Guide de l'enseignant: Limites infinies

Découvre ce que signifie une fonction qui devient aussi grande qu'on veut près d'un point, comment trouver le signe grâce au dénominateur et comment naissent les asymptotes verticales.

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Quiz de classe

10 questions sur Limites. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Interpréter les notations $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ et $-\infty$ pour les limites à gauche, à droite et des deux côtés
Utiliser l'étude du signe du numérateur et du dénominateur pour décider si une limite vaut $\infty$ ou $-\infty$
Décider si une limite infinie des deux côtés peut s'écrire $\pm\infty$ ou n'existe pas
Trouver les asymptotes verticales de fonctions rationnelles et les distinguer des trous
Expliquer pourquoi une limite égale à $\infty$ n'est pas une limite qui existe en tant que nombre

Prérequis

• Les leçons « Notation des limites » et « Limites à gauche et à droite »
• Les leçons « Déterminer une limite à l'aide d'un tableau de valeurs » et « Limites par substitution directe »
• Factoriser des expressions du second degré
• Règles des signes pour multiplier et diviser des nombres négatifs

Amorces de discussion

1. Est-ce que « la limite vaut l'infini » veut dire « la limite existe » ? Pourquoi ?
2. Pourquoi ne peut-on pas écrire $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty$ , alors que $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$ est correct ?
3. $\frac{x-2}{x-2}$ et $\frac{1}{x-2}$ ont toutes les deux un dénominateur nul en $x = 2$ . Pourquoi une seule a-t-elle une asymptote verticale ?
4. Connais-tu une grandeur de la vie réelle qui devient aussi grande qu'on veut quand on s'approche d'une certaine valeur ?

Idées reçues courantes

Une limite infinie veut dire que la limite existe et que c'est un très grand nombre

Remédiation: Montre un tableau de valeurs pour $\frac{1}{(x-2)^2}$ : quel que soit le seuil proposé par un élève (un million, un milliard), trouve un $x$ proche de $2$ qui le dépasse. Conclus qu'aucun nombre ne convient, donc la limite n'existe pas en tant que nombre.

Chaque valeur qui annule le dénominateur donne une asymptote verticale

Remédiation: Trace $\frac{x^2-4}{x-2}$ à côté de $\frac{1}{x-2}$ . La première est la droite $y = x + 2$ avec un trou en $x = 2$ ; seule la seconde explose. Fais de la vérification du numérateur une étape obligatoire.

Si un côté tend vers $\infty$ , la limite des deux côtés vaut $\infty$

Remédiation: Utilise la courbe de $\frac{1}{x-2}$ et demande aux élèves de suivre chaque branche jusqu'à $x = 2$ . Exige qu'ils écrivent les deux limites, à gauche et à droite, avant de conclure.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commence par des tableaux de valeurs (1,9 ; 1,99 ; 2,01 ; 2,1) avant tout raisonnement sur les signes
• Fournis un modèle de tableau de signes avec des cases pour le numérateur, le dénominateur et le quotient
• Utilise d'abord uniquement des dénominateurs de la forme $x - a$ et $(x - a)^2$

Pour les élèves au niveau:

• Trouver les asymptotes verticales et les limites à gauche et à droite de fonctions rationnelles au dénominateur factorisable
• Classer chaque valeur qui annule le dénominateur : asymptote ou trou
• Tracer l'allure de la courbe près de chaque asymptote à partir des limites à gauche et à droite

Pour les élèves avancés:

• Étudier des limites infinies de fonctions non rationnelles, comme $\ln x$ quand $x \to 0^+$ et $\tan x$ près de $\frac{\pi}{2}$
• Démontrer $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$ avec la définition : pour tout $M > 0$ , trouver un $\delta > 0$
• Construire une fonction rationnelle avec des asymptotes, des trous et un comportement à gauche et à droite imposés

Alignement aux standards

HSF-IF.C.7d (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.D)
Représenter des fonctions rationnelles, identifier les zéros et les asymptotes quand une factorisation adaptée existe, et montrer le comportement aux bornes
AP Calculus LIM-2.D (AP.CALC.LIM-2.D)
Interpréter le comportement de fonctions à l'aide de limites faisant intervenir l'infini

Ressources de la leçon

visualCourbes de 1/(x - 2) et 1/(x - 2)²
Passe d'une courbe à l'autre et compare les tableaux de valeurs des deux côtés de l'asymptote $x = 2$
activityRelais des tableaux de signes
Les équipes remplissent le signe du numérateur, du dénominateur et du quotient de chaque côté de chaque valeur interdite, puis tracent l'allure de la courbe
worksheetAsymptote ou trou ?
Dix fonctions rationnelles : classe chaque valeur qui annule le dénominateur et donne les limites à gauche et à droite

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une limite infinie décrit une fonction dont les valeurs deviennent aussi grandes qu'on veut lorsque

x

tend vers un nombre

a

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

signifie : quand

x

se rapproche de

a

(des deux côtés),

f(x)

devient plus grand que n'importe quel nombre que tu peux citer. De même,

\lim_{x \to a} f(x) = -\infty

signifie que

f(x)

devient plus petit que n'importe quel nombre que tu peux citer.

Les versions à gauche et à droite fonctionnent de la même façon :

\lim_{x \to a^-} f(x) = \infty

ne regarde que

x < a

, et

\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty

ne regarde que

x > a

Important :

\infty

n'est pas un nombre. Écrire

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

indique *comment* la limite n'existe pas en tant que nombre réel : les valeurs explosent vers le positif. La limite n'existe pas en tant que nombre.

Asymptote verticale : la droite

x = a

est une asymptote verticale de

f

si au moins une des limites à gauche ou à droite en

a

vaut

\infty

-\infty

. Pour une fonction rationnelle

\frac{p(x)}{q(x)}

, cela se produit là où

q(a) = 0

mais

p(a) \neq 0

Étude du signe : quand le numérateur tend vers un nombre non nul et que le dénominateur tend vers

0

, le quotient devient aussi grand qu'on veut en valeur absolue. Son signe vient des signes des deux parties :

positif divisé par un petit nombre positif : $\infty$
positif divisé par un petit nombre négatif : $-\infty$
négatif divisé par un petit nombre positif : $-\infty$
négatif divisé par un petit nombre négatif : $\infty$

Exemples résolus

Calcule $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2}$ .

Essaie la substitution directe

$\frac{1}{(2-2)^2} = \frac{1}{0}$ : le numérateur vaut $1$ , le dénominateur vaut $0$ → Pas un nombre : regardons de plus près

Tableau de valeurs à gauche

$x = 1{,}9$ : $\frac{1}{0{,}01} = 100$ ; $x = 1{,}99$ : $\frac{1}{0{,}0001} = 10000$ → Les valeurs deviennent aussi grandes qu'on veut

Tableau de valeurs à droite

$x = 2{,}1$ : $100$ ; $x = 2{,}01$ : $10000$ → Les valeurs deviennent aussi grandes qu'on veut

Utilise le signe

$(x-2)^2$ est un carré, donc il est positif des deux côtés de $2$ → Les deux limites (à gauche et à droite) valent $\infty$

Réponse: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$ . Les deux côtés explosent dans le même sens, donc on écrit $\infty$ pour la limite, et $x = 2$ est une asymptote verticale.

Erreurs courantes

Dire « la limite existe et vaut $\infty$ »

Pourquoi c'est faux: $\infty$ n'est pas un nombre réel. Écrire $= \infty$ décrit seulement la façon dont la fonction grandit ; la limite n'existe pas en tant que nombre.

Correct: Dis « $f(x)$ devient aussi grand qu'on veut quand $x \to a$ » ou « la limite est $\infty$ », et souviens-toi qu'une limite égale à $\infty$ n'est pas une limite qui existe.

Écrire $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} = \infty$

Pourquoi c'est faux: À gauche, les valeurs tendent vers $-\infty$ , à droite vers $\infty$ . On ne peut écrire $\infty$ pour la limite que si les deux côtés tendent vers $\infty$ .

Correct: Donne les deux limites, à gauche ( $-\infty$ ) et à droite ( $\infty$ ), et dis que la limite en $2$ n'existe pas.

Croire que chaque valeur qui annule le dénominateur donne une asymptote verticale

Pourquoi c'est faux: Si le numérateur vaut aussi $0$ à cet endroit, l'expression a la forme $\frac{0}{0}$ et peut se simplifier. La limite peut alors être un nombre, et la courbe n'a qu'un trou.

Correct: Vérifie d'abord le numérateur : dénominateur $0$ et numérateur non nul donnent une asymptote verticale ; les deux nuls, il faut simplifier et regarder à nouveau.

Choisir le signe en regardant seulement le dénominateur

Pourquoi c'est faux: Un numérateur négatif inverse le résultat : $\frac{-5}{\text{petit positif}}$ tend vers $-\infty$ , pas vers $\infty$ .

Correct: Trouve le signe du numérateur et celui du dénominateur du côté étudié, puis combine-les comme dans une division.

Pourquoi c'est important

Les limites infinies décrivent des situations où une grandeur explose quand on approche d'une valeur critique :

Physique : la force entre deux charges, $F = \frac{k}{r^2}$ , devient aussi grande qu'on veut quand la distance $r$ tend vers $0$
Optique : quand un objet est placé près du foyer d'une lentille, l'image part infiniment loin
Environnement : le coût ou le temps nécessaire pour éliminer les derniers pour cent d'un polluant devient souvent illimité quand on approche de 100 %
Représentations graphiques : les limites infinies indiquent exactement où se trouvent les asymptotes verticales d'une fonction rationnelle et dans quel sens part la courbe de chaque côté

En analyse, tu utiliseras les limites infinies pour tracer des courbes, décrire des discontinuités et travailler avec des intégrales généralisées.

Applications dans le monde réel

La force électrique à courte distance

La force entre deux particules chargées est inversement proportionnelle au carré de leur distance : elle devient donc aussi grande qu'on veut quand la distance tend vers zéro.

Exemple:

Avec $F(r) = \frac{100}{r^2}$ (en newtons, $r$ en mètres), diviser la distance par deux multiplie la force par quatre, et $\lim_{r \to 0^+} F(r) = \infty$ .

1Essaie par toi-même

Deux particules chargées se repoussent avec une force de $F(r) = \frac{100}{r^2}$ newtons, où $r$ est la distance en mètres.

Quelle est la force, en newtons, pour une distance de $r = 0{,}1$ mètre ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $F(0{,}1)$ :

Éliminer les dernières impuretés

Le traitement de l'eau devient de plus en plus difficile à mesure qu'on approche de la pureté totale. Les modèles de l'effort ont souvent une asymptote verticale à 100 %.

Exemple:

Si filtrer $p$ pour cent des impuretés prend $T(p) = \frac{50p}{100-p}$ minutes, alors $T(50) = 50$ minutes, mais $T(90) = 450$ minutes.

2Essaie par toi-même

Un filtre a besoin de $T(p) = \frac{50p}{100-p}$ minutes pour retirer $p$ pour cent des impuretés d'une cuve d'eau.

Vers quoi tend $T(p)$ quand $p \to 100^-$ ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Choisis la valeur de $\lim_{p \to 100^-} T(p)$ :

Les images données par une lentille

Pour une lentille de distance focale $f$, la distance de l'image est $d_i = \frac{f \, d_o}{d_o - f}$. Quand l'objet s'approche du foyer, l'image part infiniment loin.

Exemple:

Pour $f = 10$ cm : un objet à $d_o = 20$ cm donne une image à $d_i = \frac{200}{10} = 20$ cm, et $\lim_{d_o \to 10^+} d_i = \infty$ .

3Essaie par toi-même

Une loupe a une distance focale de $10$ cm, donc la distance de l'image est $d_i = \frac{10 \, d_o}{d_o - 10}$ cm.

Quelle est la distance de l'image, en cm, quand l'objet est à $d_o = 11$ cm ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $d_i$ pour $d_o = 11$ :

Points clés

1 $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ signifie que $f(x)$ devient aussi grand qu'on veut quand $x$ tend vers $a$ ; $-\infty$ signifie qu'il devient négatif et aussi grand qu'on veut en valeur absolue
2 $\infty$ n'est pas un nombre : une limite égale à $\infty$ ou $-\infty$ n'existe pas en tant que nombre réel
3Si le numérateur tend vers un nombre non nul et le dénominateur vers $0$ , la limite est infinie ; l'étude du signe permet de choisir entre $\infty$ et $-\infty$
4Étudie chaque côté séparément : si la gauche et la droite partent dans des sens différents, la limite n'existe pas et ne s'écrit pas $\infty$
5 $x = a$ est une asymptote verticale quand au moins une des limites à gauche ou à droite en $a$ vaut $\infty$ ou $-\infty$
6Une valeur qui annule le dénominateur et aussi le numérateur peut donner un trou et non une asymptote : simplifie d'abord

Questions fréquentes

Si la limite vaut $\infty$ , est-ce que la limite existe ?

Non. Une limite existe seulement si c'est un nombre réel. Écrire

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

est une façon plus précise de dire : « la limite n'existe pas, car les valeurs deviennent aussi grandes qu'on veut vers le positif ».

Quelle est la différence entre une limite infinie et une limite en l'infini ?

Dans une limite infinie,

x

tend vers un nombre et

f(x)

explose :

\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty

. Dans une limite en l'infini, c'est

x

qui devient aussi grand qu'on veut :

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

. La première donne des asymptotes verticales, la seconde des asymptotes horizontales.

Une courbe peut-elle traverser une asymptote verticale ?

Non. Près d'une asymptote verticale

x = a

, les valeurs de la fonction explosent, et

f(a)

n'est généralement pas défini. (Les asymptotes horizontales sont différentes : une courbe peut les traverser.)

Pourquoi une puissance paire au dénominateur donne-t-elle le même signe des deux côtés ?

Un carré (ou toute puissance paire) n'est jamais négatif. Près de

a

(x-a)^2

est un petit nombre positif des deux côtés, donc le signe du quotient dépend seulement du numérateur.

Glossaire

Limite infinie: Une limite où $f(x)$ devient aussi grand qu'on veut, vers le positif ou vers le négatif, quand $x \to a$ , notée $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ ou $-\infty$
Asymptote verticale: Une droite verticale $x = a$ dont la courbe se rapproche pendant que ses valeurs tendent vers $\infty$ ou $-\infty$ d'au moins un côté
Étude du signe: Déterminer si le numérateur et le dénominateur sont positifs ou négatifs près de $a$ pour choisir entre $\infty$ et $-\infty$
Aussi grand qu'on veut: Devient plus grand que n'importe quel nombre qu'on peut citer ; c'est le sens de $\to \infty$
N'existe pas: La limite n'est pas un nombre réel, par exemple parce que les valeurs explosent ou que les deux côtés ne sont pas d'accord

Carte des formules

Test de limite infinie

\lim_{x \to a^{\pm}} \frac{p(x)}{q(x)} = \pm\infty \text{ si } p(a) \neq 0,\ q(a) = 0

Numérateur non nul sur un dénominateur qui tend vers $0$ : la limite à gauche et la limite à droite valent $\infty$ ou $-\infty$, les signes décident ; la limite en $a$ vaut $\pm\infty$ seulement si les deux côtés sont d'accord

Puissance impaire

\lim_{x \to a^-} \frac{1}{x-a} = -\infty, \quad \lim_{x \to a^+} \frac{1}{x-a} = \infty

Les deux côtés partent dans des sens opposés, donc la limite en $a$ n'existe pas

Puissance paire

\lim_{x \to a} \frac{1}{(x-a)^2} = \infty

Un carré est positif des deux côtés, donc les deux côtés tendent vers $\infty$

Asymptote verticale

x = a \text{ si } \lim_{x \to a^-} f(x) \text{ ou } \lim_{x \to a^+} f(x) \text{ vaut } \pm\infty

Une seule limite infinie (à gauche ou à droite) suffit

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Exemples résolus

Erreurs courantes

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Les images données par une lentille

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Test de limite infinie

Puissance impaire

Puissance paire

Asymptote verticale

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