Critères de divisibilité combinés

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quel couple de tests prouve ensemble qu'un nombre est divisible par $12$ ?
1. a)2 et 6
2. b)3 et 4
3. c)3 et 6
4. d)2 et 3
Réponse: 3 et 4
$12 = 3 \times 4$ et 3 et 4 sont premiers entre eux, donc réussir les deux tests prouve la divisibilité par 12. 2 et 6 ont le diviseur commun 2 (18 réussit les deux mais n'est pas divisible par 12), 2 et 3 ne prouvent que la divisibilité par 6, et 3 et 6 aussi seulement 6.
2.
Un nombre est divisible par $2$ et par $9$ . Quel nombre compris entre $10$ et $20$ doit aussi le diviser ?
Réponse: 18
2 et 9 n'ont pas d'autre diviseur commun que 1, donc le nombre est divisible par $2 \times 9 = 18$ .
3.
$2412$ est-il divisible par $12$ ? Utilise les tests de 3 et de 4, puis calcule le quotient.
Réponse: 201
1. Quelle est la somme des chiffres de 2412 ? 9
2. Quel nombre forment les deux derniers chiffres ? 12
3. Les deux tests sont réussis. Combien fait $2412 \div 12$ ? 201
4.
Quel nombre est divisible par $11$ ?
1. a)3542
2. b)9091
3. c)4825
4. d)6170
Réponse: 3542
Pour $3542$ : $2 - 4 + 5 - 3 = 0$ , un multiple de 11, donc $3542 = 11 \times 322$ . Les autres donnent $7$ , $-12$ et $-17$ .
5.
Calcule la somme alternée de $2816$ , en commençant par $+$ au chiffre des unités : $6 - 1 + 8 - 2$ .
Réponse: 11
$6 - 1 + 8 - 2 = 11$ . Comme 11 est un multiple de 11, $2816$ est divisible par 11 : $2816 = 11 \times 256$ .
6.
$735$ est-il divisible par $15$ ? Utilise les tests de 5 et de 3, puis calcule le quotient.
Réponse: 49
1. Quel est le dernier chiffre de 735 ? 5
2. Quelle est la somme des chiffres de 735 ? 15
3. Les deux tests sont réussis. Combien fait $735 \div 15$ ? 49
7.
$18$ est divisible par $2$ et par $6$ , mais pas par $12$ . Pourquoi ?
1. a)2 et 6 ont le diviseur commun 2
2. b)18 est plus petit que 2 × 12
3. c)6 n'est pas un diviseur de 12
4. d)12 n'a pas de critère de divisibilité
Réponse: 2 et 6 ont le diviseur commun 2
2 et 6 ont le diviseur commun 2, ils ne sont donc pas premiers entre eux. Réussir les deux tests prouve seulement la divisibilité par $\text{PPCM}(2, 6) = 6$ , pas par 12.
8.
Trouve le chiffre $d$ qui rend $7d4$ divisible par $18$ .
Réponse: 7
$18 = 2 \times 9$ . Le nombre se termine par 4, il est donc pair. La somme des chiffres $7 + d + 4 = 11 + d$ doit être un multiple de 9, donc $11 + d = 18$ et $d = 7$ . Vérification : $774 \div 18 = 43$ .
9.
$61\,809$ est-il divisible par $11$ ? Utilise la somme alternée, puis calcule le quotient.
Réponse: 5619
1. Additionne les chiffres aux 1re, 3e et 5e places en partant de la droite. 23
2. Additionne les chiffres aux 2e et 4e places en partant de la droite. 1
3. Quelle est la différence des deux sommes ? 22
4. Donc 11 divise 61 809. Combien fait $61\,809 \div 11$ ? 5619
10.
$4374$ est-il divisible par $18$ ? Utilise les tests de 2 et de 9, puis calcule le quotient.
Réponse: 243
1. Quel est le dernier chiffre de 4374 ? 4
2. Quelle est la somme des chiffres de 4374 ? 18
3. Les deux tests sont réussis. Combien fait $4374 \div 18$ ? 243
11.
Quel nombre est divisible par $36$ ?
1. a)2466
2. b)2556
3. c)4518
4. d)1236
Réponse: 2556
$2556$ : $56 \div 4 = 14$ et $2 + 5 + 5 + 6 = 18$ , donc il est divisible par 36 ( $2556 = 36 \times 71$ ). $2466$ et $4518$ échouent au test de 4 (66 et 18), $1236$ échoue au test de 9 (somme des chiffres 12).
12.
Combien des nombres $2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12$ divisent $4620$ ?
Réponse: 8
Se termine par 0 : 2, 5, 10. Somme des chiffres 12 : 3 oui, 9 non. $20 \div 4 = 5$ : 4 oui. $620 \div 8 = 77{,}5$ : 8 non. Somme alternée $0 - 2 + 6 - 4 = 0$ : 11 oui. Couples : 6 et 12 oui. Donc 8 nombres : 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12.
13.
$4530$ est divisible par $2$ et par $6$ . Est-il divisible par $12$ ? Vérifie avec le couple de nombres premiers entre eux 3 et 4.
Réponse: 6
1. Quelle est la somme des chiffres de 4530 ? 12
2. Quel nombre forment les deux derniers chiffres ? 30
3. Quel est le reste de $30 \div 4$ ? 2
4. Le test de 4 échoue. Quel est le reste de $4530 \div 12$ ? 6
14.
Quel chiffre $d$ rend $4d52$ divisible par $36$ ?
1. a)9
2. b)3
3. c)7
4. d)4
Réponse: 7
$52 \div 4 = 13$ , donc le test de 4 est réussi pour tout $d$ . La somme des chiffres $4 + d + 5 + 2 = 11 + d$ doit être un multiple de 9, donc $d = 7$ . Vérification : $4752 \div 36 = 132$ .
15.
Recherche rapide des diviseurs : combien des nombres $2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12$ divisent $2520$ ?
Réponse: 9
1. Quelle est la somme des chiffres de 2520 ? 9
2. Teste 8 avec les trois derniers chiffres. Combien fait $520 \div 8$ ? 65
3. Quelle est la somme alternée de 2520, en commençant par + au chiffre des unités ? 1
4. Compte les nombres de la liste qui divisent 2520. 9
16.
$33 = 3 \times 11$ . Trouve le chiffre $d$ qui rend $8d14$ divisible par $33$ .
Réponse: 5
Pour 11 : $4 - 1 + d - 8 = d - 5$ doit être un multiple de 11, et parmi les chiffres, seul $d = 5$ convient. Pour 3 : $8 + 5 + 1 + 4 = 18$ , divisible par 3. Donc $d = 5$ : $8514 \div 33 = 258$ .
17.
Trouve le chiffre $d$ qui rend $52d6$ divisible par $12$ .
Réponse: 5
1. Pour combien de chiffres $d$ le nombre $d6$ est-il un multiple de 4 ? 5
2. Quelle est la somme des chiffres de 52d6 sans $d$ ? 13
3. Quel chiffre impair $d$ rend $13 + d$ multiple de 3 ? 5
4. Vérifie : combien fait $5256 \div 12$ ? 438
18.
$132 = 11 \times 12$ . $7128$ est-il divisible par $132$ ? Vérifie 11 et 12, puis calcule le quotient.
Réponse: 54
1. Quel est le plus grand diviseur commun de 11 et 12 ? 1
2. Quelle est la somme des chiffres de 7128 ? 18
3. Les deux derniers chiffres forment 28. Combien fait $28 \div 4$ ? 7
4. Quelle est la somme alternée de 7128, en commençant par + au chiffre des unités ? 0
5. Tous les tests sont réussis. Combien fait $7128 \div 132$ ? 54