Critères de divisibilité

Apprends des astuces rapides pour savoir si un nombre se divise exactement par un autre sans faire de division posée.

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Définition

Un critère de divisibilité est un raccourci qui te permet de savoir si un nombre se divise exactement par un autre, sans reste.
Quand un nombre se divise exactement, on dit que le plus grand nombre est divisible par le plus petit.
36÷4=9 (pas de reste)⇒36 est divisible par 436 \div 4 = 9 \text{ (pas de reste)} \Rightarrow 36 \text{ est divisible par } 4
37÷4=9 reste 1⇒37 n’est PAS divisible par 437 \div 4 = 9 \text{ reste } 1 \Rightarrow 37 \text{ n'est PAS divisible par } 4

Essaie tout de suite

Quel nombre est divisible par 22 ?

Exemples résolus

246246 est-il divisible par 22 ?
1

Regarde le dernier chiffre

Le dernier chiffre de 246246 est 66 → Dernier chiffre : 66
2

Vérifie s'il est pair (0, 2, 4, 6 ou 8)

66 est un nombre pair → Oui, 66 est pair
3

Applique la règle

Si le dernier chiffre est pair, le nombre entier est divisible par 22

Erreurs courantes

Utiliser la règle du dernier chiffre pour la divisibilité par 3

Pourquoi c'est faux: Contrairement à la divisibilité par 2 ou 5, le dernier chiffre seul ne dit rien sur la divisibilité par 3. Par exemple, 1313 se termine par 33 mais n'est PAS divisible par 33.

Correct: Pour la divisibilité par 3 : additionne TOUS les chiffres et vérifie si cette somme est divisible par 3.

Vérifier seulement la divisibilité par 2 OU 3 pour la divisibilité par 6

Pourquoi c'est faux: Un nombre doit passer les DEUX tests. Par exemple, 99 est divisible par 33 mais pas par 22, donc il n'est pas divisible par 66.

Correct: Pour la divisibilité par 6, le nombre doit être divisible par 2 ET par 3.

Confondre les règles pour 3 et 9

Pourquoi c'est faux: Les deux règles impliquent de faire la somme des chiffres, mais elles vérifient des diviseurs différents. Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3, mais pas l'inverse.

Correct: Pour 3 : somme des chiffres divisible par 3. Pour 9 : somme des chiffres divisible par 9. Exemple : 1212 (somme 33) est divisible par 33 mais pas par 99.

Regarder seulement le dernier chiffre pour la divisibilité par 4

Pourquoi c'est faux: Contrairement à 2 et 5, tu as besoin des deux derniers chiffres pour 4. Par exemple, 1414 se termine par 44 mais 14÷4=314 \div 4 = 3 reste 22.

Correct: Pour la divisibilité par 4 : vérifie si les DEUX derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.

Visuel interactif

Critères de divisibilité

432

Pour 2 : regarde le dernier chiffre.

Touche un diviseur pour voir son critère sur ce nombre.

432 est-il divisible par 2 ?

Le dernier chiffre est 2. Il est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).

432 est divisible par 2.

Vérification par la division : 432 ÷ 2 = 216

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Quel nombre est divisible par 22 ?

Pourquoi c'est important

Les critères de divisibilité font gagner du temps et de l'énergie mentale :
  • Simplifier des fractions : Trouve rapidement les diviseurs communs pour réduire 1218\frac{12}{18} à 23\frac{2}{3}
  • Calcul mental : Sache instantanément que 150 personnes peuvent être réparties en groupes de 5
  • Décomposition en facteurs premiers : Trouve les facteurs plus vite lors de la construction d'arbres de facteurs
  • Vie quotidienne : Partager une addition de 45€ entre 5 amis ? Oui, ça tombe juste !
Ces règles sont comme des raccourcis mentaux que les mathématiciens utilisent chaque jour.

Applications dans le monde réel

Partager les frais équitablement

Quand on partage une addition entre amis, les critères de divisibilité permettent de savoir instantanément si ça tombe juste.

Exemple:

Une addition de restaurant est de 72€. Est-ce que 6 personnes peuvent la partager équitablement ? Vérification : 7272 se termine par 22 (divisible par 22) et 7+2=97 + 2 = 9 (divisible par 33), donc oui, divisible par 66. Chacun paie 12€.

1Essaie par toi-même

Un groupe de 9 amis veut partager une addition de 108€ équitablement.

Est-ce possible ? Combien paie chaque personne ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

La somme des chiffres de 108 est 9, donc 108 est divisible par 9. Écris la division qui donne la part de chaque personne :

Organiser des objets en groupes

Les enseignants, entraîneurs et organisateurs d'événements utilisent la divisibilité pour répartir des personnes ou objets en groupes égaux.

Exemple:

Une enseignante a 28 élèves. Peut-elle faire des groupes de 4 ? Vérification : Les deux derniers chiffres sont 2828, et 28÷4=728 \div 4 = 7. Oui ! Elle peut faire 7 groupes de 4.

2Essaie par toi-même

Un entraîneur a 45 joueurs et veut former des équipes de 5.

Est-ce possible ? Combien d'équipes peuvent être formées ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

45 se termine par 5, donc il est divisible par 5. Écris la division qui donne le nombre d'équipes :

Points clés

  • 1Les critères de divisibilité sont des raccourcis pour vérifier si un nombre se divise exactement par un autre
  • 2Divisible par 2 : le dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6, 8)
  • 3Divisible par 3 : la somme de tous les chiffres est divisible par 3
  • 4Divisible par 4 : les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4
  • 5Divisible par 5 : le dernier chiffre est 0 ou 5
  • 6Divisible par 6 : divisible par 2 ET 3
  • 7Divisible par 9 : la somme de tous les chiffres est divisible par 9
  • 8Divisible par 10 : le dernier chiffre est 0

Questions fréquentes

C'est lié à la valeur des positions ! 10=9+110 = 9 + 1, 100=99+1100 = 99 + 1, 1000=999+11000 = 999 + 1, et 99, 9999, 999999 sont tous des multiples de 99 (et de 33). Donc un nombre a le même reste que la somme de ses chiffres quand on divise par 99 (ou 33). Exemple : 531=5×99+3×9+(5+3+1)531 = 5 \times 99 + 3 \times 9 + (5 + 3 + 1).
C'est lié à la valeur des positions ! 10=9+110 = 9 + 1, 100=99+1100 = 99 + 1, 1000=999+11000 = 999 + 1, et 99, 9999, 999999 sont tous des multiples de 99 (et de 33). Donc un nombre a le même reste que la somme de ses chiffres quand on divise par 99 (ou 33). Exemple : 531=5×99+3×9+(5+3+1)531 = 5 \times 99 + 3 \times 9 + (5 + 3 + 1).
Oui, mais elle est plus compliquée ! Double le dernier chiffre, soustrais-le du reste et vérifie si le résultat est divisible par 7. Dans la plupart des cas, il est plus simple de diviser directement.
Oui ! Puisque 9 = 3 fois 3, tout multiple de 9 est automatiquement un multiple de 3. Mais pas l'inverse : 12 est divisible par 3 mais pas par 9.

Glossaire

Divisible
Un nombre est divisible par un autre si la division ne laisse pas de reste. Exemple : 12 est divisible par 3.
Reste
Ce qui reste après la division. Exemple : 14 divisé par 3 égale 4 reste 2.
Diviseur
Un nombre qui divise exactement un autre. Exemple : 3 est un diviseur de 12.
Nombre pair
Un nombre divisible par 2 (se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8).
Somme des chiffres
Le résultat de l'addition de tous les chiffres d'un nombre. Exemple : la somme des chiffres de 456 est 4 + 5 + 6 = 15.

Carte des formules

Divisible par 2

Dernier chiffre : 0, 2, 4, 6 ou 8

Vérifie si le chiffre des unités est pair

Divisible par 3

Somme des chiffres divisible par 3

Additionne tous les chiffres et teste la somme

Divisible par 4

2 derniers chiffres divisibles par 4

Teste seulement les deux derniers chiffres

Divisible par 5

Dernier chiffre : 0 ou 5

Vérifie seulement le chiffre des unités

Divisible par 6

Divisible par 2 ET 3

Doit passer les deux tests

Divisible par 9

Somme des chiffres divisible par 9

Additionne tous les chiffres et teste la somme

Divisible par 10

Dernier chiffre : 0

Vérifie si le nombre se termine par zéro

Défi du jourUn problème, trois essais

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