Un cube est-il un pavé droit ?

Oui. Un cube est un pavé droit dont la longueur, la largeur et la hauteur sont égales. C'est pourquoi $V = L \times l \times h$ devient $V = s \times s \times s$.

Comment trouver l'arête si je ne connais que le volume ?

Cherche le nombre qui, multiplié 3 fois par lui-même, donne le volume. C'est la racine cubique : $\sqrt[3]{125} = 5$ car $5^3 = 125$. Connaître les cubes parfaits jusqu'à $1000$ rend cela rapide.

Et si l'arête est une fraction ?

La formule marche de la même façon : $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$. Un cube d'une demi-unité d'arête a un volume d'un huitième d'unité cubique.

Ressources enseignants

Volume des cubes

Q: Pourquoi dit-on "$s$ au cube" pour $s^3$ ?

Parce que $s \times s \times s$ est exactement le volume d'un cube d'arête $s$. Le nom de la puissance vient de la forme !

Apprends à calculer le volume d'un cube avec V = s³, avec des arêtes entières et décimales, à retrouver l'arête à partir du volume et à relier cm³ et litres.

Élémentaire20 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un cube est un solide qui a 6 faces carrées identiques. Ses 12 arêtes ont toutes la même longueur, que l'on appelle

s

Le volume d'un cube est l'espace qu'il occupe à l'intérieur. Tu connais déjà le volume du parallélépipède rectangle (pavé droit) :

V = L \times l \times h

. Le cube est le cas particulier où la longueur, la largeur et la hauteur sont le même nombre

s

V = s \times s \times s = s^3

On lit

s^3

s

au cube". Le volume s'écrit toujours en unités cubiques : si l'arête est en cm, le volume est en cm³ ; si l'arête est en m, le volume est en m³.

Les nombres que l'on obtient en mettant au cube des nombres entiers s'appellent des cubes parfaits :

1,\ 8,\ 27,\ 64,\ 125,\ 216,\ 343,\ 512,\ 729,\ 1000

Le chemin inverse, du volume vers l'arête, s'appelle prendre la racine cubique :

s = \sqrt[3]{V}

. Par exemple,

\sqrt[3]{64} = 4

car

4 \times 4 \times 4 = 64

Essaie tout de suite

Quelle formule donne le volume d'un cube d'arête

s

Exemples résolus

Un bloc de bois est un cube de $5$ cm d'arête. Quel est son volume ?

Écris la formule du cube

$V = s^3 = s \times s \times s$ → Formule prête

Remplace l'arête par sa valeur

$V = 5 \times 5 \times 5$ → Valeur remplacée

Multiplie les deux premières arêtes

$5 \times 5 = 25$ → Aire d'une face : $25$ cm²

Multiplie par la troisième arête

$25 \times 5 = 125$ → $V = 125$ cm³

Réponse: Le volume du bloc est de $125$ cm³.

Erreurs courantes

Multiplier l'arête par 3 : pour $s = 5$ , écrire $V = 5 \times 3 = 15$

Pourquoi c'est faux: $s^3$ veut dire $s$ multiplié par lui-même 3 fois, pas $s$ fois 3.

Correct: $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$ cm³.

S'arrêter après deux arêtes : $5 \times 5 = 25$

Pourquoi c'est faux: $s \times s$ est l'aire d'UNE face (unités carrées). Le volume a besoin des trois dimensions.

Correct: Multiplie encore une fois par l'arête : $25 \times 5 = 125$ cm³, et écris des unités cubiques.

Penser que doubler l'arête double le volume

Pourquoi c'est faux: L'arête apparaît trois fois dans $s \times s \times s$ , donc chacun des trois facteurs double.

Correct: Doubler l'arête multiplie le volume par $2^3 = 8$ . La tripler multiplie le volume par $3^3 = 27$ .

Mal placer la virgule : $0{,}2^3 = 0{,}8$ ou $0{,}6$

Pourquoi c'est faux: Chaque multiplication par un nombre décimal ajoute des chiffres après la virgule : un chiffre trois fois donne trois chiffres après la virgule.

Correct: $0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}04$ , puis $0{,}04 \times 0{,}2 = 0{,}008$ . Une petite arête donne un volume encore plus petit.

Visuel interactif

Visualiseur 3D

Rotation X (20°)

Rotation Y (30°)

Longueur (5)

Faces

Arêtes

Sommets

Relation d'Euler: F + S − A = 6 + 8 − 12 = 2

Volume

V = s³

V = 5³ = 125

125 cm³

Aire de surface

SA = 6s²

SA = 6 · 5² = 150

150 cm²

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quelle formule donne le volume d'un cube d'arête $s$ ?

Pourquoi c'est important

Les cubes sont partout, et leur volume est le plus simple à calculer :

Cuisine : un glaçon de 3 cm d'arête contient $27$ cm³ d'eau
Litres : un cube de 10 cm d'arête contient exactement $1000$ cm³, soit 1 litre. C'est ainsi que le litre est défini !
Emballage : les cartons d'expédition, les boîtes de rangement et les dés sont des cubes
Construction : blocs de béton, réservoirs cubiques et pièces en forme de cube
Agrandissement : quand un cube devient 2 fois plus grand sur chaque arête, il contient 8 fois plus. Savoir cela t'aide à estimer les tailles et à éviter des erreurs coûteuses.

La formule du cube est aussi la première étape vers les cylindres, les cônes, les sphères et les pyramides, que tu verras dans les prochaines leçons.

Applications dans le monde réel

Bacs à glaçons

Les bacs à glaçons fabriquent de petits cubes de glace. Connaître le volume d'un glaçon te dit combien d'eau il faut pour tout le bac.

Exemple:

Un glaçon de $2$ cm d'arête contient $2^3 = 8$ cm³ d'eau.

1Essaie par toi-même

Un bac fait $12$ glaçons. Chaque glaçon a une arête de $3$ cm.

Combien de cm³ d'eau faut-il pour remplir tout le bac ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule le volume d'un glaçon, puis multiplie par 12 :

Cubes de rangement

Les boîtes de rangement en tissu pour étagères ont souvent la forme d'un cube. Leur volume en litres te dit ce qu'elles peuvent contenir.

Exemple:

Un cube de rangement de $10$ cm d'arête contient $1000$ cm³, soit exactement $1$ litre.

2Essaie par toi-même

Un cube de rangement a une arête de $40$ cm.

Combien de litres contient-il ? ( $1$ L $= 1000$ cm³)

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Mets l'arête au cube, puis divise par 1000 :

Cubes de construction

Les fabricants de jouets rangent de petits cubes de construction dans de plus grandes boîtes cubiques. Il faut un nombre entier de cubes le long de chaque arête.

Exemple:

Une boîte de $6$ cm d'arête contient $3 \times 3 \times 3 = 27$ cubes de $2$ cm d'arête.

3Essaie par toi-même

Une boîte en forme de cube a une arête intérieure de $10$ cm. On la remplit de petits cubes de $2$ cm d'arête.

Combien de petits cubes tiennent dans la boîte ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Compte les cubes le long d'une arête, puis mets ce nombre au cube :

Points clés

1Un cube a 6 faces carrées identiques et 12 arêtes de même longueur $s$
2Volume d'un cube : $V = s \times s \times s = s^3$ , le cas particulier de $L \times l \times h$
3Écris toujours des unités cubiques : cm³, m³, dm³
4Les cubes parfaits à connaître : $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$
5Pour retrouver l'arête à partir du volume, prends la racine cubique : $s = \sqrt[3]{V}$
6Doubler l'arête multiplie le volume par $8$ ; un cube de $10$ cm d'arête contient $1$ litre

Questions fréquentes

Parce que

s \times s \times s

est exactement le volume d'un cube d'arête

s

. Le nom de la puissance vient de la forme !

Glossaire

Cube: Un solide à 6 faces carrées identiques, 12 arêtes de même longueur et 8 sommets
Arête: Un segment où deux faces se rencontrent ; dans un cube, toutes les arêtes ont la même longueur $s$
Unité cubique: Le volume d'un cube d'arête 1 unité, par exemple 1 cm³ ou 1 m³
Cube parfait: Un nombre qui est le cube d'un nombre entier, par exemple $27 = 3^3$ ou $64 = 4^3$
Racine cubique: Le nombre qui, mis au cube, donne une valeur : $\sqrt[3]{216} = 6$ car $6^3 = 216$

Carte des formules

Volume d'un cube

V = s^3 = s \times s \times s

Multiplie l'arête par elle-même trois fois

Arête à partir du volume

s = \sqrt[3]{V}

Trouve le nombre qui, mis au cube, donne le volume

Agrandir l'arête

(k \cdot s)^3 = k^3 \cdot s^3

Arête fois 2 donne volume fois 8 ; arête fois 3 donne volume fois 27

Le cube d'un litre

10^3 = 1000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ L}

Un cube de 10 cm d'arête contient exactement 1 litre

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