Réponse: 4
$2^2 = 4$ lignes : VV, VF, FV et FF.
3.
Remplis les colonnes des variables d'une table de vérité pour $P$ , $Q$ et $R$ dans l'ordre standard.
Réponse: 8
1. Combien de lignes faut-il dans la table ? 8
2. La colonne $P$ commence par un bloc de V. Combien de V y a-t-il dans ce premier bloc ? 4
3. La colonne $Q$ change deux fois plus souvent. Combien de V y a-t-il dans son premier bloc ? 2
4. Combien de V y a-t-il dans le premier bloc de la colonne $R$ ? 1
4.
Dans l'ordre standard d'une table de vérité à 8 lignes, quel motif a la dernière colonne $R$ ?
1. a)F, F, F, F, V, V, V, V
2. b)V, V, F, F, V, V, F, F
3. c)V, F, V, F, V, F, V, F
4. d)V, V, V, V, F, F, F, F
Réponse: V, F, V, F, V, F, V, F
La dernière colonne alterne par blocs de 1 : V, F, V, F, V, F, V, F. Les blocs de 4 sont ceux de $P$ et les blocs de 2 ceux de $Q$ .
5.
Une table de vérité compte 64 lignes. Combien de variables l'expression contient-elle ?
Réponse: 6
$2^6 = 64$ , donc l'expression a 6 variables (2, 4, 8, 16, 32, 64 font six doublements).
6.
Construis la table de vérité de $\neg P \land Q$ . À quelle ligne est-elle vraie ? Utilise l'ordre standard des lignes (la ligne 1 est $P$ = V, $Q$ = V).
Réponse: 3
1. Combien de lignes compte la table ? 4
2. Dans combien de lignes $\neg P$ est-il vrai ? 2
3. À quelle ligne (numéro 1 à 4) $\neg P$ et $Q$ sont-ils vrais tous les deux ? 3
7.
Dans combien des 4 lignes de la table de vérité $\neg P \lor Q$ est-il vrai ?
Réponse: 3
$\neg P$ : F, F, V, V et $Q$ : V, F, V, F. OU donne V, F, V, V, donc l'expression est vraie dans 3 lignes et fausse seulement quand $P$ est vrai et $Q$ faux.
8.
Quelle expression est une tautologie ?
1. a) $P \land Q$
2. b) $P \lor \neg P$
3. c) $\neg P \lor Q$
4. d) $P \land \neg P$
Réponse: $P \lor \neg P$
$P \lor \neg P$ est toujours vraie : l'une des deux, $P$ ou $\neg P$ , est toujours vraie. $P \land \neg P$ est toujours fausse, et $P \land Q$ et $\neg P \lor Q$ sont chacune fausses dans au moins une ligne.
9.
Dans combien des 8 lignes $P \land (Q \lor R)$ est-il vrai ?
Réponse: 3
1. Dans combien des 8 lignes $Q \lor R$ est-il vrai ? 6
2. Dans combien de lignes $P$ est-il vrai ? 4
3. Dans combien de lignes $P$ et $Q \lor R$ sont-ils vrais tous les deux ? 3
10.
Dans combien des 8 lignes de la table de vérité $P \lor (Q \land R)$ est-il vrai ?
Réponse: 5
$P$ est vrai aux lignes 1 à 4, ce qui donne 4 lignes vraies. Aux lignes 5 à 8 ( $P$ faux), $Q \land R$ n'est vrai qu'à la ligne 5. Total : $4 + 1 = 5$ lignes.
11.
Vérifie avec une table de vérité si $(P \lor Q) \lor \neg Q$ est une tautologie.
Réponse: 0
1. Dans combien des 4 lignes $P \lor Q$ est-il vrai ? 3
2. Dans combien de lignes $\neg Q$ est-il vrai ? 2
3. Dans combien de lignes $(P \lor Q) \lor \neg Q$ est-il vrai ? 4
4. Combien de lignes sont fausses ? (0 ligne fausse signifie une tautologie) 0
12.
Quelle expression est logiquement équivalente à $\neg(P \lor Q)$ ?
1. a) $P \land Q$
2. b) $\neg P \lor \neg Q$
3. c) $\neg P \land \neg Q$
4. d) $\neg P \lor Q$
Réponse: $\neg P \land \neg Q$
$\neg(P \lor Q)$ : F, F, F, V. $\neg P \land \neg Q$ : F, F, F, V. Les colonnes coïncident à chaque ligne (De Morgan). $\neg P \lor \neg Q$ donne F, V, V, V, ce qui est différent.
13.
Vérifie avec une table de vérité si $(P \land Q) \land \neg P$ est une contradiction. Utilise l'ordre standard des lignes (la ligne 1 est $P$ = V, $Q$ = V).
Réponse: 0
1. Quelle est la seule ligne (numéro 1 à 4) où $P \land Q$ est vrai ? 1
2. Dans combien de lignes $\neg P$ est-il vrai ? 2
3. Dans combien de lignes $(P \land Q) \land \neg P$ est-il vrai ? 0
14.
Que montre la table de vérité de $(P \lor Q) \land \neg P$ ?
1. a)C'est une contradiction
2. b)Elle est équivalente à $P$
3. c)Ni l'une ni l'autre : vraie dans exactement 1 ligne
4. d)C'est une tautologie
Réponse: Ni l'une ni l'autre : vraie dans exactement 1 ligne
$P \lor Q$ : V, V, V, F et $\neg P$ : F, F, V, V. ET donne F, F, V, F. L'expression est vraie dans exactement 1 ligne (ligne 3) : ce n'est ni une tautologie ni une contradiction, et elle n'est pas équivalente à $P$ (V, V, F, F).
15.
Dans combien des 4 lignes $(P \land \neg Q) \lor (\neg P \land Q)$ est-il vrai ?
Réponse: 2
$P \land \neg Q$ n'est vrai qu'à la ligne 2 (V, F) et $\neg P \land Q$ qu'à la ligne 3 (F, V). OU donne F, V, V, F : 2 lignes vraies. L'expression est vraie exactement quand $P$ et $Q$ sont différents.
16.
Vérifie avec une table de vérité si $P \land (Q \lor R)$ et $(P \land Q) \lor (P \land R)$ sont équivalentes.
Réponse: 0
1. Combien de lignes compte la table ? 8
2. Dans combien de lignes $P \land (Q \lor R)$ est-il vrai ? 3
3. Dans combien de lignes $(P \land Q) \lor (P \land R)$ est-il vrai ? 3
4. Dans combien de lignes les deux colonnes finales diffèrent-elles ? 0
17.
Un élève affirme que $\neg(P \land Q)$ est équivalente à $\neg P \land \neg Q$ . Vérifie-le avec une table de vérité. Utilise l'ordre standard des lignes (la ligne 1 est $P$ = V, $Q$ = V).
Réponse: 2
1. Dans combien des 4 lignes $\neg(P \land Q)$ est-il vrai ? 3
2. Dans combien de lignes $\neg P \land \neg Q$ est-il vrai ? 1
3. Dans combien de lignes les deux colonnes finales diffèrent-elles ? 2
4. Quel est le numéro de la première ligne où elles diffèrent ? 2
18.
Construis la table de vérité de $\neg P \lor (Q \land \neg R)$ . Dans combien des 8 lignes est-elle vraie ?
Réponse: 5
1. Dans combien des 8 lignes $\neg P$ est-il vrai ? 4
2. Dans combien de lignes $Q \land \neg R$ est-il vrai ? 2
3. Dans combien de lignes $\neg P \lor (Q \land \neg R)$ est-il vrai ? 5
4. Combien de lignes sont fausses ? 3