Volume des solides composés

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Un solide est un cylindre surmonté d'un cône, de sorte que la base circulaire du cône repose exactement sur le dessus du cylindre. Comment calcules-tu le volume du solide entier ?
1. a)Soustraire le volume du cône du volume du cylindre
2. b)Prendre seulement le cylindre, car le cône est trop petit
3. c)Multiplier le volume du cylindre par le volume du cône
4. d)Additionner le volume du cylindre et le volume du cône
Réponse: Additionner le volume du cylindre et le volume du cône
Le cône est fixé au cylindre, donc le solide occupe l'espace des deux parties : $V = V_{\text{cylindre}} + V_{\text{cône}}$ . On ne soustrait que lorsqu'une partie est retirée.
2.
Un cube de $4$ cm d'arête est collé sur un cube plus grand de $6$ cm d'arête. Quel est le volume total du solide en cm³ ?
Réponse: 280
Petit cube : $4^3 = 64$ cm³. Grand cube : $6^3 = 216$ cm³. Total : $64 + 216 = 280$ cm³.
3.
Un bloc en escalier est formé de deux pavés. Le pavé du bas mesure $8$ cm de long, $4$ cm de large et $2$ cm de haut. Un second pavé de $4$ cm de long, $4$ cm de large et $2$ cm de haut est posé dessus. Calcule le volume total en cm³.
Réponse: 96
1. Quel est le volume du pavé du bas en cm³ ? 64
2. Quel est le volume du pavé du haut en cm³ ? 32
3. Quel est le volume total en cm³ ? 96
4.
Quelle expression donne le volume d'une demi-boule de rayon $r$ ?
1. a) $\frac{1}{3}\pi r^3$
2. b) $2\pi r^2$
3. c) $\frac{4}{3}\pi r^3$
4. d) $\frac{2}{3}\pi r^3$
Réponse: $\frac{2}{3}\pi r^3$
Une demi-boule est la moitié d'une boule : $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$ . $\frac{4}{3}\pi r^3$ est la boule entière et $2\pi r^2$ est une aire, pas un volume.
5.
Un petit abri est un cube de $2$ m d'arête. Son toit est une pyramide à base carrée de $2$ m sur $2$ m (le dessus du cube) et de hauteur $1{,}5$ m. Quel est le volume total de l'abri en m³ ?
Réponse: 10
Cube : $2^3 = 8$ m³. Pyramide : $\frac{1}{3} \times 4 \times 1{,}5 = 2$ m³. Total : $8 + 2 = 10$ m³.
6.
Une maison modèle est un pavé de $6$ m de long, $4$ m de large et $3$ m de haut, surmonté d'un toit en pyramide. Le toit a la même base rectangulaire de $6$ m sur $4$ m et une hauteur de $2$ m. Calcule le volume total en m³.
Réponse: 88
1. Quel est le volume du pavé en m³ ? 72
2. Quelle est l'aire de la base $B$ du toit en m² ? 24
3. Quel est le volume du toit en m³ ? 16
4. Quel est le volume total en m³ ? 88
7.
Un cube en bois a $10$ cm d'arête. On découpe dans un coin un petit cube de $4$ cm d'arête. Quel volume de bois reste-t-il, en cm³ ?
Réponse: 936
1. Quel est le volume du cube entier en cm³ ? 1000
2. Quel est le volume du morceau découpé en cm³ ? 64
3. Combien de bois reste-t-il en cm³ ? 936
8.
Une maquette de fusée mesure $15$ cm de haut : un cylindre de rayon $2$ cm et de hauteur $9$ cm, surmonté d'un cône de rayon $2$ cm et de hauteur $6$ cm. Quelle expression donne son volume ?
1. a) $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6$
2. b) $\pi \cdot 2^2 \cdot 15$
3. c) $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \pi \cdot 2^2 \cdot 6$
4. d) $\pi \cdot 2^2 \cdot 15 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6$
Réponse: $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6$
Cylindre avec sa propre hauteur $9$ plus cône avec sa propre hauteur $6$ et le facteur $\frac{1}{3}$ : $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6 = 36\pi + 8\pi = 44\pi$ . La hauteur totale $15$ n'apparaît dans aucune formule.
9.
Une craie grasse est un cylindre de rayon $1$ cm et de longueur $9$ cm, avec une pointe en forme de cône de rayon $1$ cm et de hauteur $3$ cm. Utilise $\pi \approx 3{,}14$ pour calculer son volume en cm³.
Réponse: 31.4
1. Quel est le volume du cylindre en cm³ ? 28.26
2. Quel est le volume du cône en cm³ ? 3.14
3. Quel est le volume total en cm³ ? 31.4
10.
Un cornet de glace a un rayon de $3$ cm et une hauteur de $8$ cm et il est entièrement rempli. Une boule de glace en forme de demi-boule, de rayon $3$ cm, est posée dessus. Le volume total de glace est $k\pi$ cm³. Combien vaut $k$ ?
Réponse: 42
Cône : $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 8 = 24\pi$ . Demi-boule : $\frac{2}{3}\pi \times 27 = 18\pi$ . Total : $24\pi + 18\pi = 42\pi$ , donc $k = 42$ .
11.
Un récipient en forme de gélule est un cylindre de rayon $3$ cm et de longueur $12$ cm, avec une demi-boule de rayon $3$ cm à chaque bout. Utilise $\pi \approx 3{,}14$ et arrondis le volume total au cm³ près.
Réponse: 452
1. Quel est le volume du cylindre en cm³ ? 339.12
2. Quel est le volume des deux demi-boules ensemble en cm³ ? 113.04
3. Quel est le total exact avec $\pi \approx 3{,}14$ , en cm³ ? 452.16
4. Arrondis au cm³ près. 452
12.
Un bloc de bois mesure $10$ cm de long, $10$ cm de large et $6$ cm de haut. Un trou cylindrique de rayon $2$ cm est percé tout droit sur toute sa hauteur de $6$ cm. Avec $\pi \approx 3{,}14$ , quel volume de bois reste-t-il, arrondi au dixième ?
1. a)675,4 cm³
2. b)524,6 cm³
3. c)600 cm³
4. d)298,6 cm³
Réponse: 524,6 cm³
Bloc : $600$ cm³. Trou : $3{,}14 \times 4 \times 6 = 75{,}36$ cm³. Reste : $600 - 75{,}36 = 524{,}64 \approx 524{,}6$ cm³. Additionner donne $675{,}4$ , et prendre le diamètre $4$ comme rayon donne $298{,}6$ .
13.
Un silo est un cylindre de rayon $2$ m et de hauteur $8$ m, avec un toit en forme de demi-boule de rayon $2$ m. Utilise $\pi \approx 3{,}14$ . Quel est le volume du silo en m³, arrondi à l'unité ?
Réponse: 117
Cylindre : $\pi \times 2^2 \times 8 = 32\pi$ . Demi-boule : $\frac{2}{3}\pi \times 2^3 = \frac{16}{3}\pi$ . Total : $\frac{112}{3}\pi \approx \frac{112 \times 3{,}14}{3} \approx 117{,}23$ , donc environ $117$ m³.
14.
Un cylindre plein a un rayon de $6$ cm et une hauteur de $10$ cm. On y creuse un cône de même base (rayon $6$ cm) et de même hauteur ( $10$ cm), pointe vers le bas à l'intérieur du cylindre. Utilise $\pi \approx 3{,}14$ pour calculer le volume de matière restant, en cm³.
Réponse: 753.6
1. Quel est le volume du cylindre en cm³ ? 1130.4
2. Quel est le volume du cône en cm³ ? 376.8
3. Quel volume de matière reste-t-il en cm³ ? 753.6
15.
Un tuyau en métal mesure $50$ cm de long. Son rayon extérieur est de $6$ cm et son rayon intérieur (le trou) de $5$ cm. Quelle expression donne le volume de métal du tuyau ?
1. a) $\pi (6 - 5)^2 \cdot 50$
2. b) $\pi \cdot 6^2 \cdot 50$
3. c) $\pi \cdot 6^2 \cdot 50 + \pi \cdot 5^2 \cdot 50$
4. d) $\pi (6^2 - 5^2) \cdot 50$
Réponse: $\pi (6^2 - 5^2) \cdot 50$
Métal = cylindre extérieur moins trou : $\pi \cdot 6^2 \cdot 50 - \pi \cdot 5^2 \cdot 50 = \pi (6^2 - 5^2) \cdot 50 = 550\pi$ . Le choix $\pi (6 - 5)^2 \cdot 50 = 50\pi$ soustrait les rayons avant de les élever au carré, c'est faux.
16.
Un tuyau d'évacuation en béton mesure $200$ cm de long. Son rayon extérieur est de $10$ cm et son rayon intérieur de $8$ cm. Utilise $\pi \approx 3{,}14$ pour trouver combien de litres de béton il contient ( $1$ L $= 1000$ cm³).
Réponse: 22.608
1. Quel est le volume du cylindre extérieur en cm³ ? 62800
2. Quel est le volume du trou en cm³ ? 40192
3. Quel est le volume de béton en cm³ ? 22608
4. Combien de litres cela fait-il ? 22.608
17.
Un aquarium est un pavé de $30$ cm de long, $20$ cm de large et $20$ cm de haut. Une décoration pleine en forme de cylindre, de rayon $5$ cm et de hauteur $20$ cm, est posée debout à l'intérieur. Avec $\pi \approx 3{,}14$ , combien de litres d'eau faut-il pour remplir le reste de l'aquarium ? ( $1$ L $= 1000$ cm³)
Réponse: 10.43
Aquarium : $30 \times 20 \times 20 = 12000$ cm³. Décoration : $3{,}14 \times 5^2 \times 20 = 1570$ cm³. Eau : $12000 - 1570 = 10430$ cm³ $= 10{,}43$ L.
18.
Un solide est un cylindre surmonté d'une demi-boule, tous deux de rayon $3$ cm. Son volume total est $90\pi$ cm³. Quelle est la hauteur de la partie cylindrique ? (Travaille en fonction de $\pi$ .)
Réponse: 8
1. La demi-boule a pour volume $k\pi$ cm³. Combien vaut $k$ ? 18
2. La partie cylindrique a pour volume $m\pi$ cm³. Combien vaut $m$ ? 72
3. Résous $\pi \times 3^2 \times h = 72\pi$ . Combien vaut $h$ en cm ? 8