Arithmétique modulaire

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Combien vaut $23 \bmod 5$ ?
1. a)2
2. b)4
3. c)3
4. d)18
Réponse: 3
$23 = 4 \times 5 + 3$ , donc le reste est $3$ . Le $4$ est le quotient, et $18$ est $23 - 5$ , pas le reste.
2.
Calcule $45 \bmod 7$ .
Réponse: 3
$45 = 6 \times 7 + 3$ , donc $45 \bmod 7 = 3$ .
3.
Il est 8 heures. Qu'indique une horloge de 12 heures 7 heures plus tard ?
1. a)1 heure
2. b)11 heures
3. c)15 heures
4. d)3 heures
Réponse: 3 heures
$8 + 7 = 15$ et $15 \bmod 12 = 3$ : l'horloge indique 3. 15 heures n'existe que sur une horloge de 24 heures.
4.
Calcule $-5 \bmod 12$ (un reste entre 0 et 11).
Réponse: 7
$-5 + 12 = 7$ , donc $-5 = (-1) \times 12 + 7$ et $-5 \bmod 12 = 7$ . Sur une horloge : 5 heures avant midi, c'est 7.
5.
Calcule $58 \bmod 9$ .
Réponse: 4
1. Quel est le plus grand multiple de 9 qui ne dépasse pas 58 ? 54
2. Combien de fois 9 entre-t-il dans 58 (le quotient) ? 6
3. Quel est le reste $58 - 54$ ? 4
6.
Les nombres $a$ et $b$ sont tous les deux impairs. Que valent $(a + b) \bmod 2$ et $(a \times b) \bmod 2$ ?
1. a)1 et 1
2. b)0 et 1
3. c)0 et 0
4. d)1 et 0
Réponse: 0 et 1
Impair veut dire reste 1 modulo 2. Somme : $1 + 1 = 2 \equiv 0$ , donc impair plus impair est pair. Produit : $1 \times 1 = 1$ , donc impair fois impair est impair. Exemple : $3 + 5 = 8$ et $3 \times 5 = 15$ .
7.
Aujourd'hui, c'est mardi. Quel jour de la semaine serons-nous dans 60 jours ?
1. a)samedi
2. b)jeudi
3. c)lundi
4. d)dimanche
Réponse: samedi
$60 = 8 \times 7 + 4$ : 60 jours, ce sont 8 semaines complètes et 4 jours. 4 jours après mardi, c'est samedi.
8.
Il est 10 heures. Sur quel nombre pointe l'aiguille des heures d'une horloge de 12 heures 250 heures plus tard ? (Réponds par un nombre de 1 à 12.)
Réponse: 8
$250 \bmod 12 = 10$ , puis $10 + 10 = 20$ et $20 \bmod 12 = 8$ . L'aiguille pointe sur 8.
9.
Calcule $(47 + 86) \bmod 9$ en réduisant d'abord.
Réponse: 7
1. Combien vaut $47 \bmod 9$ ? 2
2. Combien vaut $86 \bmod 9$ ? 5
3. Combien vaut $(2 + 5) \bmod 9$ ? 7
10.
Calcule $(34 \times 29) \bmod 5$ en réduisant d'abord.
Réponse: 1
1. Combien vaut $34 \bmod 5$ ? 4
2. Combien vaut $29 \bmod 5$ ? 4
3. Multiplie les restes : $4 \times 4 = ?$ 16
4. Combien vaut $16 \bmod 5$ ? 1
11.
Quelle affirmation est vraie ?
1. a) $17 \equiv 5 \pmod{8}$
2. b) $38 \equiv 14 \pmod{12}$
3. c) $25 \equiv 4 \pmod{6}$
4. d) $40 \equiv 2 \pmod{3}$
Réponse: $38 \equiv 14 \pmod{12}$
$38 - 14 = 24 = 2 \times 12$ , donc $38 \equiv 14 \pmod{12}$ est vrai. Mais $25 - 4 = 21$ n'est pas un multiple de 6, $17 - 5 = 12$ n'est pas un multiple de 8 et $40 - 2 = 38$ n'est pas un multiple de 3.
12.
Vérifie que $83 \equiv 20 \pmod{9}$ , puis trouve le reste commun des deux nombres dans la division par 9.
Réponse: 2
1. Combien vaut $83 - 20$ ? 63
2. Combien vaut $63 \bmod 9$ ? 0
3. Quel reste 83 et 20 ont-ils tous les deux dans la division par 9 ? 2
13.
Il est 3 heures. Sur quel nombre pointait l'aiguille des heures d'une horloge de 12 heures il y a 40 heures ?
Réponse: 11
1. Combien vaut $40 \bmod 12$ ? 4
2. Recule à partir de 3 : combien vaut $3 - 4$ ? -1
3. Combien vaut $-1 \bmod 12$ ? 11
14.
Quel est le dernier chiffre de $7^{50}$ ?
Réponse: 9
Les derniers chiffres se répètent avec un cycle de longueur 4 : $7, 9, 3, 1$ . $50 = 12 \times 4 + 2$ , donc $7^{50}$ se termine comme $7^2 = 49$ : le dernier chiffre est 9.
15.
Quel est le dernier chiffre de $2^{2026}$ ?
Réponse: 4
1. Les derniers chiffres de $2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5$ sont $2, 4, 8, 6, 2$ . Quelle est la longueur du cycle ? 4
2. Combien vaut $2026 \bmod 4$ ? 2
3. Donc $2^{2026}$ se termine comme $2^2$ . Quel est son dernier chiffre ? 4
16.
Trouve la clé de contrôle EAN-13 pour les 12 chiffres $590123412345$ . Les chiffres aux positions impaires comptent une fois, ceux aux positions paires trois fois, et la clé rend le total multiple de 10.
Réponse: 7
1. Additionne les chiffres aux positions impaires (1er, 3e, ..., 11e). 17
2. Additionne les chiffres aux positions paires et multiplie la somme par 3. 66
3. Combien vaut $(17 + 66) \bmod 10$ ? 3
4. Quel chiffre complète le total jusqu'à un multiple de 10 ? 7
17.
Un ISBN-10 commence par les 9 chiffres 0-306-40615. Multiplie ces chiffres par $10, 9, 8, \ldots, 2$ et additionne. La clé $x$ (coefficient 1) rend le total multiple de 11. Trouve $x$ .
Réponse: 2
1. Calcule $10 \times 0 + 9 \times 3 + 8 \times 0 + 7 \times 6 + 6 \times 4$ . 93
2. Ajoute $5 \times 0 + 4 \times 6 + 3 \times 1 + 2 \times 5$ . Quelle est la somme pondérée complète ? 130
3. Combien vaut $130 \bmod 11$ ? 9
4. Quel chiffre $x$ rend $9 + x$ multiple de 11 ? 2
18.
Combien vaut $5^{100} \bmod 7$ ?
Réponse: 2
Le cycle a une longueur de 6. $100 = 16 \times 6 + 4$ , donc $5^{100} \equiv 5^4 \pmod{7}$ . $5^4 = 625 = 89 \times 7 + 2$ , donc le reste est 2.