Volume des cônes

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle formule donne le volume d'un cône de rayon $r$ et de hauteur $h$ ?
1. a) $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
2. b) $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
3. c) $V = 2\pi r h$
4. d) $V = \pi r^2 h$
Réponse: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
La formule du cône est $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ . $\pi r^2 h$ est le cylindre, $\frac{4}{3}\pi r^3$ la boule et $2\pi r h$ l'aire latérale d'un cylindre, pas un volume.
2.
Un cylindre a un volume de 90 cm³. Un cône a la même base et la même hauteur. Quel est le volume du cône en cm³ ?
Réponse: 30
Le cône contient un tiers du cylindre : $90 \div 3 = 30$ cm³.
3.
Un cône a un rayon de 3 cm et une hauteur de 5 cm. Son volume est $\square\,\pi$ cm³. Quel nombre va dans la case ?
Réponse: 15
$V = \frac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 5 = \frac{45}{3}\pi = 15\pi$ cm³.
4.
Un cône de signalisation a une base de 10 cm de diamètre. Quelle valeur remplaces-tu pour $r$ dans la formule du volume ?
1. a)20 cm
2. b)2,5 cm
3. c)5 cm
4. d)10 cm
Réponse: 5 cm
$r = 10 \div 2 = 5$ cm. Avec 10 cm, $r^2$ serait 4 fois trop grand.
5.
Calcule le volume d'un cône de rayon 2 cm et de hauteur 6 cm. Utilise $\pi \approx 3{,}14$ et donne le résultat en cm³ (pas besoin d'arrondir).
Réponse: 25.12
1. Combien vaut $r^2$ ? 4
2. Combien vaut $r^2 \times h$ ? 24
3. Divise par 3. Qu'obtiens-tu ? 8
4. Multiplie par 3,14. Quel est le volume en cm³ ? 25.12
6.
Un chapeau de fête est un cône de rayon 3 cm et de hauteur 4 cm. Son volume est $\square\,\pi$ cm³. Trouve le nombre dans la case.
Réponse: 12
1. Combien vaut $r^2$ ? 9
2. Combien vaut $r^2 \times h$ ? 36
3. Divise par 3. Quel nombre se trouve devant $\pi$ ? 12
7.
Un cône a un rayon de 6 cm et une génératrice de 10 cm. Quelle est sa hauteur perpendiculaire ?
1. a)8 cm
2. b)4 cm
3. c)10 cm
4. d)16 cm
Réponse: 8 cm
$h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ , donc $h = 8$ cm. La génératrice (10 cm) est l'hypoténuse, donc la hauteur est forcément plus courte.
8.
Un tas de gravier est un cône de 4 m de diamètre et de 3 m de hauteur. Combien de m³ de gravier contient le tas ? Utilise $\pi \approx 3{,}14$ et arrondis au centième.
Réponse: 12.56
$r = 2$ m. $V = \frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 2^2 \times 3 = 3{,}14 \times 4 = 12{,}56$ m³.
9.
Un cornet de glace a un diamètre de 6 cm et une hauteur de 11 cm. Calcule son volume avec $\pi \approx 3{,}14$ , arrondi au dixième de cm³.
Réponse: 103.6
1. Quel est le rayon en cm ? 3
2. Combien vaut $r^2 \times h$ ? 99
3. Divise par 3. Qu'obtiens-tu ? 33
4. Multiplie par 3,14 (n'arrondis pas encore). 103.62
5. Arrondis au dixième. 103.6
10.
Tu doubles la hauteur d'un cône et tu gardes le même rayon. Que devient son volume ?
1. a)Il triple
2. b)Il ne change pas
3. c)Il double
4. d)Il devient 4 fois plus grand
Réponse: Il double
Le volume est proportionnel à $h$ , donc doubler $h$ double $V$ . Exemple : $r = 3$ , $h = 4$ donne $12\pi$ ; $h = 8$ donne $24\pi$ .
11.
Un cône a un volume de $12\pi$ cm³ et un rayon de 3 cm. Quelle est sa hauteur en cm ?
Réponse: 4
$3\pi h = 12\pi$ , donc $h = 12 \div 3 = 4$ cm. Vérification : $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 4 = 12\pi$ .
12.
Un entonnoir de cuisine est un cône de rayon 5 cm et de hauteur 9 cm. Combien de cm³ contient-il quand il est plein ? Utilise $\pi \approx 3{,}14$ (pas besoin d'arrondir).
Réponse: 235.5
1. Combien vaut $r^2$ ? 25
2. Combien vaut $r^2 \times h$ ? 225
3. Divise par 3. Qu'obtiens-tu ? 75
4. Multiplie par 3,14. Combien de cm³ ? 235.5
13.
Un cylindre et un cône ont tous les deux un rayon de 4 cm et une hauteur de 6 cm. Le cylindre contient $\square\,\pi$ cm³ de plus que le cône. Trouve le nombre dans la case.
Réponse: 64
1. Le cylindre vaut $\square\,\pi$ cm³. Quel nombre ? 96
2. Le cône vaut $\square\,\pi$ cm³. Quel nombre ? 32
3. Soustrais. Quel nombre se trouve devant $\pi$ ? 64
14.
Tu doubles le rayon d'un cône et tu gardes la même hauteur. Comment le nouveau volume se compare-t-il à l'ancien ?
1. a)8 fois plus grand
2. b)4 fois plus grand
3. c)2 fois plus grand
4. d)3 fois plus grand
Réponse: 4 fois plus grand
$(2r)^2 = 4r^2$ , donc le volume devient 4 fois plus grand. Exemple : $r = 3$ , $h = 4$ donne $12\pi$ ; $r = 6$ , $h = 4$ donne $48\pi$ .
15.
Un cône a un rayon de 5 cm et une génératrice de 13 cm. Son volume est $\square\,\pi$ cm³. Quel nombre va dans la case ?
Réponse: 100
$h^2 = 169 - 25 = 144$ , donc $h = 12$ . $V = \frac{1}{3}\pi \times 25 \times 12 = 100\pi$ cm³.
16.
Un cône a un volume de 301,44 cm³ et une hauteur de 8 cm. Trouve son rayon en cm. Utilise $\pi \approx 3{,}14$ .
Réponse: 6
1. Combien vaut $3 \times V$ ? 904.32
2. Combien vaut $\pi \times h$ avec $\pi \approx 3{,}14$ ? 25.12
3. Divise pour obtenir $r^2$ . 36
4. Combien vaut $r$ ? 6
17.
Une tente en forme de cône a un rayon de 9 dm et une génératrice de 15 dm. Calcule son volume en dm³. Utilise $\pi \approx 3{,}14$ (pas besoin d'arrondir).
Réponse: 1017.36
1. Combien vaut $h^2 = l^2 - r^2$ ? 144
2. Quelle est la hauteur $h$ en dm ? 12
3. Combien vaut $\frac{1}{3} \times r^2 \times h$ ? 324
4. Multiplie par 3,14. Quel est le volume en dm³ ? 1017.36
18.
Des gobelets en papier coniques ont un rayon de 3 cm et une hauteur de 10 cm. Combien de gobelets pleins faut-il pour remplir complètement une carafe de 1 litre (1000 cm³) ? Utilise $\pi \approx 3{,}14$ .
Réponse: 11
1. Combien vaut $\frac{1}{3} \times r^2 \times h$ ? 30
2. Quel est le volume d'un gobelet en cm³ ? 94.2
3. $1000 \div 94{,}2 \approx 10{,}6$ . Combien de gobelets pleins te faut-il ? 11