Limites infinies

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Calcule $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$ .
1. a) $-\infty$
2. b) $0$
3. c) $1$
4. d) $\infty$
Réponse: $\infty$
Pour $x = \pm 0{,}1$ on obtient $\frac{1}{0{,}01} = 100$ , pour $x = \pm 0{,}01$ on obtient $10000$ . Les valeurs deviennent aussi grandes qu'on veut des deux côtés, donc $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$ .
2.
La fonction $f(x) = \frac{7}{x-6}$ a une asymptote verticale $x = a$ . Combien vaut $a$ ?
Réponse: 6
$x - 6 = 0$ donne $x = 6$ , et le numérateur vaut $7 \neq 0$ . La fonction explose donc près de $x = 6$ , et $a = 6$ .
3.
Calcule $\lim_{x \to 5^+} \frac{1}{x-5}$ .
Réponse: $\infty$
1. Combien vaut $x - 5$ pour $x = 5{,}01$ ? 0.01
2. Combien vaut $\frac{1}{x-5}$ pour $x = 5{,}01$ ? 100
3. Quelle est la limite à droite ? $\infty$
4.
Où se trouve l'asymptote verticale de $f(x) = \frac{3}{x+5}$ ?
1. a) $x = 5$
2. b) $y = 0$
3. c) $x = 3$
4. d) $x = -5$
Réponse: $x = -5$
Le dénominateur $x + 5$ vaut $0$ en $x = -5$ , et le numérateur $3$ ne vaut jamais $0$ . Donc $x = -5$ est l'asymptote verticale. ( $y = 0$ est une asymptote horizontale.)
5.
Pour $f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$ , calcule $f(2{,}01)$ .
Réponse: 10000
$(0{,}01)^2 = 0{,}0001$ et $\frac{1}{0{,}0001} = 10000$ . Tout près de $x = 2$ , la fonction est déjà énorme : c'est le signe d'une limite infinie.
6.
Calcule $\lim_{x \to 0} \frac{3}{x^2}$ .
Réponse: $\infty$
1. Combien vaut $x^2$ pour $x = 0{,}1$ (et aussi pour $x = -0{,}1$ ) ? 0.01
2. Combien vaut $\frac{3}{x^2}$ pour $x = 0{,}1$ et $x = -0{,}1$ ? 300
3. Quelle est la limite ? $\infty$
7.
Trouve l'asymptote verticale de $g(x) = \frac{x+4}{x-1}$ .
Réponse: $x = 1$
1. Pour quel $x$ le dénominateur vaut-il $0$ ? 1
2. Combien vaut le numérateur pour cette valeur de $x$ ? 5
3. Quelle droite est l'asymptote verticale ? $x = 1$
8.
Calcule $\lim_{x \to 4^-} \frac{2}{x-4}$ .
1. a) $-\infty$
2. b) $0$
3. c) $\infty$
4. d) $2$
Réponse: $-\infty$
Pour $x < 4$ , le dénominateur $x - 4$ est un petit nombre négatif (par exemple $3{,}99 - 4 = -0{,}01$ ), et le numérateur $2$ est positif. Positif sur petit négatif donne $\frac{2}{-0{,}01} = -200$ et encore moins, donc la limite vaut $-\infty$ .
9.
Pour $f(x) = \frac{1}{x-2}$ , calcule $f(1{,}999)$ .
Réponse: -1000
$\frac{1}{-0{,}001} = -1000$ . Juste à gauche de $x = 2$ , les valeurs sont grandes et négatives, ce qui correspond à $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty$ .
10.
Calcule $\lim_{x \to 1^-} \frac{x+3}{x-1}$ .
Réponse: $-\infty$
1. Vers quoi tend le numérateur $x + 3$ quand $x \to 1$ ? 4
2. Combien vaut le dénominateur $x - 1$ pour $x = 0{,}99$ ? -0.01
3. Combien vaut $\frac{x+3}{x-1}$ pour $x = 0{,}99$ ? -399
4. Quelle est la limite à gauche ? $-\infty$
11.
Que peut-on dire de $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1}$ ?
1. a) $\infty$
2. b) $-\infty$
3. c)Elle n'existe pas
4. d) $1$
Réponse: Elle n'existe pas
À gauche de $1$ : $\frac{1}{0{,}9 - 1} = -10$ , les valeurs tendent vers $-\infty$ . À droite de $1$ : $\frac{1}{1{,}1 - 1} = 10$ , les valeurs tendent vers $\infty$ . Les deux côtés ne sont pas d'accord, donc la limite n'existe pas et ne peut s'écrire ni $\infty$ ni $-\infty$ .
12.
Trouve les limites à gauche et à droite et la limite de $f(x) = \frac{x}{x-1}$ en $x = 1$ .
Réponse: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty,\ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \infty$
1. Combien vaut $f(0{,}9)$ ? -9
2. Combien vaut $f(1{,}1)$ ? 11
3. Combien vaut $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ ? $-\infty$
4. Combien vaut $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ ? $\infty$
5. Que vaut $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? n'existe pas
13.
Combien d'asymptotes verticales $f(x) = \frac{x+1}{x^2-4x+3}$ possède-t-elle ?
Réponse: 2
$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$ , donc le dénominateur vaut $0$ en $x = 1$ et $x = 3$ . Le numérateur y vaut $2$ et $4$ , tous deux non nuls. Il y a donc $2$ asymptotes verticales : $x = 1$ et $x = 3$ .
14.
Calcule $\lim_{x \to -2} \frac{x-3}{(x+2)^2}$ .
Réponse: $-\infty$
1. Vers quoi tend le numérateur $x - 3$ quand $x \to -2$ ? -5
2. Combien vaut $\frac{x-3}{(x+2)^2}$ pour $x = -1{,}9$ ? -490
3. Combien vaut $\frac{x-3}{(x+2)^2}$ pour $x = -2{,}1$ ? -510
4. Quelle est la limite ? $-\infty$
15.
Quelle fonction a une asymptote verticale en $x = 3$ ?
1. a) $\frac{1}{x+3}$
2. b) $\frac{x-3}{x^2-9}$
3. c) $\frac{x+3}{x-3}$
4. d) $\frac{x^2-9}{x-3}$
Réponse: $\frac{x+3}{x-3}$
$\frac{x+3}{x-3}$ : dénominateur nul en $x = 3$ , numérateur $6 \neq 0$ , donc elle explose en ce point. $\frac{x-3}{x^2-9} = \frac{1}{x+3}$ a un trou en $x = 3$ (son asymptote est $x = -3$ ), $\frac{x^2-9}{x-3} = x + 3$ n'a qu'un trou en $x = 3$ , et $\frac{1}{x+3}$ a son asymptote en $x = -3$ .
16.
La fonction $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+2x-3}$ a exactement une asymptote verticale $x = a$ . Combien vaut $a$ ?
Réponse: -3
$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+3)}$ . En $x = 1$ , les deux valent $0$ : après simplification, $\frac{x+1}{x+3} \to \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , c'est un trou. En $x = -3$ , le numérateur vaut $9 - 1 = 8 \neq 0$ , donc $a = -3$ .
17.
Étudie $f(x) = \frac{x^2-4}{x^2-5x+6}$ aux valeurs qui annulent son dénominateur.
Réponse: $x = 3$
1. Quelle est la plus petite valeur qui annule le dénominateur ? 2
2. Quelle est la plus grande valeur qui annule le dénominateur ? 3
3. Le numérateur vaut aussi $0$ en la plus petite. Simplifie par le facteur commun : combien vaut $\lim_{x \to 2} f(x)$ ? -4
4. En quel $x$ se trouve l'asymptote verticale ? 3
5. Combien vaut $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ ? $\infty$
18.
Calcule $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2+1}{4-x^2}$ .
Réponse: $-\infty$
1. Vers quoi tend le numérateur $x^2 + 1$ quand $x \to 2$ ? 5
2. Combien vaut le dénominateur $4 - x^2$ en $x = 2$ ? 0
3. Combien vaut $4 - x^2$ pour $x = 2{,}01$ ? -0.0401
4. Quelle est la limite à droite ? $-\infty$