Guide de l'enseignant: Critères de divisibilité combinés

Combine des critères simples pour tester 12, 15, 18 et 36, apprends la somme alternée pour 11 et trouve tous les diviseurs de 2 à 12 en quelques secondes.

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Quiz de classe

10 questions sur Divisibilité. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Combiner les critères de divisibilité de facteurs premiers entre eux pour tester 12, 15, 18 et 36
Expliquer avec un contre-exemple pourquoi on ne peut pas combiner les critères de facteurs non premiers entre eux, comme 2 et 6, pour tester leur produit
Appliquer la somme alternée pour tester la divisibilité par 11
Trouver rapidement tous les diviseurs de 2 à 12 d'un nombre et résoudre des problèmes de chiffres manquants avec deux critères

Prérequis

• Critères de divisibilité par 2, 5 et 10 (leçon Divisibilité par 2, 5 et 10)
• Critères de la somme des chiffres pour 3 et 9 (leçon Divisibilité par 3 et 9)
• Critères de 4, 8 et 6 = 2 × 3 (leçon Divisibilité par 4, 6 et 8)
• Diviseurs, multiples et restes

Amorces de discussion

1. 18 est divisible par 2 et par 6. Pourquoi n'est-il pas divisible par 12 ?
2. Quels couples de nombres pourrais-tu utiliser pour tester 24 ? Quels couples donneraient de fausses réponses ?
3. Pourquoi 11 a-t-il besoin d'une somme alternée alors que 9 n'a besoin que de la somme des chiffres ?
4. Un nombre réussit les tests de 4 et de 9. Quels autres nombres doivent le diviser ?
5. Dans la vie de tous les jours, quand voudrais-tu savoir si un nombre est divisible par 12 ou 15 ?

Idées reçues courantes

Deux facteurs quelconques dont le produit est le diviseur donnent un test valable (12 = 2 × 6)

Remédiation: Fais tester 18, 30 et 42 avec 2 et 6, puis diviser par 12. Relie l'échec au diviseur commun 2 et à PPCM(2, 6) = 6.

Une somme alternée de 0 signifie que le nombre n'est pas divisible par 11

Remédiation: Demande combien fait 0 ÷ 11. Montre 1386 : 6 - 8 + 3 - 1 = 0 et 1386 = 11 × 126.

Si un nombre est divisible par 12, il est aussi divisible par 24

Remédiation: Compare 36 (divisible par 12, pas par 24) et 48. La divisibilité va du produit vers ses facteurs, pas l'inverse.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Donne un tableau à deux colonnes : test 1, test 2, les deux réussis ?
• Commence par 15 = 3 × 5 et 18 = 2 × 9, où les deux tests sont faciles
• Utilise seulement des nombres à trois et quatre chiffres

Pour les élèves au niveau:

• Faire des recherches complètes de diviseurs de 2 à 12 sur des nombres à quatre chiffres
• Résoudre des problèmes de chiffres manquants pour 12, 18 et 36
• Trouver et expliquer des contre-exemples pour des couples non premiers entre eux

Pour les élèves avancés:

• Construire des tests pour 24, 45, 72 et 99 à partir de couples premiers entre eux
• Démontrer le critère de 11 avec les restes des puissances de 10
• Tester des nombres à 12 chiffres pour 11 et 12 et vérifier avec l'arithmétique modulaire

Alignement aux standards

4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)
Trouver toutes les paires de facteurs d'un nombre entier et déterminer s'il est un multiple d'un nombre à un chiffre donné
6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)
Trouver le plus grand diviseur commun et le plus petit commun multiple de deux nombres entiers

Ressources de la leçon

visualTableau d'entraînement à la divisibilité
Les élèves devinent oui ou non pour chaque diviseur de 2 à 12, puis découvrent chaque critère et son verdict
activityTrouve le contre-exemple
Par deux, les élèves cherchent des nombres qui réussissent deux tests mais pas le produit (2 et 6, 4 et 6, 3 et 12) et expliquent pourquoi
gameCourse au chiffre manquant
Les équipes cherchent le plus vite possible le chiffre qui rend un nombre divisible par 12, 18 ou 36
worksheetGrille de recherche des diviseurs
Une grille de nombres à tester pour 2 à 12, y compris 11 avec la somme alternée

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Certains diviseurs n'ont pas de critère à eux, mais tu peux combiner deux critères simples.

Critère combiné : si

a

b

sont premiers entre eux (leur seul diviseur commun est

1

), alors un nombre divisible par

a

et par

b

est divisible par

a \times b

Diviseur	Test	Pourquoi ça marche
$12 = 3 \times 4$	somme des chiffres divisible par 3 et deux derniers chiffres divisibles par 4	3 et 4 sont premiers entre eux
$15 = 3 \times 5$	somme des chiffres divisible par 3 et dernier chiffre 0 ou 5	3 et 5 sont premiers entre eux
$18 = 2 \times 9$	dernier chiffre pair et somme des chiffres divisible par 9	2 et 9 sont premiers entre eux
$36 = 4 \times 9$	deux derniers chiffres divisibles par 4 et somme des chiffres divisible par 9	4 et 9 sont premiers entre eux

Attention :

12 = 2 \times 6

n'est PAS un test valable, car 2 et 6 ont le diviseur commun 2. Le nombre

18

est divisible par 2 et par 6, mais

18 \div 12 = 1{,}5

. En général, réussir les tests de

a

et de

b

prouve la divisibilité par

\text{PPCM}(a, b)

, qui vaut

a \times b

seulement si

a

b

sont premiers entre eux.

Divisibilité par 11 (somme alternée) : commence au chiffre des unités, puis ajoute et soustrais les chiffres à tour de rôle :

+ - + - \dots

Si le résultat est divisible par 11 (cela inclut

0

11

-11

22

), le nombre est divisible par 11.

82\,918 : \quad 8 - 1 + 9 - 2 + 8 = 22 \Rightarrow 82\,918 \text{ est divisible par } 11

Exemples résolus

7128

est-il divisible par

12

Décompose 12 en facteurs premiers entre eux

12 = 3 \times 4

, et 3 et 4 n'ont pas d'autre diviseur commun que 1 → Teste 3 et 4

Teste 3 avec la somme des chiffres

7 + 1 + 2 + 8 = 18

, et

18

est divisible par 3

Teste 4 avec les deux derniers chiffres

Les deux derniers chiffres forment

28

, et

28 \div 4 = 7

→ Divisible par 4

Combine et vérifie

Les deux tests sont réussis, donc 12 divise le nombre :

7128 \div 12 = 594

→ Divisible par 12

Réponse: Oui, $7128$ est divisible par $12$ ( $7128 = 12 \times 594$ ).

Erreurs courantes

Tester 12 avec les critères de 2 et de 6

Pourquoi c'est faux: 2 et 6 ont le diviseur commun 2, donc réussir les deux tests prouve seulement la divisibilité par 6. Contre-exemple : $18$ (et aussi $30$ ) est divisible par 2 et 6, mais pas par 12.

Correct: Utilise des facteurs premiers entre eux : $12 = 3 \times 4$ . Vérifie la somme des chiffres pour 3 et les deux derniers chiffres pour 4.

Tester 36 avec 3 et 12

Pourquoi c'est faux: 3 et 12 ont le diviseur commun 3. $24$ est divisible par 3 et par 12, mais $24 \div 36$ n'est pas un nombre entier.

Correct: Utilise $36 = 4 \times 9$ : deux derniers chiffres divisibles par 4 et somme des chiffres divisible par 9.

Croire qu'un seul test réussi suffit

Pourquoi c'est faux: Un critère combiné demande les DEUX tests. $25$ se termine par 5 mais la somme de ses chiffres vaut 7, donc il n'est pas divisible par 15.

Correct: Vérifie chaque facteur du couple. Si un test échoue, le nombre n'est pas divisible par le produit.

Lire une somme alternée de $0$ ou $-11$ comme non divisible par 11

Pourquoi c'est faux: $0$ , $-11$ et $-22$ sont aussi des multiples de 11. Pour $9174$ : $4 - 7 + 1 - 9 = -11$ , et en effet $9174 = 11 \times 834$ .

Correct: Le nombre est divisible par 11 dès que la somme alternée vaut $0$ ou n'importe quel multiple de 11, positif ou négatif.

Pourquoi c'est important

Les critères combinés transforment une grande question en deux vérifications rapides :

Partager équitablement : peut-on donner 1350 autocollants à 15 classes sans reste ? Deux vérifications disent oui.
Horaires : une journée compte 1440 minutes, donc un tram toutes les 36 minutes remplit la journée exactement si 1440 est divisible par 36.
Fractions : voir que 12 ou 18 divise le numérateur et le dénominateur permet de simplifier une fraction en une étape.
Très grands nombres : un nombre à 12 chiffres se teste pour 11 ou 12 en quelques secondes, même quand la calculatrice affiche trop peu de chiffres.

L'idée derrière chaque critère combiné, les facteurs premiers entre eux, est aussi la clé du plus petit commun multiple et de nombreuses énigmes à chiffres manquants.

Applications dans le monde réel

Partager équitablement

Les enseignants, les entraîneurs et les organisateurs doivent souvent savoir si des objets peuvent être partagés sans reste.

Exemple:

Une école a 1350 autocollants pour 15 classes. $15 = 3 \times 5$ : le dernier chiffre est 0 (divisible par 5) et $1 + 3 + 5 + 0 = 9$ (divisible par 3). Les autocollants peuvent donc être partagés équitablement.

1Essaie par toi-même

Une école veut donner 1350 autocollants à 15 classes, le même nombre à chaque classe.

Combien d'autocollants reçoit chaque classe ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris la division qui donne le nombre d'autocollants par classe :

Horaires

Les responsables des transports veulent des départs qui se répètent de la même façon chaque jour. Une journée compte $24 \times 60 = 1440$ minutes.

Exemple:

Un bus toutes les 12 minutes remplit une journée exactement : $1 + 4 + 4 + 0 = 9$ (divisible par 3) et $40 \div 4 = 10$ , donc 1440 est divisible par 12, ce qui donne 120 départs.

2Essaie par toi-même

Un tram part toutes les 36 minutes, jour et nuit, à partir de minuit.

Combien de trams partent en une journée de 1440 minutes ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris la division qui donne le nombre de départs :

Le test des 12 chiffres

Beaucoup de calculatrices n'affichent que 8 à 10 chiffres, elles ne peuvent donc pas diviser exactement un nombre à 12 chiffres. Les critères de divisibilité marchent pour des nombres de n'importe quelle longueur.

Exemple:

Pour $123\,456\,789\,012$ , la somme des chiffres vaut $48$ (divisible par 3) et les deux derniers chiffres forment $12$ (divisible par 4), donc le nombre est divisible par 12.

3Essaie par toi-même

Un code à 12 chiffres est $123\,456\,789\,012$ . Tu veux savoir s'il est divisible par 12 et par 11, sans calculatrice.

Quel est le reste de la division de $123\,456\,789\,012$ par 12 ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le reste :

Points clés

1Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, un nombre divisible par $a$ et par $b$ est divisible par $a \times b$
2Teste 12 avec 3 et 4, 15 avec 3 et 5, 18 avec 2 et 9, 36 avec 4 et 9
3Ne teste jamais un produit avec deux facteurs qui ont un diviseur commun : 18 est divisible par 2 et 6 mais pas par 12
4Divisible par 11 : la somme alternée des chiffres ( $+ - + - \dots$ à partir des unités) est un multiple de 11, y compris $0$ et les multiples négatifs
5Pour une recherche rapide des diviseurs, utilise les tests du dernier chiffre, la somme des chiffres et la somme alternée, puis combine les couples premiers entre eux
6Pour un chiffre manquant avec deux critères, liste les chiffres qui réussissent chaque critère et garde ceux qui sont dans les deux listes

Questions fréquentes

Pourquoi les deux facteurs doivent-ils être premiers entre eux ?

Un nombre divisible par

a

et par

b

est un multiple commun de

a

b

, il est donc divisible par

\text{PPCM}(a, b)

. Quand

a

b

sont premiers entre eux,

\text{PPCM}(a, b) = a \times b

. Quand ils ont un diviseur commun, le PPCM est plus petit :

\text{PPCM}(2, 6) = 6

, pas 12.

Pourquoi la somme alternée marche-t-elle pour 11 ?

10 = 11 - 1

, donc 10 laisse le reste

-1

dans la division par 11,

100 = 99 + 1

laisse

+1

1000 = 1001 - 1

laisse

-1

, et ainsi de suite. Chaque chiffre compte donc avec le signe

+, -, +, -, \dots

à partir des unités, et le nombre a le même reste que sa somme alternée.

Est-ce important de commencer la somme alternée par la gauche ou par la droite ?

Pour la réponse oui ou non, non : les deux résultats sont égaux ou opposés, et

-22

est un multiple de 11 exactement quand

22

en est un. Commencer au chiffre des unités avec

+

garde en plus le reste du nombre (ajoute ou soustrais 11 jusqu'à tomber entre 0 et 10), c'est donc la meilleure habitude.

Puis-je tester 24 avec 4 et 6 ?

Non, 4 et 6 ont le diviseur commun 2.

12

est divisible par 4 et 6 mais pas par 24. Utilise le couple de nombres premiers entre eux

24 = 3 \times 8

: somme des chiffres divisible par 3 et trois derniers chiffres divisibles par 8.

Glossaire

Premiers entre eux: Deux nombres sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1. Exemple : 4 et 9 sont premiers entre eux, 2 et 6 ne le sont pas.
Critère de divisibilité combiné: Un test pour un produit $a \times b$ de nombres premiers entre eux : le nombre doit réussir le test de $a$ et le test de $b$ .
Somme alternée: Les chiffres ajoutés et soustraits à tour de rôle à partir des unités : pour 2816, elle vaut $6 - 1 + 8 - 2 = 11$ .
Somme des chiffres: La somme de tous les chiffres d'un nombre. La somme des chiffres de 1980 est $1 + 9 + 8 + 0 = 18$ .
Reste: Ce qui reste après la division. $18 \div 12 = 1$ reste $6$ .
Plus petit commun multiple (PPCM): Le plus petit nombre qui est un multiple des deux nombres. $\text{PPCM}(3, 4) = 12$ , $\text{PPCM}(2, 6) = 6$ .

Carte des formules

Critère combiné

a, b

premiers entre eux :

a \mid n

b \mid n \Rightarrow a \times b \mid n

Ne marche que si les deux facteurs n'ont pas d'autre diviseur commun que 1

Divisible par 12

12 = 3 \times 4

Somme des chiffres divisible par 3 et deux derniers chiffres divisibles par 4

Divisible par 15

15 = 3 \times 5

Somme des chiffres divisible par 3 et dernier chiffre 0 ou 5

Divisible par 18

18 = 2 \times 9

Dernier chiffre pair et somme des chiffres divisible par 9

Divisible par 36

36 = 4 \times 9

Deux derniers chiffres divisibles par 4 et somme des chiffres divisible par 9

Divisible par 11

d_0 - d_1 + d_2 - d_3 + \dots

La somme alternée à partir des unités est un multiple de 11 (y compris 0)

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Pour les élèves en difficulté:

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

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Horaires

Le test des 12 chiffres

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Critère combiné

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