Fonctions composées

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Si $f(x) = x + 2$ et $g(x) = 3x$ , que vaut $(f \circ g)(1)$ ?
1. a)4
2. b)9
3. c)5
4. d)6
Réponse: 5
$(f \circ g)(1) = f(g(1))$ . D'abord, $g(1) = 3(1) = 3$ . Puis, $f(3) = 3 + 2 = 5$ .
2.
Que signifie $(f \circ g)(x)$ ?
1. a) $f(x) + g(x)$
2. b) $g(f(x))$
3. c) $f(g(x))$
4. d) $f(x) \cdot g(x)$
Réponse: $f(g(x))$
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ signifie appliquer $g$ d'abord, puis $f$ au résultat. C'est la composition de fonctions.
3.
Si $f(x) = x^2$ et $g(x) = x + 1$ , trouve $(f \circ g)(2)$ .
Réponse: 9
$g(2) = 2 + 1 = 3$ . Puis $f(3) = 3^2 = 9$ . Donc $(f \circ g)(2) = 9$ .
4.
Si $f(x) = 2x$ et $g(x) = x - 3$ , trouve $(g \circ f)(4)$ .
Réponse: 5
$f(4) = 2(4) = 8$ . Puis $g(8) = 8 - 3 = 5$ . Donc $(g \circ f)(4) = 5$ .
5.
Si $f(x) = x + 5$ et $g(x) = 2x$ , trouve $(f \circ g)(3)$ .
Réponse: 11
1. Que signifie $(f \circ g)(3)$ en termes de $f$ et $g$ ? f(g(3))
2. Calcule $g(3) = 2 \times 3$ 6
3. Maintenant calcule $f(6) = 6 + 5$ 11
6.
Si $f(x) = x^2$ et $g(x) = x + 3$ , que vaut $(f \circ g)(x)$ ?
1. a) $x^2 + 9$
2. b) $x^2 + 3$
3. c) $(x + 3)^2$
4. d) $x^2 + 6x + 9$
Réponse: $(x + 3)^2$
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)^2$ . Note : $(x+3)^2$ et $x^2 + 6x + 9$ sont équivalents, mais $(x+3)^2$ est la réponse directe.
7.
Si $f(x) = 3x - 1$ et $g(x) = x + 4$ , trouve $(f \circ g)(2)$ .
Réponse: 17
$g(2) = 2 + 4 = 6$ . Puis $f(6) = 3(6) - 1 = 18 - 1 = 17$ .
8.
Si $f(x) = x^2$ et $g(x) = 2x + 1$ , trouve $(g \circ f)(3)$ .
Réponse: 19
$f(3) = 3^2 = 9$ . Puis $g(9) = 2(9) + 1 = 19$ .
9.
Si $f(x) = 2x - 3$ et $g(x) = x^2$ , trouve la formule pour $(f \circ g)(x)$ .
Réponse: 2x^2 - 3
1. Que vaut $g(x)$ ? x^2
2. Substitue $g(x) = x^2$ dans $f$ . Que vaut $f(x^2)$ ? 2x^2 - 3
10.
Si $f(x) = x - 1$ et $g(x) = 4x$ , compare $(f \circ g)(2)$ et $(g \circ f)(2)$ . Sont-ils égaux ?
Réponse: no
1. Calcule $(f \circ g)(2) = f(g(2))$ . D'abord, $g(2) = ?$ 8
2. Maintenant $f(8) = ?$ 7
3. Calcule $(g \circ f)(2) = g(f(2))$ . D'abord, $f(2) = ?$ 1
4. Maintenant $g(1) = ?$ 4
5. Est-ce que $7 = 4$ ? non
11.
Vrai ou Faux : Pour toutes les fonctions $f$ et $g$ , $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ .
1. a)Faux
2. b)Vrai
Réponse: Faux
Faux. La composition n'est généralement PAS commutative. Par exemple, si $f(x) = x^2$ et $g(x) = x + 1$ , alors $(f \circ g)(x) = (x+1)^2$ mais $(g \circ f)(x) = x^2 + 1$ .
12.
Si $f(x) = \sqrt{x}$ et $g(x) = x + 9$ , trouve $(f \circ g)(7)$ .
Réponse: 4
$g(7) = 7 + 9 = 16$ . Puis $f(16) = \sqrt{16} = 4$ .
13.
Si $f(x) = 3x + 2$ , $g(x) = x - 1$ et $h(x) = x^2$ , trouve $(f \circ g \circ h)(2)$ .
Réponse: 11
$h(2) = 4$ , $g(4) = 3$ , $f(3) = 11$ . Donc $(f \circ g \circ h)(2) = 11$ .
14.
Si $f(x) = x + 2$ et $g(x) = 3x - 5$ , trouve $(g \circ f)(x)$ sous forme simplifiée.
Réponse: 3x + 1
1. $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ . Que vaut $f(x)$ ? x + 2
2. Substitue $f(x) = x + 2$ dans $g$ . Que vaut $g(x + 2)$ ? 3(x + 2) - 5
3. Développe et simplifie $3(x + 2) - 5$ 3x + 1
15.
Si $h(x) = (2x - 1)^2$ , trouve les fonctions $f$ et $g$ telles que $h(x) = (f \circ g)(x)$ où $f(x) = x^2$ .
Réponse: 2x - 1
1. Si $f(x) = x^2$ et $(f \circ g)(x) = (2x - 1)^2$ , que doit être $g(x)$ pour que $f(g(x)) = (2x - 1)^2$ ? 2x - 1
16.
Si $f(x) = \frac{1}{x}$ et $g(x) = x + 2$ , que vaut $(f \circ g)(3)$ ?
1. a) $5$
2. b) $\frac{1}{5}$
3. c) $\frac{5}{3}$
4. d) $\frac{1}{3}$
Réponse: $\frac{1}{5}$
$g(3) = 3 + 2 = 5$ . Puis $f(5) = \frac{1}{5}$ .