Introduction aux preuves mathématiques

Exercices pratiques: Introduction aux preuves mathématiques

1. 1. Qu'est-ce qu'une preuve mathématique ?
2. 2. Quelle est la différence entre un axiome et un théorème ?
3. 3. Si $n$ est un nombre pair, nous pouvons écrire $n = 2k$ où $k$ est un entier. Si $n = 12$, quelle est la valeur de $k$ ?
4. 4. Si $n$ est un nombre impair, nous pouvons écrire $n = 2k + 1$. Si $n = 15$, quelle est la valeur de $k$ ?
5. 5. Dans une preuve par l'absurde, que faisons-nous en premier ?
6. 6. Pourquoi montrer que $2 + 4 = 6$ N'EST PAS une preuve que 'la somme de deux nombres pairs est paire' ?
7. 7. Si $a = 2m$ et $b = 2n$ sont des nombres pairs, qu'est-ce que $a + b$ en fonction de $m$ et $n$ ? Écrivez sous la forme $2(...)$
8. 8. Prouvez que le produit de deux nombres impairs est impair. Soit $a = 2m + 1$ et $b = 2n + 1$.
9. 9. Quelle affirmation décrit correctement un raisonnement circulaire dans une preuve ?
10. 10. Dans la preuve que $\sqrt{2}$ est irrationnel, nous avons supposé $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ sans facteurs communs. Nous avons montré que $a$ et $b$ doivent tous deux être pairs. Quel facteur commun partagent-ils ?
11. 11. Prouvez : La somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est impaire.
12. 12. L'énoncé 'Tous les nombres premiers sont impairs' semble vrai pour 3, 5, 7, 11, 13... Qu'est-ce qui réfute cet énoncé ?
13. 13. Prouvez par l'absurde : Il n'existe pas de plus grand entier.
14. 14. Si $a^2$ est pair, alors $a$ doit être pair. Pourquoi ? Parce que si $a$ était impair ($a = 2k+1$), alors $a^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k) + 1$, qui est... (pair/impair) ?
15. 15. Si '$P$ implique $Q$' est vrai, lequel des énoncés suivants doit aussi être vrai ?
16. 16. Prouvez : Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.