Fonctions réciproques

Apprenez à trouver et vérifier les fonctions réciproques, et comprenez leur relation avec la fonction originale.

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Définition

Une fonction réciproque inverse l'action de la fonction originale. Si prend l'entrée et produit la sortie , alors la fonction réciproque prend l'entrée et produit la sortie .
Propriétés clés :
  • La réciproque "défait" ce que fait la fonction originale
  • et
  • Le graphique de est la réflexion de par rapport à la droite
  • Toutes les fonctions n'ont pas de réciproque - seules les fonctions bijectives en ont
Trouver la réciproque : 1. Remplacer par 2. Échanger et 3. Résoudre pour 4. Remplacer par

Essaie tout de suite

Si , que vaut ?

Exemples résolus

Trouvez la réciproque de

1

Remplacer f(x) par y

→ Forme standard

2

Échanger x et y

→ Variables échangées

3

Résoudre pour y : soustraire 3

→ Isoler le terme en y

4

Diviser par 2

→ y est isolé

5

Écrire comme fonction réciproque

→ Réciproque trouvée

Erreurs courantes

Confondre avec

Pourquoi c'est faux: La notation signifie la fonction réciproque, PAS l'inverse multiplicatif. défait , tandis que est simplement un divisé par .

Correct: est la fonction réciproque. Pour l'inverse multiplicatif, écrivez ou .

Oublier d'échanger x et y avant de résoudre

Pourquoi c'est faux: L'échange est essentiel car la réciproque inverse les entrées et les sorties. Sans échange, vous résolvez simplement pour x en fonction de y, vous ne trouvez pas la réciproque.

Correct: Suivez toujours les étapes : écrivez y = f(x), échangez pour obtenir x = f(y), puis résolvez pour y.

Supposer que toutes les fonctions ont des réciproques

Pourquoi c'est faux: Seules les fonctions bijectives (passant le test de la ligne horizontale) ont des réciproques. Des fonctions comme échouent car deux entrées donnent la même sortie.

Correct: Vérifiez d'abord que la fonction est bijective. Pour , restreignez le domaine à pour créer une réciproque.

Oublier les restrictions de domaine pour la réciproque

Pourquoi c'est faux: Le domaine de est l'image de , et vice versa. Si la fonction originale exclut certaines valeurs, la réciproque aura des restrictions différentes.

Correct: Indiquez toujours le domaine de la réciproque. Si a pour domaine , alors aura une restriction différente.

Visuel interactif

Explorateur de fonction lineaire

y = x
Pente (m)1
Ordonnee a l'origine (b)0
b
course
montée

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Essayez ces exemples:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculateur d'expressions

Essayez ceux-ci:

Historique

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Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile

Si , que vaut ?

Pourquoi c'est important

Les fonctions réciproques sont essentielles dans de nombreuses applications :
  • Cryptographie : Les fonctions de chiffrement nécessitent des réciproques pour le déchiffrement
  • Conversion d'unités : Convertir des Celsius en Fahrenheit et vice versa nécessite des fonctions réciproques
  • Finance : Calculer le capital initial à partir des intérêts composés nécessite d'inverser la formule de croissance
  • Sciences : Trouver le temps à partir de la distance (réciproque de la fonction de position)
  • Infographie : Annuler des transformations nécessite des opérations inverses
Comprendre les réciproques est crucial pour résoudre des équations et constitue le fondement des logarithmes (réciproque des exponentielles) et des fonctions trigonométriques inverses.

Applications dans le monde réel

Conversion de température

La conversion entre Celsius et Fahrenheit utilise des fonctions réciproques.

Exemple:

La formule convertit les Celsius en Fahrenheit. Sa réciproque reconvertit.

1Essayez vous-même

Vous connaissez la formule Fahrenheit vers Celsius : .

Trouvez la fonction réciproque pour reconvertir les Celsius en Fahrenheit.

Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique

Échangez les variables et résolvez pour F :

Déchiffrement en cryptographie

Les fonctions de chiffrement simples nécessitent des réciproques pour le déchiffrement. Dans un chiffrement de César, si le chiffrement décale les lettres de 3, le déchiffrement décale de -3.

Exemple:

Si le chiffrement est , le déchiffrement est

2Essayez vous-même

Une fonction de chiffrement simple est .

Trouvez la fonction de déchiffrement (réciproque).

Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique

Trouvez :

Points clés

  • 1Une fonction réciproque inverse l'action de : si , alors
  • 2Pour trouver une réciproque : remplacez par , échangez et , résolvez pour , écrivez comme
  • 3Pour vérifier les réciproques : vérifiez que ET
  • 4Seules les fonctions bijectives (passant le test de la ligne horizontale) ont des réciproques
  • 5Le graphique de est la réflexion de par rapport à la droite
  • 6Le domaine de égale l'image de , et l'image de égale le domaine de

Questions fréquentes

est la fonction réciproque - elle défait . ou est l'inverse multiplicatif . Ce sont des choses complètement différentes ! Par exemple, si , alors , mais .
est la fonction réciproque - elle défait . ou est l'inverse multiplicatif . Ce sont des choses complètement différentes ! Par exemple, si , alors , mais .
Une fonction a une réciproque si et seulement si elle est bijective (chaque sortie provient d'exactement une entrée). Utilisez le test de la ligne horizontale : si une ligne horizontale coupe le graphique plus d'une fois, la fonction N'A PAS de réciproque.
Parce que la réciproque échange les entrées et les sorties. Si prend 2 et donne 7, alors prend 7 et donne 2. L'échange de x et y dans l'équation capture cette inversion des rôles.

Glossaire

Fonction réciproque
Une fonction qui inverse l'action de , de sorte que
Fonction bijective
Une fonction où chaque valeur de sortie correspond à exactement une valeur d'entrée
Test de la ligne horizontale
Si une ligne horizontale coupe le graphique plus d'une fois, la fonction n'est pas bijective et n'a pas de réciproque
Composition
L'application d'une fonction au résultat d'une autre, écrite ou
Domaine
L'ensemble de toutes les valeurs d'entrée valides pour une fonction
Image
L'ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles d'une fonction

Carte des formules

Définition de la réciproque

Si f envoie a vers b, alors f inverse envoie b vers a

Identité de composition

Composer une fonction avec sa réciproque donne x

Relation domaine-image

Les domaines et images sont échangés pour les réciproques

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