Continuité

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Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Laquelle de ces affirmations n'est PAS l'une des trois conditions pour que $f$ soit continue en $x = a$ ?
1. a) $\lim_{x \to a} f(x)$ existe
2. b) $f(a)$ est définie
3. c) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
4. d) $f(a) = 0$
2.
$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ est continue partout. Calcule $\lim_{x \to 2} f(x)$ .
3.
Où $f(x) = \frac{1}{x - 4}$ n'est-elle PAS continue ?
1. a) $x = 4$
2. b) $x = -4$
3. c) $x = 0$
4. d)Elle est continue partout
4.
$g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ n'est pas définie en $x = 1$ . Quelle valeur faut-il donner à $g(1)$ pour que $g$ soit continue en $x = 1$ ?
5.
Vérifie si $f(x) = x^2 + 2x$ est continue en $x = 3$ .
6.
La fonction $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < 1 \\ 4 - x, & x \geq 1 \end{cases}$ est-elle continue en $x = 1$ ?
7.
Quelle fonction est continue pour TOUS les nombres réels ?
1. a) $\frac{1}{x}$
2. b) $e^x + x^3$
3. c) $\sqrt{x}$
4. d) $\ln x$
8.
Trouve $k$ pour que $f(x) = \begin{cases} x + k, & x < 2 \\ x^2, & x \geq 2 \end{cases}$ soit continue en $x = 2$ .
9.
Trouve $k$ pour que $f(x) = \begin{cases} kx - 2, & x \leq 3 \\ x^2 + 1, & x > 3 \end{cases}$ soit continue partout.
10.
Soit $h(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$ pour $x \neq 2$ et $h(2) = 3$ . $h$ est-elle continue en $x = 2$ ?
11.
Où $f(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 9}$ est-elle continue ?
1. a)Tous les réels sauf $x = -3$
2. b)Tous les réels sauf $x = 3$ et $x = -3$
3. c)Tous les réels
4. d)Tous les réels sauf $x = 3$
12.
En combien de valeurs de $x$ la fonction $f(x) = \frac{x - 1}{x^3 - 4x}$ n'est-elle pas continue ?
13.
Utilise le théorème des valeurs intermédiaires pour savoir si $f(x) = x^3 - 2x - 5$ a une racine dans $[2, 3]$ .
14.
Trouve $a$ pour que $f(x) = \begin{cases} ax + 3, & x < 2 \\ x^2 + a, & x \geq 2 \end{cases}$ soit continue partout.
15.
Trouve $a$ et $b$ pour que $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ ax + b, & 1 \leq x < 3 \\ x^2 - 3, & x \geq 3 \end{cases}$ soit continue partout.
16.
$f(x) = \frac{1}{x}$ vérifie $f(-1) = -1$ et $f(1) = 1$ , mais $f(x) = 0$ n'a pas de solution. Pourquoi le théorème des valeurs intermédiaires ne s'applique-t-il pas sur $[-1, 1]$ ?
1. a) $f(-1)$ et $f(1)$ ont le même signe
2. b)Le théorème ne vaut que pour les polynômes
3. c) $f$ n'est pas continue sur $[-1, 1]$ : elle n'est pas définie en $x = 0$
4. d) $0$ n'est pas entre $-1$ et $1$
17.
Soit $f(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ pour $x \neq 4$ et $f(4) = k$ . Trouve $k$ pour que $f$ soit continue en $x = 4$ .
18.
Combien de racines de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ dans $[0, 2]$ le théorème des valeurs intermédiaires garantit-il, en utilisant les points $x = 0$ , $1$ , $2$ ?