Guide de l'enseignant: Arithmétique modulaire

Apprends l'arithmétique de l'horloge : restes, a mod n, congruence modulo n, et comment s'en servir pour les jours de la semaine, les clés de contrôle et le dernier chiffre de puissances géantes.

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Quiz de classe

10 questions sur Propriétés des Nombres. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Calculer $a \bmod n$ pour des entiers positifs et négatifs
Décider si deux nombres sont congrus modulo $n$ à l'aide des restes ou de leur différence
Additionner, soustraire et multiplier modulo $n$ en réduisant d'abord les nombres
Résoudre des problèmes d'horloge et de calendrier avec les modules 12, 24 et 7
Utiliser les cycles de puissances et les clés de contrôle (EAN-13, ISBN-10) comme applications de l'arithmétique modulaire

Prérequis

• Division euclidienne des nombres entiers (division avec reste)
• Nombres pairs et impairs (leçon 1 de ce thème) : pair et impair sont les restes 0 et 1 modulo 2
• Multiples, diviseurs et divisibilité
• Puissances à exposant entier

Amorces de discussion

1. Une horloge indique 9. Qu'indiquera-t-elle dans 100 heures, et comment le trouver sans compter heure par heure ?
2. Pourquoi les jours de la semaine se répètent-ils tous les 7 jours, et quel est le lien avec les restes ?
3. Est-ce que $-1$ est congru à $11$ modulo 12 ? Qu'est-ce que cela signifie sur une horloge ?
4. Comment un lecteur de codes-barres peut-il remarquer qu'un chiffre a été mal lu ?

Idées reçues courantes

Le résultat de $a \bmod n$ est le quotient de la division

Remédiation: Toujours écrire la ligne complète $a = q \times n + r$ et entourer $r$ . Sur le cadran, le quotient est le nombre de tours, le reste est l'endroit où l'aiguille s'arrête.

Le reste d'un nombre négatif est négatif ( $-3 \bmod 12 = -3$ )

Remédiation: Faire tourner l'aiguille à l'envers : 3 heures avant midi, c'est 9. Puis montrer la règle : ajouter 12 jusqu'à ce que le nombre soit entre 0 et 11.

Congru veut dire égal, donc $38 \equiv 14 \pmod{12}$ doit être faux

Remédiation: Montrer les deux nombres sur le cadran des congruences : ils tombent au même endroit. Congru veut dire même reste, et la différence $24$ est un multiple de 12.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer uniquement avec l'horloge (module 12) et de petits nombres d'heures avant les autres modules
• Utiliser un cadran imprimé et faire avancer un pion pas à pas avant de passer à la division
• S'entraîner à écrire la ligne $a = q \times n + r$ avec une table de multiplication sous les yeux

Pour les élèves au niveau:

• Résoudre des problèmes de jours de la semaine pour 100, 365 et 1000 jours
• Réduire d'abord dans les sommes et les produits, puis vérifier avec la calculatrice et mod(a, n)
• Trouver le cycle des derniers chiffres des puissances de 2, 3, 7 et 9

Pour les élèves avancés:

• Démontrer la règle de réduction pour les produits avec $a = pn + r$ et $b = qn + s$
• Montrer que la clé de l'ISBN-10 détecte toute erreur sur un seul chiffre, en utilisant que 11 est premier
• Trouver toutes les solutions de $3x \equiv 1 \pmod{7}$ et expliquer pourquoi $2x \equiv 1 \pmod{6}$ n'en a aucune

Alignement aux standards

6.NS.B.2 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.2)
Diviser avec aisance des nombres à plusieurs chiffres avec l'algorithme standard
4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)
Trouver toutes les paires de diviseurs d'un entier et reconnaître les multiples
MP.7 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP7)
Repérer et utiliser des structures
MP.8 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP8)
Repérer et exprimer des régularités dans des raisonnements répétés

Ressources de la leçon

visualHorloge modulaire interactive
Les élèves ajoutent 100 heures ou 100 jours sur un cadran, comptent les tours et lisent le reste
activityDétectives du calendrier
Par deux, les élèves trouvent le jour de leur anniversaire l'an prochain et celui d'une date dans 1000 jours, puis vérifient avec un vrai calendrier
worksheetLaboratoire des clés de contrôle
Les élèves vérifient de vrais codes-barres et ISBN de livres de la classe et trouvent celui qui contient une faute de frappe

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

L'arithmétique modulaire est le calcul avec des restes. Tu fixes un nombre entier

n \geq 2

, le module, et d'un nombre tu ne gardes que son reste dans la division par

n

a = q \times n + r, \qquad a \bmod n = r, \qquad 0 \leq r \leq n - 1

Par exemple,

17 \bmod 5 = 2

car

17 = 3 \times 5 + 2

Deux nombres sont congrus modulo n quand ils ont le même reste. Cela revient à dire que

n

divise leur différence :

a \equiv b \pmod{n} \iff n \text{ divise } a - b

Ainsi

38 \equiv 14 \pmod{12}

, car

38 - 14 = 24 = 2 \times 12

(les deux ont le reste

2

Une horloge fonctionne exactement ainsi : après 12 heures l'aiguille revient à son point de départ, donc 15 heures et 3 heures sont la même position,

15 \equiv 3 \pmod{12}

. Dans les sommes, les différences et les produits, tu peux remplacer chaque nombre par son reste d'abord, puis réduire encore une fois le résultat à la fin.

Exemples résolus

Calcule

47 \bmod 6

Trouve le plus grand multiple de 6 qui ne dépasse pas 47

6 \times 7 = 42

, alors que

6 \times 8 = 48

est déjà trop grand →

42

Écris 47 sous la forme quotient fois 6 plus reste

47 = 7 \times 6 + 5

→ reste

5

Vérifie que le reste est compris entre 0 et 5

0 \leq 5 \leq 5

, c'est donc un reste valable →

47 \bmod 6 = 5

Réponse: $47 \bmod 6 = 5$ , donc $47 \equiv 5 \pmod{6}$ . Le quotient $7$ ne fait pas partie de la réponse.

Erreurs courantes

Écrire $-3 \bmod 12 = -3$ (ou $3$ )

Pourquoi c'est faux: Un reste doit être l'un des nombres $0, 1, \ldots, n - 1$ . En reculant de 3 heures à partir de midi, on ne tombe ni sur un nombre négatif ni sur 3.

Correct: Ajoute le module jusqu'à ce que le nombre soit dans l'intervalle : $-3 + 12 = 9$ , donc $-3 \bmod 12 = 9$ .

Dire que 9 heures plus 4 heures donne 13 heures sur une horloge de 12 heures

Pourquoi c'est faux: La somme $9 + 4 = 13$ est juste, mais la dernière réduction manque. Chaque résultat doit être réduit encore une fois.

Correct: $13 \bmod 12 = 1$ : l'horloge indique 1.

Donner le quotient au lieu du reste : $47 \bmod 6 = 7$

Pourquoi c'est faux: $47 \div 6 = 7$ reste $5$ . L'opération mod ne garde que ce qui reste, pas le nombre de fois que 6 entre dans 47.

Correct: $47 \bmod 6 = 5$ , car $47 = 7 \times 6 + 5$ .

Réduire l'exposant par le module : $2^9 \bmod 7$ devient $2^2 = 4$ parce que $9 \bmod 7 = 2$

Pourquoi c'est faux: Tu peux réduire la base modulo $n$ , mais pas l'exposant. L'exposant suit la longueur du cycle des puissances, qui vaut ici 3 et non 7.

Correct: Les puissances de 2 modulo 7 sont $2, 4, 1, 2, 4, 1, \ldots$ (cycle de longueur 3). $9 \bmod 3 = 0$ , donc $2^9 \equiv 1 \pmod{7}$ . Vérification : $512 = 73 \times 7 + 1$ .

Pourquoi c'est important

L'arithmétique modulaire, ce sont les mathématiques de tout ce qui tourne en rond :

Le temps : les horloges comptent modulo 12 ou 24, les jours de la semaine modulo 7. Quelle heure sera-t-il dans 100 heures ? Quel jour serons-nous dans 100 jours ?
Les clés de contrôle : le dernier chiffre d'un code-barres (EAN-13) est choisi modulo 10, celui d'un ISBN-10 modulo 11, et l'IBAN d'un compte bancaire est vérifié modulo 97. Un seul chiffre mal tapé, et le contrôle échoue.
Les nombres géants : tu peux trouver de tête le dernier chiffre de $3^{100}$ (un nombre de 48 chiffres), car les derniers chiffres sont des restes modulo 10 et ils se répètent en cycle.
L'informatique : les tables de hachage, les générateurs de nombres aléatoires et le chiffrement RSA derrière la banque en ligne calculent tous modulo $n$ .

Tu connais déjà un cas : pair et impair, c'est simplement le calcul modulo 2 (reste 0 ou 1).

Applications dans le monde réel

Calendriers : quel jour serons-nous ?

Une semaine compte 7 jours, donc les jours de la semaine se répètent modulo 7. Les applications d'agenda, les horaires et les énigmes d'anniversaire s'en servent tout le temps.

Exemple:

Une année normale compte $365$ jours et $365 = 52 \times 7 + 1$ . Un anniversaire qui tombe un lundi cette année tombera donc un mardi l'an prochain (sauf si un 29 février se trouve entre les deux).

1Essaie par toi-même

Aujourd'hui, c'est mercredi. Ton voyage d'échange commence dans exactement 100 jours. Numérote les jours lundi $= 0$ , mardi $= 1$ , et ainsi de suite jusqu'à dimanche $= 6$ .

Quel jour de la semaine le voyage commence-t-il ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Choisis le jour :

Codes-barres et clés de contrôle

Le dernier chiffre de chaque code-barres EAN-13 est une clé de contrôle, choisie par un calcul modulo 10. Le lecteur la recalcule et refuse un code dont un chiffre a été mal lu.

Exemple:

Pour le code de livre $978030640615$ , la somme pondérée (coefficients $1, 3, 1, 3, \ldots$ ) vaut $93$ , et $93 \bmod 10 = 3$ . La clé est $10 - 3 = 7$ , donc le code complet est $9780306406157$ .

2Essaie par toi-même

Un magasin crée un code produit avec les 12 chiffres $400123456789$ . Les chiffres aux positions 1, 3, 5, ... comptent une fois, ceux aux positions 2, 4, 6, ... comptent trois fois. La clé de contrôle rend le total multiple de 10.

Quelle est la clé de contrôle ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Clé de contrôle :

Travail posté et horloge de 24 heures

Les horaires de train, les gardes à l'hôpital et les plans de vol utilisent l'horloge de 24 heures, c'est-à-dire le calcul modulo 24.

Exemple:

Une garde de nuit commence à 22 h et dure 9 heures : $22 + 9 = 31$ et $31 \bmod 24 = 7$ , elle se termine donc à 7 h.

3Essaie par toi-même

Un test de machine dans une usine commence à 19 h et dure 75 heures sans interruption.

À quelle heure (de 0 à 23) le test se termine-t-il ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Heure de fin :

Points clés

1 $a \bmod n$ est le reste de la division de $a$ par $n$ et vaut toujours l'un des nombres $0, 1, \ldots, n - 1$
2 $a \equiv b \pmod{n}$ signifie que $a$ et $b$ ont le même reste, ce qui revient à dire que $n$ divise $a - b$
3Une horloge calcule modulo 12, l'horloge de 24 heures modulo 24, les jours de la semaine modulo 7 et pair/impair modulo 2
4Dans les sommes, les différences et les produits, tu peux réduire chaque nombre d'abord, puis réduire encore le résultat
5Pour un nombre négatif, ajoute $n$ jusqu'à tomber dans $0, \ldots, n - 1$ : $-3 \bmod 12 = 9$
6Les puissances se répètent en cycles modulo $n$ : trouve la longueur du cycle et réduis l'exposant modulo cette longueur, pas modulo $n$

Questions fréquentes

Est-ce que $a \bmod n$ est le même reste que celui de ma calculatrice ou de mon ordinateur ?

Pour les nombres positifs, oui. Pour les nombres négatifs, beaucoup de langages de programmation donnent un résultat négatif, par exemple

-3

pour

-3

divisé par

12

. En mathématiques, le reste est toujours compris entre

0

n - 1

, donc

-3 \bmod 12 = 9

. La calculatrice de cette page fonctionne ainsi : mod(-3, 12) donne 9.

Que signifie le symbole $\equiv$ ?

On le lit « est congru à ».

17 \equiv 5 \pmod{12}

dit que 17 et 5 ont le même reste dans la division par 12 (tous deux ont le reste 5). C'est plus faible que

=

: des nombres congrus peuvent être différents tout en tombant au même endroit du cadran.

Pourquoi ai-je le droit de réduire les nombres d'abord ?

Écris

a = pn + r

b = qn + s

. Alors

a + b = (p + q)n + (r + s)

a \times b = (pqn + ps + qr)n + rs

. Les parties avec

n

sont des multiples de

n

et ne laissent aucun reste, donc seuls

r + s

r \times s

décident du résultat.

Où utilise-t-on l'arithmétique modulaire en dehors de l'école ?

Dans les clés de contrôle (codes-barres, ISBN, l'IBAN d'un compte bancaire, vérifié modulo 97), en informatique (tables de hachage, générateurs de nombres aléatoires) et en cryptographie : la méthode RSA qui protège la banque en ligne calcule avec des nombres géants modulo un produit de deux nombres premiers.

Glossaire

Module: Le nombre fixe $n$ par lequel on divise ; les restes sont $0, 1, \ldots, n - 1$ (12 pour une horloge, 7 pour les jours de la semaine)
Reste: Ce qui reste après la division : dans $a = q \times n + r$ avec $0 \leq r \leq n - 1$ , c'est $r$
a mod n: Le reste de la division de $a$ par $n$ , par exemple $17 \bmod 5 = 2$ et $-3 \bmod 12 = 9$
Congru modulo n: Deux nombres qui ont le même reste modulo $n$ , noté $a \equiv b \pmod{n}$ ; de façon équivalente, $n$ divise $a - b$
Longueur du cycle: Le nombre d'étapes après lequel les restes des puissances se répètent, par exemple 4 pour les derniers chiffres des puissances de 3
Clé de contrôle: Un chiffre ajouté à la fin d'un code (code-barres, ISBN), choisi pour qu'une somme pondérée soit divisible par 10 ou par 11

Carte des formules

Division euclidienne

a = q \times n + r, \quad 0 \leq r \leq n - 1

$r$ est $a \bmod n$, $q$ est le quotient

Congruence

a \equiv b \pmod{n} \iff n \mid (a - b)

Même reste, ou : la différence est un multiple de $n$

Réduire d'abord

(a + b) \bmod n = \big((a \bmod n) + (b \bmod n)\big) \bmod n

Cela marche aussi pour la soustraction et la multiplication

Nombres négatifs

x \bmod n = (x + k \times n) \bmod n

Ajoute un multiple de $n$ jusqu'à ce que le nombre tombe dans $0, \ldots, n - 1$ : $-3 + 12 = 9$

Guide de l'enseignant: Arithmétique modulaire

Utiliser cette leçon en classe

Pour les enseignants

Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Calendriers : quel jour serons-nous ?

Codes-barres et clés de contrôle

Travail posté et horloge de 24 heures

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Division euclidienne

Congruence

Réduire d'abord

Nombres négatifs

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