Guide de l'enseignant: Fonctions composées

Apprenez à combiner deux fonctions pour créer une nouvelle fonction par composition.

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Quiz de classe

10 questions sur Fonctions Avancées. Les élèves participent avec un prénom, tu vois tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Définir les fonctions composées et comprendre la notation
Évaluer les fonctions composées pour des valeurs spécifiques
Trouver des formules pour les fonctions composées algébriquement
Démontrer que la composition n'est pas commutative

Prérequis

• Compréhension de la notation fonctionnelle
• Capacité à évaluer des fonctions pour des valeurs données
• Compétences de base en manipulation algébrique
• Familiarité avec le domaine de définition et l'ensemble image

Amorces de discussion

1. Pouvez-vous penser à un exemple de la vie réelle où vous faites d'abord une tâche, puis une autre qui dépend du premier résultat ?
2. Pourquoi pensez-vous que l'ordre de composition est important ? Pouvez-vous trouver deux fonctions où l'ordre n'a pas d'importance ?
3. Si pour tout , qu'est-ce que cela nous dit sur la relation entre et ?
4. En quoi la composition de fonctions est-elle similaire au fait de suivre une recette avec plusieurs étapes ?

Idées reçues courantes

Penser que signifie

Supposer que la composition est commutative comme l'addition

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Utiliser d'abord des fonctions linéaires simples (, )
• Dessiner des machines à fonctions montrant le flux entrée/sortie
• S'entraîner à évaluer avec des nombres avant de trouver des formules générales

Pour les élèves au niveau:

• Travailler avec des fonctions polynomiales et rationnelles
• Comparer et pour diverses paires de fonctions
• Résoudre des problèmes nécessitant la décomposition de fonctions composées

Pour les élèves avancés:

• Explorer les fonctions identité : trouver tel que
• Travailler avec des compositions de fonctions définies par morceaux et de valeur absolue
• Faire le lien avec les fonctions réciproques et la préparation à la règle de la chaîne

Alignement aux standards

HSF-BF.A.1.c (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1.C)
Composer des fonctions
HSF-BF.B.4.a (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.4.A)
Résoudre une équation de la forme f(x) = c pour une fonction simple f qui a une réciproque

Ressources de la leçon

visualChaîne de machines à fonctions
Visualiser les entrées passant à travers deux machines à fonctions
activityJeu de l'ordre
Comparer et pour différentes paires de fonctions
worksheetComposition dans le monde réel
Appliquer les fonctions composées aux conversions d'unités et formules

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une fonction composée est créée lorsqu'une fonction est appliquée au résultat d'une autre fonction. On écrit cela ou , lu "f de g de x".

Idée clé : Dans , on évalue d'abord , puis on utilise ce résultat comme entrée pour .

Important : L'ordre compte ! en général.

Exemples résolus

Si et , trouvez .

Comprendre la notation

→ D'abord trouver , puis appliquer

Évaluer la fonction interne

→

Substituer dans la fonction externe

→

Calculer le résultat final

→

Réponse:

Erreurs courantes

Confondre avec

Pourquoi c'est faux: La notation avec le cercle signifie composition, pas multiplication. , qui substitue dans .

Correct: signifie appliquer d'abord, puis . La multiplication est une opération complètement différente.

Se tromper dans l'ordre

Pourquoi c'est faux: Dans , on pourrait penser que vient en premier parce qu'il apparaît en premier.

Correct: Lire de l'intérieur vers l'extérieur : signifie que est appliqué en premier, puis .

Supposer que

Pourquoi c'est faux: Contrairement à la multiplication, la composition n'est généralement PAS commutative.

Correct: Toujours vérifier les deux ordres. Habituellement .

Pourquoi c'est important

Les fonctions composées sont essentielles pour :

Modéliser des processus complexes : Une conversion de température de Celsius à Fahrenheit, puis à Kelvin, est une composition de deux fonctions
Informatique : Les appels de fonctions imbriqués comme `print(len(str(x)))` sont des fonctions composées
Économie : Calculer le coût total implique de composer la fonction de coût unitaire avec la fonction de quantité
Calcul différentiel : La règle de la chaîne pour les dérivées repose sur la compréhension des fonctions composées

Imaginez que vous suivez les instructions GPS : d'abord aller au magasin (fonction ), puis du magasin à la maison (fonction ). L'ordre est important !

Applications dans le monde réel

Chaînes de conversion d'unités

Convertir entre unités de mesure nécessite souvent de composer plusieurs fonctions de conversion.

Exemple:

Pour convertir des miles en mètres : d'abord convertir les miles en kilomètres avec , puis les kilomètres en mètres avec . Donc mètres.

1Essayez vous-même

Un compteur de vitesse européen affiche des kilomètres par heure. Vous devez convertir en mètres par seconde. La fonction convertit km en m. La fonction convertit par heure en par seconde.

Si une voiture roule à 90 km/h, quelle est sa vitesse en m/s ?

Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique

Calculez :

Programmation informatique

Les appels de fonctions imbriqués en programmation sont des fonctions composées.

Exemple:

En Python, `len(str(n))` compte les chiffres d'un nombre. Ici convertit en chaîne, et compte les caractères.

2Essayez vous-même

Un programme utilise pour ajouter un bonus, et pour doubler un score. La fonction composée double d'abord, puis ajoute le bonus.

Si le score de base d'un joueur est 45, quel est le score final après application de ?

Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique

Calculez :

Points clés

1Une fonction composée applique d'abord, puis au résultat
2L'ordre compte : n'est généralement PAS égal à
3Pour évaluer, travailler de l'intérieur vers l'extérieur : d'abord calculer la fonction interne
4La composition est différente de la multiplication :

Questions fréquentes

Comment me souvenir quelle fonction appliquer en premier ?

Pensez "de l'intérieur vers l'extérieur". Dans , est à l'intérieur, donc il est appliqué en premier. Ensuite est appliqué à ce résultat. La fonction la plus proche de vient en premier.

Peut-on composer n'importe quelles deux fonctions ?

L'ensemble image (sorties) de la fonction interne doit être dans le domaine de définition (entrées autorisées) de la fonction externe. Par exemple, si et , alors est indéfini car et on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif.

Y a-t-il un raccourci pour trouver les fonctions composées ?

Oui ! Substituez simplement l'expression entière de partout où vous voyez dans . Puis simplifiez le résultat.

Glossaire

Fonction composée: Une fonction formée en appliquant une fonction au résultat d'une autre, écrite ou
Fonction interne: Dans , la fonction interne est évaluée en premier
Fonction externe: Dans , la fonction externe est appliquée au résultat de
Composition de fonctions: L'opération de combiner deux fonctions où la sortie de l'une devient l'entrée de l'autre