Guide de l'enseignant: Tables de vérité

Apprends à construire étape par étape la table de vérité d'une expression composée et à l'utiliser pour trouver tautologies, contradictions et expressions équivalentes.

Présenter la leçonVoir la page élève

Utiliser cette leçon en classe

Gratuit, sans compte élève.

Partager avec les élèves

Les élèves ouvrent la leçon et s'entraînent avec une correction immédiate.

Fiche d'exercices à imprimer

Tous les exercices sur papier, avec un corrigé séparé.

Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Logique booléenne. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Déterminer le nombre de lignes d'une table de vérité avec $2^n$
Remplir les colonnes des variables d'une table de vérité dans un ordre systématique pour 2 et 3 variables
Construire la colonne finale d'une expression composée à l'aide de colonnes auxiliaires
Reconnaître tautologies, contradictions et contingences à partir de la colonne finale
Utiliser les tables de vérité pour décider si deux expressions sont logiquement équivalentes

Prérequis

• Comprendre les énoncés vrais et faux (Introduction à la logique booléenne, Énoncés vrais et faux)
• Les opérations ET, OU et NON et leurs tables de vérité de base
• Les puissances de 2, comme $2^3 = 8$

Amorces de discussion

1. Pourquoi une table à 10 variables serait-elle difficile à écrire à la main ? Combien de lignes aurait-elle ?
2. Deux amis énoncent la même règle avec des mots différents. Comment une table de vérité pourrait-elle les départager ?
3. Connais-tu une phrase qui est toujours vraie, quoi qu'il arrive ? Pourquoi est-ce une tautologie ?
4. Pourquoi une seule ligne différente suffit-elle à montrer que deux expressions ne sont pas équivalentes ?

Idées reçues courantes

Le nombre de lignes est $2 \times n$ au lieu de $2^n$

Remédiation: Construis avec la classe les tables pour 1, 2 et 3 variables et compte les lignes : 2, 4, 8. Demande aux élèves de prévoir le cas de 4 variables et de vérifier avec un arbre qui se divise en V et F à chaque niveau.

Un NON devant une variable nie toute l'expression

Remédiation: Place $\neg P \land Q$ et $\neg(P \land Q)$ côte à côte et fais construire les deux tables. Les colonnes finales différentes montrent que les parenthèses changent le sens.

Si deux expressions coïncident sur la plupart des lignes, elles sont équivalentes

Remédiation: Compare $\neg(P \land Q)$ avec $\neg P \land \neg Q$ : elles coïncident sur deux lignes et diffèrent sur deux. Insiste sur le fait que l'équivalence se vérifie sur toutes les lignes, comme deux corrigés qui doivent concorder à chaque question.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer avec un NON et un ET ou un OU, avec seulement 2 variables et 4 lignes
• Donner des tables préimprimées où les colonnes des variables sont déjà remplies
• Utiliser des surligneurs de couleur : vert pour V, rouge pour F, pour rendre les motifs visibles

Pour les élèves au niveau:

• Construire des tables complètes à 3 variables avec deux colonnes auxiliaires
• Classer une liste d'expressions en tautologie, contradiction ou contingence
• Démontrer les deux lois de De Morgan avec des tables de vérité

Pour les élèves avancés:

• Trouver une expression qui correspond à une colonne finale donnée (table de vérité à l'envers)
• Chercher pourquoi une table à 10 variables a $2^{10} = 1024$ lignes et discuter de l'utilisation des ordinateurs
• Démontrer la loi de distributivité $P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R)$

Alignement aux standards

CCSS.MATH.PRACTICE.MP6 (MP6)
Faire preuve de précision
CCSS.MATH.PRACTICE.MP7 (MP7)
Repérer et utiliser des structures
CCSS.MATH.PRACTICE.MP3 (MP3)
Construire des arguments solides et critiquer le raisonnement des autres

Ressources de la leçon

visualTable de vérité interactive
Les élèves remplissent la colonne résultat pour ET et OU et vérifient leurs réponses
activityDétectives de lignes
Des binômes reçoivent une table avec une ligne manquante et une ligne en double et doivent les trouver et les corriger
worksheetÉquivalentes ou pas ?
Des paires d'expressions à comparer avec des tables de vérité complètes, y compris les deux lois de De Morgan

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une table de vérité énumère toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité des variables d'une expression et donne, pour chaque ligne, la valeur de l'expression entière.

Combien de lignes ? Chaque variable peut être V (vrai) ou F (faux), donc chaque nouvelle variable double le nombre de lignes :

\text{lignes} = 2^n \quad (n = \text{nombre de variables})

Ainsi, 2 variables demandent

2^2 = 4

lignes et 3 variables demandent

2^3 = 8

lignes.

Construire une table en 4 étapes :

1.Compte les variables et écris $2^n$ lignes vides.
2.Remplis les colonnes des variables dans un ordre fixe : la première colonne est à moitié V, puis à moitié F ; chaque colonne suivante change deux fois plus souvent ; la dernière colonne alterne V, F, V, F.
3.Ajoute une colonne auxiliaire pour chaque partie de l'expression, en commençant par la plus intérieure (un NON sur une seule variable, puis les parenthèses).
4.Combine les colonnes auxiliaires pour obtenir la colonne finale.

Exemple :

P \land \neg Q

$P$	$Q$	$\neg Q$	$P \land \neg Q$
V	V	F	F
V	F	V	V
F	V	F	F
F	F	V	F

La colonne finale dit tout : cette expression est vraie dans une seule ligne, quand

P

est vrai et

Q

est faux.

Lire la colonne finale :

Que des V : l'expression est une tautologie (toujours vraie).
Que des F : c'est une contradiction (toujours fausse).
Deux expressions qui ont la même colonne finale à chaque ligne sont logiquement équivalentes.

Exemples résolus

Construis la table de vérité de $P \lor \neg Q$ .

Compter les lignes

Il y a 2 variables, $P$ et $Q$ , donc il faut $2^2 = 4$ lignes

Remplir les colonnes des variables

$P$ : V, V, F, F (moitié V, moitié F). $Q$ : V, F, V, F (en alternance) → Les 4 combinaisons apparaissent une fois

Ajouter la colonne auxiliaire $\neg Q$

Inverse chaque valeur de $Q$ : V, F, V, F devient F, V, F, V → $\neg Q$ : F, V, F, V

Combiner avec OU

Ligne par ligne : V OU F = V, V OU V = V, F OU F = F, F OU V = V → $P \lor \neg Q$ : V, V, F, V

Réponse: La colonne finale est V, V, F, V. L'expression n'est fausse qu'à la ligne 3, où $P$ est faux et $Q$ est vrai.

Erreurs courantes

Écrire trop peu de lignes, par exemple 6 lignes pour 3 variables

Pourquoi c'est faux: Le nombre de lignes n'est pas $2 \times n$ . Chaque variable double le nombre de combinaisons, donc 3 variables donnent $2 \times 2 \times 2 = 8$ lignes.

Correct: Utilise toujours $2^n$ lignes : 4 pour 2 variables, 8 pour 3 variables, 16 pour 4 variables.

Remplir les colonnes des variables au hasard

Pourquoi c'est faux: Sans méthode, on écrit facilement deux fois la même combinaison et on en oublie une autre. La table donne alors un verdict faux.

Correct: Suis le modèle fixe : première colonne par blocs de la moitié des lignes, chaque colonne suivante par blocs deux fois plus courts, dernière colonne en alternance V, F.

Traiter $\neg P \land Q$ comme si c'était $\neg(P \land Q)$

Pourquoi c'est faux: Sans parenthèses, NON ne porte que sur la variable qui le suit. La version avec parenthèses inverse le résultat de tout le ET.

Correct: Crée une colonne auxiliaire pour exactement ce sur quoi porte NON : $\neg P$ seul, ou d'abord $P \land Q$ puis sa négation.

Dire que deux expressions sont équivalentes après avoir vérifié seulement quelques lignes

Pourquoi c'est faux: Deux expressions peuvent coïncider sur plusieurs lignes et différer sur une seule. $\neg(P \land Q)$ et $\neg P \land \neg Q$ coïncident aux lignes 1 et 4 mais pas aux lignes 2 et 3.

Correct: Compare les colonnes finales à chaque ligne. Équivalentes veut dire identiques sur les $2^n$ lignes.

Pourquoi c'est important

Une table de vérité est le moyen le plus sûr de vérifier un énoncé logique, car elle n'oublie aucun cas :

Programmation : avant de mettre en ligne une condition comme (membre OU coupon) ET NON bloqué, les testeurs vérifient chaque combinaison d'entrées
Électronique : les ingénieurs conçoivent des circuits avec des tables de vérité et remplacent un circuit compliqué par un circuit plus simple et moins cher qui fait la même chose
Sécurité et alarmes : une alarme à 4 capteurs a $2^4 = 16$ états possibles, et elle doit réagir correctement dans chacun d'eux
Arguments et débats : une table de vérité montre si deux phrases disent vraiment la même chose ou si elles se ressemblent seulement
Énigmes et jeux : on résout les énigmes logiques en éliminant les lignes qui ne peuvent pas être vraies

Tu sais déjà comment fonctionnent ET, OU et NON séparément. Les tables de vérité te permettent de les combiner en n'importe quelle expression tout en restant sûr du résultat.

Applications dans le monde réel

Systèmes d'alarme

Les ingénieurs en sécurité listent chaque état des capteurs pour s'assurer que l'alarme réagit correctement dans chaque cas.

Exemple:

Une alarme avec 3 capteurs de porte a $2^3 = 8$ états, de toutes les portes fermées à toutes les portes ouvertes.

1Essaie par toi-même

Une alarme de maison a 4 capteurs, chacun allumé (V) ou éteint (F). L'alarme sonne si au moins un capteur est allumé (OU).

Combien de lignes compte la table de vérité, et dans combien d'entre elles l'alarme sonne-t-elle ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre de lignes comme une puissance de 2 :

Tester un logiciel

Les programmeurs testent une condition avec chaque combinaison d'entrées, ce qui est exactement une table de vérité.

Exemple:

Une règle de connexion (bon mot de passe ET NON bloqué) demande $2^2 = 4$ cas de test pour être entièrement vérifiée.

2Essaie par toi-même

Une boutique en ligne accorde une réduction si $(M \lor C) \land \neg B$ , où $M$ = est membre, $C$ = a un coupon, $B$ = le compte est bloqué.

Dans combien de combinaisons d'entrées le client obtient-il la réduction ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre de cas de test comme une puissance de 2 :

Simplifier des circuits

Si deux circuits ont la même table de vérité, les ingénieurs peuvent choisir celui qui a moins de composants ou des composants moins chers.

Exemple:

Les lois de De Morgan permettent de remplacer un NON-ET par un OU de deux NON sans changer ce que fait le circuit.

3Essaie par toi-même

Le circuit A calcule $\neg(P \lor Q)$ . Le circuit B calcule $\neg P \land \neg Q$ .

Les deux circuits donnent-ils toujours la même sortie ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nombre de lignes comme une puissance de 2 :

Points clés

1Une table de vérité énumère toutes les combinaisons de valeurs de vérité et la valeur de l'expression à chaque ligne
2Avec $n$ variables, la table a $2^n$ lignes : 4 pour 2 variables, 8 pour 3 variables
3Remplis les colonnes des variables dans un ordre fixe : d'abord des blocs de la moitié des lignes, la dernière colonne en alternance V, F
4Utilise des colonnes auxiliaires pour chaque partie de l'expression, la plus intérieure d'abord
5Que des V dans la colonne finale signifie une tautologie, que des F une contradiction
6Deux expressions sont équivalentes quand leurs colonnes finales coïncident à chaque ligne

Questions fréquentes

Pourquoi chaque nouvelle variable double-t-elle le nombre de lignes ?

Chaque ligne existante peut être prolongée avec la nouvelle variable à V ou à F. Chaque ligne se divise donc en deux : 2 lignes deviennent 4, 4 deviennent 8, et ainsi de suite, ce qui donne

2^n

L'ordre des lignes est-il important ?

N'importe quel ordre est correct tant que chaque combinaison apparaît exactement une fois. L'ordre standard (qui commence par tout V) rend la vérification et la comparaison des tables faciles. Certains livres commencent plutôt par F ; les lignes sont les mêmes, simplement dans l'ordre inverse. Les tables interactives de cette leçon suivent l'ordre standard.

Comment s'appelle une expression qui n'est ni une tautologie ni une contradiction ?

On l'appelle une contingence : sa valeur dépend des entrées. La plupart des expressions courantes, comme

P \land Q

, sont des contingences.

Ai-je toujours besoin de colonnes auxiliaires ?

Elles ne sont pas obligatoires, mais elles évitent la plupart des erreurs. Avec de l'entraînement, tu peux regrouper de petites étapes de tête, mais avec 3 variables ou des parenthèses dans des parenthèses, les colonnes auxiliaires restent la méthode la plus sûre.

Glossaire

Table de vérité: Un tableau qui donne la valeur d'une expression pour chaque combinaison de ses variables
Expression composée: Une expression formée de variables et d'opérateurs, comme $(P \land Q) \lor \neg R$
Colonne auxiliaire: Une colonne supplémentaire pour une partie de l'expression, qui sert à construire la colonne finale étape par étape
Tautologie: Une expression vraie à chaque ligne, comme $P \lor \neg P$
Contradiction: Une expression fausse à chaque ligne, comme $P \land \neg P$
Logiquement équivalentes: Deux expressions qui ont la même valeur à chaque ligne, ce qu'on note avec $\equiv$

Carte des formules

Nombre de lignes

\text{lignes} = 2^n

$n$ est le nombre de variables : $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$

Tautologie

P \lor \neg P

Toujours vraie : la colonne finale ne contient que des V

Contradiction

P \land \neg P

Toujours fausse : la colonne finale ne contient que des F

Lois de De Morgan

\neg(P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q, \quad \neg(P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q

Deux équivalences que tu peux démontrer avec une table de vérité

Plus sur ce sujet

Guide de l'enseignant: Tables de vérité

Utiliser cette leçon en classe

Pour les enseignants

Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Systèmes d'alarme

Tester un logiciel

Simplifier des circuits

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Nombre de lignes

Tautologie

Contradiction

Lois de De Morgan

Plus sur ce sujet

Introduction à la logique booléenne

Énoncés vrais et faux

L'opération ET

L'opération OU